第十组数学建模第三次作业

1 易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 例如饮料量为 355 毫升的可口可 乐 青岛啤酒等 的饮料罐 即易拉罐 的形状和尺寸几乎都是一样的 看来 这并 非偶然 这应该是某种意义下的最优设计 当然 对于单个的易拉罐来说 这种最 优设计可以节省的钱可能是很有限的 但是如果是生产几亿 甚至几十亿个易拉罐 的话 可以节约的钱就很可观了 现在来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题 具体说 完成 以下的任务 1 取一个饮料量为 355 毫升的易拉罐 例如 355 毫升的可口可乐饮料罐 测量验证模型所需要的数据 例如易拉罐各部分的直径 高度 厚度等 并把 数据列表加以说明 2 设易拉罐是一个正圆柱体 什么是它的最优设计 其结果是否可以合 理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸 例如说 半径和高之比 等等 3 设易拉罐的中心纵断面如下图所示 即上面部分是一个正圆台 下面 部分是一个正圆柱体 什么是它的最优设计 其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺 寸 4 利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力 做出关于易拉罐形状和尺寸的最 优设计 2 易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 本题在建立数学模型的基础上 用 LINGO 实证分析了各种标准下 易拉罐的优化设计问题 并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分 析 结论表明 易拉罐的设计不但要考虑材料成本 造价 还要满足 结构稳定 美观 方便使用等方面的要求 在第二个问题中 易拉罐被假定为圆柱体 针对材料最省的标准 得到了不同顶部 底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案 针对材 料厚度的不同 建立两个模型 模型一 设易拉罐各个部分厚度和材 料单价完全相同 最优设计方案为半径与高的比 为圆柱的 1 2R H H 高 为圆柱的半径 模型二 设易拉罐顶盖 底部厚度是罐身的 3R 倍 通过计算得到半径与高时 表面积最小 一般情况下 1 6R H 当顶盖 底部厚度是罐身的 倍时 最优设计方案为 b 2R Hb 在第三问中 针对圆柱加圆台的罐体 本文也建立了两个模型 模型三 设易拉罐整体厚度相同 利用 LINGO 软件对模型进行分析 得出当 为圆台的高 为圆台上盖的半径 时 设计最24HhRr hr 优 模型四 假设罐顶盖 底部的厚度是罐身的 3 倍 同样利用软件 LINGO 对其进行分析 得出 时材料最省 即顶部为圆4 5HhR 0r 3 锥时材料最省 模型的结果在理论上成立 但与实际数据不符 原因 是厂商在制作易拉罐时 不仅要考虑材料最省 还要考虑开盖时所受 到的压力 制造工艺 外形美观 坚固耐用等因素 在第四问中 本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误 差 调整了的设计标准 在材料最省的基础上 加入了方便使用 物 理结构更稳定等标准 通过比较发现 前面四个模型中 模型二和模 型四体现了硬度方面的要求 进一步对模型二 四进行比较 发现模 型四的结论更优 为此 将模型四结论中的底部也设计为圆锥 此时 材料最省 但是 两端都设计为圆锥时 无法使用 因此 将项部和 底部设计为圆台 并考虑拉环长度和手指厚度 易于拉动拉环 时 得 到圆台顶端和底部半径都为 2 7 此时 易拉罐形状和尺寸最优 如果 设计为旋转式拉环 时 可以得到优于现实2 2 0 75 3 93 6 86rhRH 中易拉罐的设计方案 最后 本文总结了此次数学建模中有益的经验 在数学建模过程必 须灵活应用从简到繁 由易到难不断扩展的研究方法 并且要充分发 挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势 文中符号注解文中符号注解 4 R 圆柱半径 r 圆台半径 H 圆柱高 h 圆台高 S 易拉罐表面积 V 易拉罐体积 MIN 最小化 为方便在 LINGO 软件中计算 定义 X1 在软件 LINGO 中的圆柱半径 R X2 在软件 LINGO 中的圆柱高 H X3 在软件 LINGO 中的圆台半径 r X4 在软件 LINGO 中的圆台高 h 第一问第一问 取一个饮料量为 355 毫升的易拉罐 例如 355 毫升的可 口可乐饮料罐 测量验证模型所需要的数据 例如易拉罐各部分的直 径 高度 厚度等 表 1 数据测量结果 1 mm 2 mm 3 mm 4 mm 平均 mm D1 罐盖直径 57 8458 3058 0458 6058 20 D2 罐身直径 65 7065 5665 5165 5865 60 D3 罐底直径 47 5647 6247 1847 7447 53 X1 罐盖厚度 0 3140 3020 3150 3100 310 X2 罐身厚度 0 1080 1100 1140 1100 111 