知识讲解-《解析几何初步》全章复习与巩固--基础

解析几何初步解析几何初步 全章复习与巩固全章复习与巩固 编稿 丁会敏 审稿 王静伟 学习目标学习目标 1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 能根据两条直线的斜率判 定这两条直线平行或垂直 2 掌握确定直线位置的几何要素 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 了解斜截 式与一次函数的关系 3 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 4 掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 5 掌握圆的标准方程的特点 能根据所给有关圆心 半径的具体条件准确地写出圆的标准方程 6 掌握圆的一般方程的特点 能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径 7 能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆 圆与圆的位置关系 知识网络知识网络 要点梳理要点梳理 要点一 直线方程的几种形式要点一 直线方程的几种形式 1 直线方程的几种表示形式中 除一般式外都有其适用范围 任何一种表示形式都有其优越性 需要根据条件灵活选用 2 在求解与直线方程有关的问题中 忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误 应 特别警惕 3 确定直线方程需要且只需两个独立条件 利用待定系数法求直线方程是常用方法 常用的直线方程有 00 yyk xx ykxb 22 0 0 AxByCAB 为参数 111222 0AxB yCA xB yC 要点二 两条直线的位置关系要点二 两条直线的位置关系 1 1 特殊情况下的两直线平行与垂直 特殊情况下的两直线平行与垂直 1 当两条直线的斜率都不存在时 两直线的倾斜角都为 互相平行 0 90 2 当一条直线的斜率不存在 倾斜角为 另一条直线的倾斜角为时 两直线互相垂直 0 90 0 0 2 2 斜率都存在时两直线的平行 斜率都存在时两直线的平行 1 已知直线和 则 且 111 lyk xb 222 lyk xb 21 l l 1 k 2 k 21 bb 2 已知直线 和 则 1 l0 111 CyBxA 2 l0 222 CyBxA 0 0 222111 CBACBA 1 l 2 l 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 要点诠释 要点诠释 对于一般式方程表示的直线的位置的判定 可以先将方程转化为斜截式形式 再作判 定 3 3 斜率都存在时两直线的垂直 斜率都存在时两直线的垂直 1 已知直线和 则 111 lyk xb 222 lyk xb 1212 1 llk k 2 已知直线 和 则 1 l0 111 CyBxA 2 l0 222 CyBxA 1 l 2 l 0 2121 BBAA 要点三 点到直线的距离公式要点三 点到直线的距离公式 1 1 点到直线距离公式 点到直线距离公式 点到直线的距离为 00 yxP0 CByAxl 22 00 BA CByAx d 2 2 两平行线间的距离公式 两平行线间的距离公式 已知两条平行直线和的一般式方程为 则 1 l 2 l 1 l0 1 CByAx 2 l0 2 CByAx 与的距离为 1 l 2 l 22 21 BA CC d 要点诠释 要点诠释 一般在其中一条直线上随意地取一点 M 再求出点 M 到另一条直线的距离即可 1 l 2 l 要点四 对称问题要点四 对称问题 1 1 点关于点成中心对称 点关于点成中心对称 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点 因此中心对称的问题是线段中 点坐标公式的应用问题 设 对称中心为 则 P 关于 A 的对称点为 00 P xy A a b 00 2 2 Paxby 2 2 点关于直线成轴对称点关于直线成轴对称 由轴对称定义知 对称轴即为两对称点连线的 垂直平分线 利用 垂直 平分 这两个条件建 立方程组 就可求出对称点的坐标 一般情形如下 设点关于直线的对称点为 则有 求出 00 P xyykxb P xy 0 0 00 1 22 yy k xx yyxx kb x y 特殊地 点关于直线的对称点为 点关于直线的 00 P xyxa 00 2 Paxy 00 P xyyb 对称点为 00 