第四讲-立体几何题型归类总结

高中数学 立体几何 1 第四讲第四讲 立体几何题型归类总结立体几何题型归类总结 一 考点分析一 考点分析 基本图形基本图形 1 棱柱 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围成的几 何体叫做棱柱 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱 正棱柱 直棱柱 其他棱柱 四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 2 棱锥棱锥 棱锥棱锥 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体叫做棱锥 正棱锥 如果有一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面的射影是底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥 3 球 球 球的性质 球的性质 球心与截面圆心的连线垂直于截面 其中 球心到截面的距离为 d 球的半 22 rRd 径为 R 截面的半径为 r 球与多面体的组合体 球与多面体的组合体 球与正四面体 球与长方体 球与正 方体等的内接与外切 注 球的有关问题转化为圆的问题解决 球面积 体积公式 球面积 体积公式 其中 R 为球的半径 23 4 4 3 SR VR 球球 顶顶点点侧侧面面 斜斜高高 高高 侧侧棱棱 底底面面 O CD A B H S l 侧侧棱棱 侧侧面面 底底面面 E B D C A F B DE A FC r r d d R R 球球面面 轴轴球球心心 半半径径 A O O1 B A C D B CD O AB O C A A c 高中数学 立体几何 2 平行垂直基础知识网络平行垂直基础知识网络 平行关系平行关系 平面几何知识平面几何知识 线线平行线线平行 线面平行线面平行面面平行面面平行 垂直关系垂直关系 平面几何知识平面几何知识 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 判定 性质 判定推论 性质 判定 判定 性质 判定 面面垂直定义 1 abab 2 aabb 3 aa 4 aa 5 平行与垂直关系可互相转化 异面直线所成的角 线面角 二面角的求法异面直线所成的角 线面角 二面角的求法 1 求异面直线所成的角 求异面直线所成的角 0 90 解题步骤 一找 作 一找 作 利用平移法找出异面直线所成的角 1 可固定一条直线平移 另一条与其相交 2 可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置 常用中位线平移法 二证 二证 证明所找 作 的角就是 异面直线所成的角 或其补角 常需要证明线线平行 三计算 三计算 通过解三角形 求出异面直线所成的角 2 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 关键找 关键找 两足两足 垂足与斜足 垂足与斜足 0 90 解题步骤 一找 解题步骤 一找 找 作 出斜线与其在平面内的射影的夹角 注意三垂线定理的应用 二证 二证 证明所找 作 的角就是直线与平面所成的角 或其补角 常需证明线面垂直 三计算 三计算 常通过解直角三角形 求出线面角 3 求二面角的平面角求二面角的平面角 0 解题步骤 一找 解题步骤 一找 根据二面角的平面角的定义 找 作 出二面角的平面角 二证 二证 证明所找 作 的平面角就是二面角的平面角 常用定义法 三垂线法 垂面法 三计算 三计算 通过解三角形 求出二面角 的平面角 高中数学 立体几何 3 俯视图 二 典型例题二 典型例题 考点一 三视图考点一 三视图 1 一空间几何体的三视图如图 1 所示 则该几何体的体积为 第 1 题 2 若某空间几何体的三视图如图 2 所示 则该几何体的体积是 第 2 题 第 3 题 3 一个几何体的三视图如图 3 所示 则这个几何体的体积为 4 若某几何体的三视图 单位 cm 如图 4 所示 则此几何体的体积是 第 4 题 第 5 题 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 3 正视图正视图 俯视图俯视图 1 1 2 左视图左视图 a 高中数学 立体几何 4 5 如图 5 是一个几何体的三视图 若它的体积是 则 3 3 a 6 已知某个几何体的三视图如图 6 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 7 若某几何体的三视图 单位 如图所示 则此几何体的体积是 cm 3 cm 8 设某几何体的三视图如图 8 尺寸的长度单位为 m 则该几何体的体积为 m3 第 7 题 第 8 题 9 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形 俯视图是一个圆 那么这个几何体的侧面积为 图 9 20 20 正视图正视图 20 侧视图侧视图 10 10 20 俯视图俯视图 2 23 2 21 俯视图正 主 视图侧 左 视图 2 3 2 2 高中数学 立体几何 5 10 一个三棱柱的底面是正三角形 侧棱垂直于底面 