X3 罐底厚度 0 3270 3200 3390 3440 333 H1 罐盖高度 10 3010 9810 429 9610 42 H2 罐身高度 101 98102 06102 36101 92102 08 H3 罐底高度 5 625 305 124 865 23 L 罐盖斜边长度 0 1930 2040 2100 2010 202 拉环长度42 5342 4842 4842 5142 50 注 数据由测量可口可乐注 数据由测量可口可乐 355ml355ml 易拉罐所得 易拉罐所得 本文测量以上数据是为了在以下建模中 提供数据和验证结果 重要的是 拉 环长度与易拉罐项部直径相差约 1 53 厘米左右 正好是指头厚度 显然是使用方 5 便设计的 第二问第二问 设易拉罐是一个正圆柱体 什么是它的最优设计 其结 果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸 例如说 半径和高之比 等等 一 问题重述 一个饮料量为 355 毫升的易拉罐 找出易拉罐的最优设计 假设它是一个正圆 柱体 在不考虑易拉罐受外界影响下 求在正圆柱体的表面积最小时 底半径 r 与 高度 h 的比值 二 问题分析 假设最优化条件为保证容积的情况下 使制作易拉罐所需材料最省 表面积为 最小 在表面积为最小时 设圆柱形的体积 V 为常数 求底半径 r 与高度 h 的比 值 如果能求出一定比例 就能找出模型最优设计 在建立模型之前 必须考虑易 拉罐的厚度 一种是在考虑节约材料前提下 另一种是在考虑材料受力的情况 三 模型假设 建立与求解 一 易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型 1 假设 1 易拉罐是正圆柱体 2 易拉罐整体厚度均相同 2 确定变量和参数 设易拉罐内半径为 R 高为 H 厚度为 a 体积为 V 其中 r 和 h 是自变量 所用材料的面积 S 是因变量 而 V 是固定参数 则 S 和 V 分别为 22 2 2SRaaRaHR H 2233 2422aRa RaHRaHa 2 VR H 2 V H R 设 2 g R HR HV 3 模型建立 6 min 0 0 S r h RH 0g R H 其中 S 是目标函数 是约束条件 V 是已知的 即要在体积一定 0g R H 的条件下求 S 的最小值时 r 和 h 的取值是多少 4 模型求解 因为按照实际测量数据可知 所以带 的项可以忽略 且 则ar 2 a 3 a 2 V H R 有 2 2 2 aV S R H RaR R 求的最小值 令其导数为零 即 解得临界点为 S r h r 0SR H R 则 3 2 V R 3 2 3 22 2 2 VV HR V 因为 则 所以当 R H 1 2 时 是 S 最优 3 4 4 aV SRa R 3 120 2 V Sa 解 5 模型结论 在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下 当体积为固定参数 而表面 积最小时 通过对面积求导 得到高是半径的两倍 r h 1 2 此时 模型最优 二 易拉罐顶盖 底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型 1 假设 1 易拉罐是正圆柱体 2 易拉罐顶盖 底盖厚度为 3a 其它部分厚度为 a 2 确定变量和参数 设饮料内半径为 R 高为 H 体积为 V 易拉罐顶盖 7 底盖厚度为 a 其它部分厚度为 b 其中 r 和 h 是自变量 所用材料的体积 S 是因变量 而 a b c 和 V 是固定参数 则 S 和 V 分别为 22 2 23SRaaRaHR H 2232 61262a RaRaRaHa H 2 VR H 2 V H R 设 2 12Vxx 2 g R HR HV 3 模型建立 min 0 0 S R H RH 0g R H 其中 S 是目标函数 是约束条件 厚度比例与 V 是已知的 即要 0g R H 在体积 V 一定的条件下求 r 和 h 的取值是多少时体积 S 最小 4 模型求解 因为按照实际测量数据可知 所以带 的项可以忽略 且 aR 2 a 3 a 2 V H R 则 2 2 6 aV Sa R R 求的最小值 令其导数为零 即 解得临界点为 S r h r 0SR H R 则 3 6 V R 3 2 3 66 2 6 VV HR V 因为 则 因此当 H 6R 时 S 为最优 3 4 12 aV SRa R 3 480 6 V Sa 解 观察模型 一 与模型 二 可见当厚度比例不同时 半径与高的比不同 似乎 有一定的联系 因此我们假设顶与底盖厚度为 ab 壁的厚度为 a 其中 b 为比例系 数 则 8 22 2 2SRabaRaHR H 2232 2422abRa bRa bHRaHa 因为按照实际测量数据可知 所以带 的项可以忽略 且 aR 2 a 3 a 2 V H R 则有 2 2 2 aV Sab R R 求的最小值 令其导数为零 即 解得临界点为 S r h r 0SR H R 则 3 2 V R b 3 2 3 22 2 2 VV HbbR V b 因为 则 因此当 R H 1 2b 时 S 为最 3 4 4 aV SRab R 3 120 2 V Sab b 优解 5 模型结论 在假设易拉罐是正圆柱体 