2 P xby 3 3 两点关于点对称 两点关于直线对称的常见结论 两点关于点对称 两点关于直线对称的常见结论 1 点关于 x 轴的对称点为 x y xy 2 点关于 y 轴的对称点为 x y x y 3 点关于原点的对称点为 x y xy 4 点关于直线的对称点为 x y0 xy y x 5 点关于直线的对称点为 x y0 xy yx 要点五 圆的方程要点五 圆的方程 求圆的方程通常果用待定系数法 若条件涉及圆心 半径等 可设成圆的标准方程 若条件涉及 圆过一些定点 则可设成圆的一般方程 运用圆的几何性质可以使运算简便 1 1 圆的标准方程 圆的标准方程 222 xaybr 其中 ab 为圆心 为半径 r 要点诠释 要点诠释 1 如果圆心在坐标原点 这时 圆的方程就是 222 xyr 有关图形特00ab 征与方程的转化 如 圆心在 x 轴上 b 0 圆与 y 轴相切时 圆与 x 轴相切时 ar br 与坐标轴相切时 过原点 abr 222 abr 2 圆的标准方程 222 xaybr 圆心为 半径为 它显现了圆的几何特点 ab r 3 标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径 由圆的标准方程可知 确定一个圆的方程 只需要 a b r 这三个独立参数 因此 求圆的标准方程常用定义法和待定系数法 2 2 圆的一般方程 圆的一般方程 当时 方程 22 0 xyDxEyF 叫做圆的一般方程 为圆心 22 40DEF 22 DE 为半径 22 1 4 2 DEF 要点诠释 要点诠释 由方程得 22 0 xyDxEyF 22 22 4 224 DEDEF xy 1 当时 方程只有实数解 它表示一个点 22 DE 22 40DEF 22 DE xy 2 当时 方程没有实数解 因而它不表示任何图形 22 40DEF 3 当时 可以看出方程表示以为圆心 为半径 22 40DEF 22 DE 22 1 4 2 DEF 的圆 要点六 点和圆的位置关系要点六 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为 圆心为 半径为 则有 222 xaybr C ab r 1 若点在圆上 00 M xy 22 2 00 CMrxaybr 2 若点在圆外 00 M xy 22 2 00 CMrxaybr 3 若点在圆内 00 M xy 22 2 00 CMrxaybr 要点七 直线与圆的位置关系要点七 直线与圆的位置关系 1 1 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相交 有两个公共点 2 直线与圆相切 只有一个公共点 3 直线与圆相离 没有公共点 2 2 直线与圆的位置关系的判定方法 直线与圆的位置关系的判定方法 1 代数法 判断直线 与圆 C 的方程组成的方程组是否有解 l 如果有解 直线 与圆 C 有公共点 l 有两组实数解时 直线 与圆 C 相交 l 有一组实数解时 直线 与圆 C 相切 l 无实数解时 直线 与圆 C 相离 l 2 几何法 设直线 圆 圆心到 22 0 0 l AxByCAB 222 0 Cxaybrr C a b 直线 的距离记为 则 l 22 AaBbC d AB 当时 直线 与圆 C 相交 dr l 当时 直线 与圆 C 相切 dr l 当时 直线 与圆 C 相离 dr l 要点诠释 要点诠释 1 当直线和圆相切时 求切线方程 一般要用到圆心到直线的距离等于半径 求切线长 一般要 用到切线长 圆的半径 圆外点与圆心连线构成的直角三角形 由勾股定理解得 2 当直线和圆相交时 有关弦长的问题 要用到弦心距 半径和半弦构成的直角三角形 也是通 过勾股定理解得 有时还用到垂径定理 3 当直线和圆相离时 常讨论圆上的点到直线的距离问题 通常画图 利用数形结合来解决 要点八 圆与圆的位置关系要点八 圆与圆的位置关系 1 1 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 1 圆与圆相交 有两个公共点 2 圆与圆相切 内切或外切 有一个公共点 3 圆与圆相离 内含或外离 没有公共点 2 2 圆与圆的位置关系的判定 圆与圆的位置关系的判定 1 代数法 判断两圆的方程组成的方程组是否有解 有两组不同的实数解时 两圆相交 有一组实数解时 两圆相切 方程组无解时 两圆相离 2 几何法 圆与圆 两圆圆心距 222 1111 Cxaybr 222 2222 Cxaybr 则 22 2121 daabb 当时 两圆相交 1212 rrdrr 当时 两圆外切 12 rrd 当时 两圆外离 12 