它的三视图及其尺寸如图 10 所示 单位 cm 则该三棱柱的表面积 为 图 10 11 如图 11 所示 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形 俯视图是一个直径为 1 的圆 那么这个几何 体的全面积为 图 图 11 图 12 图 13 12 如图 12 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形 俯视图是一个圆 那么几何体的侧面积为 13 已知某几何体的俯视图是如图 13 所示的边长为的正方形 主视图与左视图是边长为的正三角形 则其表面积是 22 14 如果一个几何体的三视图如图 14 所示 单位长度 则此几何体的表面积是 cm 图 14 15 一个棱锥的三视图如图图 9 3 7 则该棱锥的全面积 单位 2 cm 正视图 俯视图 高中数学 立体几何 6 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 33 4 正视图 左视图 俯视图 图 15 16 图 16 是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 图 16 图 17 17 如图 17 一个空间几何体的主视图 左视图 俯视图为全等的等腰直角三角形 如果直角三角形的直角边长为 1 那么 这个几何体的体积为 18 若一个底面为正三角形 侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图 9 3 14 所示 则这个棱柱的体积为 图 18 考点二考点二 体积 表面积 距离 角体积 表面积 距离 角 注 注 1 6 体积表面积体积表面积 7 11 异面直线所成角异面直线所成角 12 15 线面角线面角 1 将一个边长为 a 的正方体 切成 27 个全等的小正方体 则表面积增加了 2 在正方体的八个顶点中 有四个恰好是正四面体的顶点 则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为 3 设正六棱锥的底面边长为 1 侧棱长为 那么它的体积为 5 4 正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 则它的体积是原来的 2 1 5 已知圆锥的母线长为 8 底面周长为 6 则它的体积是 6 平行六面体的体积为 30 则四面体的体积等于 1 AC 11 ABCD 俯视图 正 主 视图侧 左 视图 2 3 2 2 高中数学 立体几何 7 7 如图 7 在正方体中 分别是 中点 求异面直线与所成角的角 1111 ABCDABC D E F 11 AD 11 C D 1 AB EF 8 如图 8 所示 已知正四棱锥 S ABCD 侧棱长为2 底面边长为3 E 是 SA 的中点 则异面直线 BE 与 SC 所成 角的大小为 第 8 题 第 7 题 9 正方体中 异面直线和所成的角的度数是 ABCDABC D CD BC 10 如图 9 1 3 在长方体中 已知 则异面直线与所成的角是 1111 ABCDABC D 1 3 ABBC BCCC 1 AA 1 BC 异面直线与所成的角的度数是 AB1 CD 图 13 11 如图 9 1 4 在空间四边形中 分别是 AB CD 的中点 则 与所成角 ABCDACBD ACBD E F EF AC 的大小为 12 正方体中 与平面所成的角为 1 AC 1 AB 11 ABC D 高中数学 立体几何 8 13 如图 13 在正三棱柱中 则直线与平面所成角的正弦值为 111 ABCABC 1 ABAA 1 CB 11 AAB B 14 如图 9 3 6 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 对角线 BD1 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 图 9 3 6 图 9 3 1 图 7 15 如图 9 3 1 已知为等腰直角三角形 为空间一点 且 ABC P5 2 ACBCPCAC 的中点为 则与平面所成的角为 PCBC 5PC ABMPMABC 16 如图 7 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 O 是底面 A1B1C1D1的中心 则 O 到平面 AB C1D1的距离为 17 一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面 球心到这个平面的距离是 4cm 则该球的体积是 18 长方体 1111 ABCDABC D 的 8 个顶点在同一个球面上 且 AB 2 AD 3 1 1 AA 则顶点 A B 间的球面距 离是 19 已知点 A B C D在同一个球面上 ABBCD 平平 BCCD 若6 AB 2 13 AC 8AD 则 B C两点间的球面距离是 20 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M 为 DD1的中点 O 为底面 ABCD 的中心 P 为棱 A1B1上任意一点 则直线 OP 与直线 AM 所成的角是 21 ABC 的顶点 B 在平面 a 内 A C 在 a 