且顶盖 底部的厚度是罐身的三倍的条件下 当体 积为固定参数 而表面积最小时 通过对表面积求导 得到半径与高的比是一比六 R H 1 6 此时 观察模型 一 与模型 二 可见当厚度比例不同时 半径与高的 比不同 似乎有一定的联系 因此本题假设顶与底盖厚度为 ab 壁的厚度为 a 其 中 b 为比例系数 则 R H 1 2b 四 模型评价 在不考虑厚度的情况下 考虑节约材料前提下得到 底半径 r 是高度 h 的一半 时 圆柱的表面积最小 考虑易拉罐顶盖 底盖厚度与罐体厚度不同的情况下 考 虑了材料的厚度 因此 建立顶端是侧壁的三倍厚度 因为此比例有利于罐身受力 便于开盖 高度 h 是底半径 r 的 6 倍时 圆柱的表面积最小 第一二种模型相较 之下 第二种模型更费材料 第一种模型设计更优 所以 在不受力的情况下 假 设易拉罐是一个正圆柱体 当底半径 r 是高度 h 的一半时 模型最优 不过 本文 通过实际数据发现 厂商制作易拉罐时 不单单是考虑材料最省 可能还考虑到开 盖时所受到的压力 外形美观等因素 9 第三问第三问 设易拉罐的中心纵断面如下图所示 即上面部分是一个 正圆台 下面部分是一个正圆柱体 什么是它的最优设计 其结果是 否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸 一 问题描述 通常 在现实生活中 本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体 一般都是混 合的三维图形 由于实际生活中 易拉罐是受到外力的影响 如开盖时的拉力 堆 放时的压力等等 因此 本文依照生活中的易拉罐 设易拉罐的中心纵断面如图 1 所示 即上面部分是一个正圆台 下面部分是一个正圆柱体 通过计算和测量 在理论的基础上 建立易拉罐最优设计的模型 图 1 二 问题分析 本文假设最优化条件为保证容积的情况下 使制作易拉罐所需材料最省 表面 积为最小 由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体 所以本文建立模型时 先假设 易拉罐上部分是一个正圆台 下部分是一个正圆柱体 然后 考虑易拉罐的厚度 在厚度一致时 利用 lingo 软件 计算出模型的最优解 通过本文观察发现易拉罐 顶盖的厚度是罐身的三倍 所以 假设另一种模型当易拉罐顶盖 底盖厚度为 a 其余部分为 b 且 a b 3 1 体积 V 355ml 时 同样利用 lingo 软件 计算出模型 的最优解 10 三 模型假设 建立与求解 一 第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 1 假设 1 易拉罐上部分是一个正圆台 下部分是一个正圆柱体 2 易拉罐整体厚度均相同 2 确定变量和参数 设易拉罐顶盖 底部半径为 R 正圆柱体高为 H 正圆台高为 h 体积为 V 其中 R r H h 是自变量 所用材料的体积 S 是因变量 而 V 是固定参 数 则 S 和 V 分别为 2 222 2SRrRHRrhRr 222 1 3 VR HRRrrh 设 222 1 3 g R r H hR HRRrrh V 3 模型建立 min 0 0 0 0 S R r H h RrHh 0g R r H h 其中 S 是目标函数 是约束条件 V 是已知的 即要在体积一 0g R r H h 定的条件下求表面积最小值时 R r H h 的取值各是多少 4 模型求解 利用 LINGO 求解 设 R x1 r x3 H x2 h x4 则 2 222 1321213413Sxxxxxxxxx 2221 1211334 3 Vxxxxxxx 利用 LINGO 计算结果 见附表一 得 H h 2R 4r 时 S 为最优解 5 模型结论 11 在易拉罐上部分是一个正圆台 下部分是一个正圆柱体 且厚度均相同的 前提下 当体积为固体参数 表面积最小时 利用软件 LINGO 计算 得到圆 台的高与圆拄的高等于两倍圆拄的半径 同时也等于四倍的圆台的半径 H h 2R 4r 模型最优 二 第四种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 1 假设 1 易拉罐上部分是一个正圆台 下部分是一个正圆柱体 2 易拉罐整体厚度 3 V 355ml 2 确定变量和参数 设易拉罐顶盖半径为 底盖半径为 R 正圆柱体高为 H 正圆 台高为 h 体积为 V 其中 R r H h 是自变量 所用材料的体积 S 是因变量 而 V 是 固定参数 则 S 和 V 分别为 2 222 2SaRrRHbb RrhRr 222 1 3 VR HRRrrh 设 222 1 3 g R r H hR HRRrrh V 3 模型建立 min 0 0 0 0 S R r H h RrHh 0g R r H h 其中 S 是目标函数 是约束条件 V 是已知的 即要在体积一 0g R r H h 定的条件下求表面积最小值时 R r H h 的取值各是多少 4 模型求解 利用 LINGO 求解 设 R x1 r x3 H x2 h x4 且 a 0 333 b 0 111 则 2 222 0 333132120 111 0 11113413Sxxxxxxxxx 12 2221 1211334 3 Vxxxxxxx 利用 LINGO 计算结果 