rrd 当时 两圆内切 12 rrd 当时 两圆内含 12 rrd 要点诠释 要点诠释 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法 通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定 这种方法运算量小 也可利用代数法 但是利用代数法解决时 一是运算量大 二是方程组仅有一解或 无解时 两圆的位置关系不明确 还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定 因此 在处理圆与 圆的位置关系时 一般不用代数法 要点九 求圆的切线方程的常用方法 要点九 求圆的切线方程的常用方法 1 直接法 应用常见结论 直接写出切线方程 2 待定系数法 设出切点坐标或切线斜率 由题意列出方程 组 解得切点坐标或切线斜率 写出 点斜式 最后将点斜式化为一般式 3 定义法 根据直线方程的定义求出切线方程 常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是 222 xyr 00 P xy 2 00 x xy yr 过圆上一点的切线方程是 22 2 xaybr 00 P xy 2 00 xaxaybybr 要点十 空间直角坐标系要点十 空间直角坐标系 空间直角坐标系中坐标的求法 过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点 交点在 这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标 确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题 的关键 必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法 典型例题典型例题 类型一 直线方程的综合问题类型一 直线方程的综合问题 例 1 已知 A m 3 2 B 2m 4 4 C m m D 3 3m 2 若直线 AB CD 求 m 的 值 思路点拨 两直线垂直的前提条件是 均存在且不为零 这类问题应分斜率 12 1k k 1 k 2 k 存在和不存在两种情况讨论 答案 1 或 1 解析 A B 两点纵坐标不相等 AB 与 x 轴不平行 AB CD CD 与 x 轴不垂直 m 3 m 3 当 AB 与 x 轴垂直时 m 3 2m 4 解得 m 1 而 m 1 时 C D 纵坐标均为 1 CD x 轴 此时 AB CD 满足题意 当 AB 与 x 轴不垂直时 由斜率公式 422 24 3 1 AB k mmm 322 1 3 3 CD mmm k mm AB CD 1 ABCD kk A 即 解得 m 1 22 1 1 1 3 m mm A 综上 m 的值为 1 或 1 举一反三 举一反三 变式 1 已知 求使的的值 1 l 2 3250 31 20 xaylaxay 12 lla 答案 或0 1 6 解析 解法一 当直线斜率不存在 即时 有 符合 0a 12 350 20lxlx 12 ll 直线斜率存在时 12 3311 26 a lla aa 故使的的值为或 12 lla0 1 6 解法二 由解得或 故使的的值为或 12 3 31 20 llaaa 0a 1 6 12 lla0 1 6 例 2 过点作直线 使其夹在两直线 和之间的线 0 1 Ml 1 3100lxy 1 2 80lxy 段被 M 平分 求直线 的方程 l 思路点拨 求直线方程需两个条件 现已知 过 需再求出 上的一个点或 的斜率 l 0 1 Mll 解析 方法一 设 11 llP 22 llP 12 llP 过 M 作 MQ l1交 l2于 Q 点 则 Q 为 PP2中点 由解得 点 P 坐标为 2 4 082 0103 yx yx 4 2 y x 又 MQ 的方程为 y 1 x 0 即 x 3y 3 0 3 1 由 得 Q 点坐标为 3 2 082 033 yx yx 2 3 y x 由中点坐标公式可得 P2坐标为 4 0 由两点式可得直线 的方程为 即 x 4y 4 0 l1 4 x y 方法二 由图示可得 的斜率存在 故设 的方程为 y kx 1 ll 由得 P1点坐标为 1 0103 kxy yx 13 7 k13 110 k k 由可解得 P2点坐标为 1 082 kxy yx 2 7 k2 28 k k M 0 1 是 P1P2的中点 0 解之得 k 13 7 k2 7 k4 1 直线 的方程为 即 x 4y 4 0 l 1 1 4 yx 方法三 