的同一侧 AB BC 与 a 所成的角分别是 30 和 45 若 AB 3 BC 24 AC 5 则 AC 与 a 所成的角为 22 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 3 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D 则四面体 ABCD 的外接球的体积为 23 已知点 A B C D在同一个球面上 ABBCD 平平 BCCD 若6 AB 2 13 AC 8AD 则 B C两点间的球面距离是 A C B P M A1 C A1 B A1 A A1 B1 C1 D1 D A1 O A1 高中数学 立体几何 9 24 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2 3 则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 25 已知是球表面上的点 S A B COSAABC 平面ABBC 1SAAB 则球表面积等于 2BC O 26 已知正方体的八个顶点都在球面上 且球的体积为 则正方体的棱长为 32 3 27 一个四面体的所有棱长都为 四个顶点在同一球面上 则此球的表面积为 2 考点四考点四 平行与垂直的证明平行与垂直的证明 1 正方体 1111 ABCD A B C D 1 AA 2 E 为棱 1 CC的中点 求证 11 B DAE 求证 AC平面 1 B DE 求三棱锥A BDE的体积 2 已知正方体 是底对角线的交点 求证 C1O 面 2 1111 ABCDABC D OABCD 11 AB D 面 1 AC 11 AB D 3 如图 矩形所在平面 分别是和的中点 PA ABCDMNABPC 求证 平面 MNPAD 求证 MNCD 若 求证 平面 45PDA MN PCD N M P D CB A A 1 D 1 C 1 B 1 A E D C B D1 O D BA C1 B1 A1 C 高中数学 立体几何 10 4 如图 1 ABCD 为非直角梯形 点 E F 分别为上下底 AB CD 上的动点 且 现将梯形 AEFD 沿 EFEFCD 折起 得到图 2 1 若折起后形成的空间图形满足 求证 DFBC ADCF 2 若折起后形成的空间图形满足四点共面 求证 平面 A B C D ABDEC 5 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE ABAD M 为 EC 的中点 N 为 AE 的中点 AF AB BC FE AD 1 2 I 证明平面 AMD平面 CDE II 证明平面 CDE BN 6 在四棱锥 P ABCD 中 侧面 PCD 是正三角形 且与底面 ABCD 垂直 已知菱形 ABCD 中 ADC 60 M 是 PA 的中点 O 是 DC 中点 1 求证 OM 平面 PCB 2 求证 PA CD 3 求证 平面 PAB 平面 COM AB CD E F 图 1 EB C F D A 图 2 A FE B C D M N P D A BC O M 高中数学 立体几何 11 7 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD 底面 ABCD PD DC E 是 PC 的中点 作 EF PB 交 PB 于点 F 1 证明 PA 平面 EDB 2 证明 PB 平面 EFD 8 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长是 侧棱长是 3 点 E F 分别在 BB1 3 DD1上 且 AE A1B AF A1D 1 求证 A1C 面 AEF 2 求二面角 A EF B 的大小 3 点 B1到面 AEF 的距离 考点五考点五 异面直线所成的角 线面角 二面角异面直线所成的角 线面角 二面角 1 如图 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为正方形 PD 底面 ABCD PD AD 求证 1 平面 PAC 平面 PBD 2 求 PC 与平面 PBD 所成的角 A B C D P E F 高中数学 立体几何 12 2 2 如图所示 已知正四棱锥 S ABCD 侧棱长为 底面边长为 E 是 SA 的中点 则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小23 为 3 正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1底面边长为 1 侧棱长为 则这个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1所成的角是2 4 若正四棱锥的底面边长为 2cm 体积为 4cm3 则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 3 5 如图 在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中 平面 ABCD 且 PA AB 点 E 是 PD 的中点 ABAC PA 1 求证 2 求证 平面 AEC ACPB PB 3 若 求