见附表二 得 时 S 为最优解4 5HhR 0r 5 模型结论 在假设易拉罐上部分是一个正圆台 下部分是一个正圆拄体 且厚度不同 顶 盖 底部半径是罐身 3 倍的条件下 当体积为固定参数 而表面积最小时 通过软 件 LINGO 得到 H h 约等于 4 5R 模型最优 0r 四 模型评价 以材料节约 实用为基础 建立易拉罐的形状和尺寸最有设计的模型 第三个 模型优点在于实用 第四个模型更为优化 因为 本文在建立模型时发现 模型四 在制作过程中 所用材料更为节约 造价更低 所以 第四种模型更为优化 第四问第四问 利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力 做出关于易拉罐 形状和尺寸的最优设计 一 对现有易拉罐的解释 如果增加两个标准 考虑易拉罐的稳定性和使用的方便性 考虑稳定性时 只 能采用模型二与模型四的设计 将厚度比例本题视为已知条件时 代入测量所得的 数据 并利用 LINGO 求解模型二 目标 求 22 min61262Sarararhah 条件 2 Vr h 设r x1 h x2 V 355 a 0 111 在LINGO求解 见附录三 比较模型二与第三问 中模型四的结果 易见模型四比较优化 但模型四脱离了实际 因为实际中需要在 顶盖设计一个拉环 所以r必需大于零 下面考虑 取不同值时 模型的优化程度 模型仍为 r 2 222 min0 333132120 111 0 11113413Sxxxxxxxxx 13 2221 1211334 3 Vxxxxxxx r分别取 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 5 4 0 5 0 6 0时 利用LINGO计算模型中R H h S的最优值 见表2 表2 r0 51 01 52 02 52 62 7 R3 113 3 1153 1213 1333 1613 1703 180 H10 7010 61 10 4910 35 10 2110 1910 16 h2 432 191 961 70 1 361 28 1 18 S38 1338 6139 46 40 73 42 4942 91 43 36 表2 续 由表 2 可见当 r 大于 3 时 图形已非最优 省去后面的结果 即当 r 小于 3 时 S 的值都小于模型二的结果 因此可以得出结论 模型四比模型二的设计更优 既然模型四比模型二省材料 那么是否可以把模型四的正圆柱底部也改成一个 正圆台 考虑上 下都为圆台的设计方案 模型五 材料体积 S 的方程如下 2 22 min222Sa rRHbb RrhRr 355 222 1 3 VR HRRrrh 利用软件 LINGO 计算 见附录四 得 S 30 20864 将上述 S 与模型四的结果比较 易见上下都为圆台的设计方案更优 但考虑 到存放方便时 这样易拉罐 站 不稳 同时 易拉罐 一定需要有一个拉环 如果设计在项部 r 必需大于零 进一步考虑上下都为圆台时 r 的合理取值 因为 2 22 222Sa rRHbb RrhRr r2 82 93 03 54 05 06 0 R3 192 3 206 2 394 1 9421 40100 H10 1410 120 005 934 48 h1 080 96 15 4714 8614 3813 569 42 S43 8344 3344 5345 1146 3251 3561 02 14 355 222 1 3 VR HRRrrh 利用 LINGO 分析 r 分别取 0 5 1 0 1 5 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 得 出最优解时 R H h S 的值 结果见表 3 表 3 r0 51 01 52 02 1 R3 9134413 9144763 9173703 9234573 925208 H6 9106286 894053 6 8747746 8591966 857093 h1 2265391 0912850 95875820 81639350 7859263 S30 5492631 58040 33 31585 35 7707236 34952 表 3 续 r2 22 32 42 52 6 R3 9271763 9293773 931830 3 9345553 937572 H6 8554516 854324 6 853768 6 8538366 854586 h0 7546560 0 72253170 6895060 0 65553520 6205793 S36 9579437 5961438 2642938 9625539 69110 表 3 续 在现实中 拉环的测量值为 4 25 手指的大小约为 1 11 则最优设计就是拉 环穿过直径 所以 r 4 25 1 11 2 2 68 近似为 r 2 7 此时 H 6 85 r2 72 82 93 03 5 R3 9409013 9445663 9485873 9529873 981513 H6 8560726 8583536 8614856 8655266 901350 h0 5846014 0 54756810 50944940 4702186 0 2566850 S40 45011 41 2397742 0602742 9117947 64