设 P1坐标为 m n 由 M 0 1 为 P1P2中点 P2点坐标为 m 2 n P1 l1 P2 l2 有 m 3n 10 0 2m n 6 0 由 解得 062 0103 nm nm 2 4 n m 由两点式可得 方程 即 x 4y 4 0 l 24 1204 yx 总结升华 两个条件确定直线 求直线方程可用直接法也可用待定系数法 熟练运用中点坐标公 式 灵活运用直线方程形式 对简化解题过程是十分必要的 举一反三 举一反三 变式 1 直线 与直线 x 1 相交于 P 点 与直线 9x 3y 1 0 相交于 Q 点 并且线段 PQ 的中点为 l 3 那么直线 的斜率是 3 1 l A B C D 5 2 2 5 5 2 2 5 答案 B 解析 设 P 1 y1 由 P Q 中点为 3 3 1 故 Q 点横坐标为 代入 9x 3y 1 0 中得 Q 3 1 3 1 3 4 所以得 P 1 tan 3 14 2 5 例 3 求直线 关于直线 对称的直线方程 20 xy 330 xy 思路点拨 求出交点坐标 转化为求点关于直线的对称点的问题 答案 7x y 22 0 解析 由 得交点 取直线 上点 A 0 2 设 A 关于直线 的对称点为 59 22 P 000 A x y 则有 解得 0 0 00 2 31 0 2 330 22 y x xy 0 0 3 1 x y 故所求直线过点 所求直线方程为 7x y 22 0 59 22 31 总结升华 本题利用转化思想 将对称直线问题转化成对称点问题 在中学数学中 转化与化 归是最基本 最重要的思想方法之一 它无处不在 举一反三 举一反三 变式 1 由点 P 2 3 发出的光线射到直线上 反射后过点 Q 1 1 则反射光线1xy 所在直线的一般方程为 答案 4510 xy 解析 设点 P 关于直线的对称点 则满足条件1xy 00 P xy 00 P xy 00 0 0 23 1 22 3 1 2 xy y x 解得 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为 4 3 P 3 1 1 1 4 1 yx 即 4510 xy 类型二 圆的方程的综合问题类型二 圆的方程的综合问题 例 4 直线 被圆 C 所截得的弦的长 l210 xy 22 42200 xyxy 思路点拨 在解决有关圆的一类问题时 应先注意利用与圆有关的几何性质 解析 圆 C 方程化为 故圆心 半径 22 2 1 25xy 2 1 C5r 圆心到直线 的距离 2 1 Cl 22 22 1 5 12 d 由垂径定理得弦长 222 22 25 5 4 5lrd 举一反三 举一反三 变式 1 直线 被圆 C 所截得的弦的中点是 求直线 的方程 l 22 20 xyy 1 3 2 2 M l 答案 20 xy 变式 2 已知直线 和圆 l2830mxym C 22 612200 xyxy 1 时 证明 与总相交 mR lC 2 取何值时 被截得弦长最短 求此弦长 mlC 答案 1 将直线 整理成点斜式方程 则直线 过定点 斜率为 l32 4 ym x l 4 3 A 2km 将圆整理为标准方程 则圆心 半径 22 3 6 25xy 3 6 C 5r 22 43 36 105AC 点在圆内 故时 与总相交 4 3 A CmR lC 2 由 当 与垂直时 被截得弦长最短 3 AC k lClC 当即时 弦长最短 1 2 3 km 1 6 m 设弦端点为 则 即最短弦长为 PQ 22 2 2 15PQrAC 2 15 类型三 直线与圆的方程的综合问题类型三 直线与圆的方程的综合问题 例 5 已知 C 点 P 2 1 过点 P 作 C 的切线 切点为 A B 22 1 2 2xy 1 求切线 PA PB 的方程 2 求线段 PA 的长 3 求过 A B 两点的直线方程 4 求弦 AB 的长 思路点拨 用切线的几何特征 平面几何知识解题 解析 1 2 1 2 1 2 2 10 2 点 P 2 1 在 C 外 由题意知过点 P 的切线的斜率存在 设所求圆的切线方程为 y 1 k x 2 即 210kxyk 由圆心 C 1 2 到切线的距离为半径 2 得 解得 k 7 或 k 1 2 3 2 1 k k 故所求切线方程为或 7150 xy 10 xy 2 在 Rt APC 中 PA 2 PC 2 AC 2 8 2 2PA 3 以 P 为圆心 AP 的长为半径的圆的方程为 线段 AB 为 C 与 P 的 22 2 1 8xy 公共弦 由圆系方程知 公共弦 AB 所在的直线方程为 330 xy 4 圆心 C 到弦 AB 的距离为 圆半径 由平面几何知识得 22 1 63 2