等差数列与等比数列的综合问题

精品文档 1欢迎下载 等差数列与等比数列的综合问题 知识要点 一 等差 等比数列的性质 1 等差数列 an 的性质 1 am ak m k d d km aa km 2 若数列 an 是公差为d的等差数列 则数列 an b b为常数 是公差为 d的等差数 列 若 bn 也是公差为d的等差数列 则 1an 2bn 1 2为常数 也是等差数列且公差为 1d 2d 3 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m 组成的数列仍为等差数列 公差为md 4 若m n l k N N 且m n k l 则am an ak al 反之不成立 5 设A a1 a2 a3 an B an 1 an 2 an 3 a2n C a2n 1 a2n 2 a2n 3 a3n 则A B C成等差数 列 6 若数列 an 的项数为 2n n N N 则S偶 S奇 nd S2n n an an 1 an an 1为中 奇 偶 S S n n a a 1 间两项 若数列 an 的项数为 2n 1 n N N 则S奇 S偶 an S2n 1 2n 1 an an为中间项 奇 偶 S S n n1 2 等比数列 an 的性质 1 am ak qm k 2 若数列 an 是等比数列 则数列 1an 1为常数 是公比为q的等比数列 若 bn 也是公比 为q2的等比数列 则 1an 2bn 1 2为常数 也是等比数列 公比为q q2 3 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m 组成的数列仍为等比数列 公比为qm 4 若m n l k N N 且m n k l 则am an ak al 反之不成立 5 设A a1 a2 a3 an B an 1 an 2 an 3 a2n C a2n 1 a2n 2 a2n 3 a3n 则A B C成等比数列 设M a1 a2 an N an 1 an 2 a2n P a2n 1 a2n 2 a3n 则M N P也成等比数列 二 对于等差 等比数列注意以下设法 如三个数成等差数列 可设为a d a a d 若四个符号相同的数成等差数列 知其和 可设为 a 3d a d a d a 3d 三个数成等比数列 可设为 a aq 若四个符号相同的数成等比数列 知 q a 其积 可设为 aq aq3 3 q a q a 三 用函数的观点理解等差数列 等比数列 1 对于等差数列 an a1 n 1 d dn a1 d 当d 0 时 an是n的一次函数 对应的点 n an 是位于直线上的若干个点 当d 0 时 函数是增函数 对应的数列是递增数列 同理 d 0 时 函数是常数函数 对应的数列是常数列 d 0 时 函数是减函数 对应的数列是递减函数 若等差数列的前n项和为Sn 则Sn pn2 qn p q R R 当p 0 时 an 为常数列 当p 0 时 可 用二次函数的方法解决等差数列问题 2 对于等比数列 an a1qn 1 可用指数函数的性质来理解 精品文档 2欢迎下载 当a1 0 q 1 或a1 0 0 q 1 时 等比数列是递增数列 当a1 0 0 q 1 或a1 0 q 1 时 等比数列 an 是递减数列 当q 1 时 是一个常数列 当q 0 时 无法判断数列的单调性 它是一个摆动数列 点击双基 1 等比数列 an 的公比为q 则 q 1 是 对于任意自然数n 都有an 1 an 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 2 已知数列 an 满足an 2 an n N N 且a1 1 a2 2 则该数列前 2002 项的和为 A 0 B 3 C 3 D 1 3 若关于x的方程x2 x a 0 和x2 x b 0 a b 的四个根可组成首项为的等差数列 则a b的 4 1 值是 A B C D 8 3 24 11 24 13 72 31 4 在等差数列 an 中 当ar as r s 时 数列 an 必定是常数列 然而在等比数列 an 中 对某 些正整数r s r s 当ar as时 非常数列 an 的一个例子是 5 等差数列 an 中 a1 2 公差不为零 且a1 a3 a11恰好是某等比数列的前三项 那么该等比数 列公比的值等于 典型例题 例 1 已知 an 是等比数列 a1 2 a3 18 bn 是等差数列 b1 2 b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 20 1 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前n项和Sn的公式 3 设Pn b1 b4 b7 b3n 2 Qn b10 b12 b14 b2n 8 其中n 1 2 试比较Pn与Qn的大小 并证明你的结论 例 2 已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第二项 第五项 第十四项分别是等比数列 bn 的第二项 第三项 第四项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设数列 cn 对任意正整数n均有 n 1 an 1成立 其中m为不 1 1 b c 2 2 mb c 3 2 3 bm c n n n bm c 1 等于零的常数 求数列 cn 的前n项和Sn 精品文档 3欢迎下载 例 3 在等比数列 an n N N 中 a1 1 公比q 0 设bn log2an 且b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求 bn 的前n项和Sn及 an 的通项an 3 试比较an与Sn的大小 经典练习 1 在等比数列 an 中 a5 a6 a a 0 a15 a16 b 则a25 a26的值是 A B C D a b 2 2 a b a b2 2 a b 2 公差不为零的等差数列 an 的第二 三及第六项构成等比数列 则 642 531 aaa aaa 3 若数列x a1 a2 y成等差数列 x b1 b2 y成等比数列 则的取值范围是 21 2 21 bb aa 4 已知数列 an 中 a1 且对任意非零自然数n都有an 1 an n 1 数列 bn 对任意非零自然 6 5 3 1 2 1 数n都有bn an 1 an 2 1 1 求证 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 5 设 an 为等差 bn 为等比数列 a1 b1 1 a2 a4 b3 b2b4 a3 分别求出 an 及 bn 的前 10 项的和 S10及T10 精品文档 4欢迎下载 6 已知数列 an 是等差数列 且a1 2 a1 a2 a3 12 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn anxn x R R 求数列 bn 前n项和的公式 7 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足an 2 2an 1 an 0 n N N 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn n N N Sn b1 b2 bn 是否存在最大的整数m 使得任意的n均有Sn 12 1 n an 总成立 若存在 求出m 若不存在 请说明理由 32 m 8 已知数列 an 的各项均为正整数 且满足an 1 an2 2nan 2 n N N 又a5 11 1 求a1 a2 a3 a4的值 并由此推测出 an 的通项公式 不要求证明 2 设bn 11 an Sn b1 b2 bn Sn b1 b2 bn 求的值 n lim n n S S 9 设f k 是满足不等式 log2x log2 3 2k 1 x 2k 1 k N N 的自然数x的个数 1 求f k 的表达式 2 记Sn f 1 f 2 f n Pn n2 n 1 当n 5 时试比较Sn与Pn的大小 10 已知数列