合情推理与演绎推理.ppt

疑邻盗斧 从前有个丢了一把斧子的人 他怀疑是邻居家的儿子偷去了 观察那人走路的样子 像是偷斧子的人 看那人的脸色神色 也像是偷斧子的人 听那人说话的语气也像是偷斧子的人 总之 那人的一言一行 一举一动 无一不像偷斧子的人 不久 丢斧子的人在山谷里挖水沟时 掘出了那把斧子 再留心察看邻居家的儿子 就觉得他走路的样子 不像是偷斧子的 他的脸色表情 也不像是偷斧子的 他的言谈话语 更不像是偷斧子的了 那人的一言一行 一举一动 都不像偷斧子的了 变的不是邻居的儿子 而是自己的心态 变的原因也没有其他 是被偏见所蒙蔽 第二章推理与证明 高中数学选修1 2 第一节合情推理与演绎推理 第二章推理与证明 一 合情推理 一 归纳推理 有一小贩在卖一篮杨梅 我先尝了一个 觉得甜 又尝了一个 也是甜的 再尝了一个 还是甜的 所以我觉得 这一篮杨梅都是甜的 例1 观察下图 可以发现 12345 前n个连续的正奇数相加 发现部分规律特征 实验 观察 猜测一般性结论 例2 平面内三角形内角和180度凸四边形内角和360度凸五边形内角和540度 归纳猜想凸n边形内角和多少度 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 一 归纳推理 例3 已知数列 an 的首项a1 1 且有 试归纳出这个数列的一个通项公式 例4 数一数图中的凸多面体的面数F 顶点数V和棱数E 然后探求面数F 顶点数V和棱数E之间的关系 4 6 4 5 5 6 5 9 8 4 6 4 5 5 6 5 9 8 6 6 8 6 12 8 12 6 10 4 6 4 5 5 6 5 9 8 6 6 8 6 12 8 12 6 10 7 7 9 16 9 10 15 10 15 F V E 2 例5 设f n n2 n 41 n N 计算f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 的值 同时作出归纳 并用n 40验证猜想是否正确 例6 四色猜想 每幅地图可以用四种颜色着色 使得有共同边界的相邻区域着上不同颜色 1852年 英国人弗南西斯 格思里 FrancisGuthrie 为地图着色时 发现了四色猜想 1976年 美国数学家阿佩尔 K Appel 与哈肯 W Haken 在两台计算机上 用了1200个小时 完成了四色猜想的证明 基础 作用 归纳推理 观察 分析 发现新事实 获得新结论 由部分到整体 个别到一般的推理 归纳推理得出的结论不一定成立 风险 窥斑见豹 管中窥豹 可见一斑 王子敬数岁时 尝看诸门生樗蒲 见有胜负 因曰 南风不竞 门生辈轻其小儿 乃曰 此郎亦管中窥豹 时见一斑 子敬瞋目曰 远惭荀奉倩 近愧刘真长 遂拂衣而去 练习观察下列等式 可以猜想 即使在数学里 发现真理的主要工具也是归纳和类比 拉普拉斯 Laplace 二 类比推理 科学家对火星进行研究 发现火星与地球有许多类似的特征 火星也绕太阳运行 饶轴自转的行星 有大气层 在一年中也有季节变更 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 等等 科学家猜想 火星上也可能有生命存在 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 二 类比推理 例1 类比实数的加法和乘法 列出它们相似的运算性质 若a b R 则ab R ab ba ab c a bc a 1 a 乘法的逆运算是除法 使得ax 1 a 0 有唯一解x 例2 类比等差数列和等比数列填表 例3 在Rt ABC中 若 C 90 则cos2A cos2B 1 试在立体几何中 给出四面体性质的猜想 于是把结论类比到四面体P A B C 中 我们猜想 三棱锥P A B C 中 若三个侧面PA B PB C PC A 两两互相垂直且分别与底面所成的角为 则cos2 cos2 cos2 1 C2 a2 b2 例4 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 S2 ABC S2 AOB S2 AOC S2 BOC 基础 作用 类比推理 旧的知识 获得新结论 由特殊到特殊的推理 类比推理得出的结论不一定成立 风险 东施效颦 西施心口痛 皱着眉头从街上走过 同村的一个丑妇人东施看见西施这个样子 觉得很美 回去时也捂着胸口 皱眉蹙额 从街上走过 村里的富人看见她这副模样 都紧闭着大门不愿出来 穷人见了 带着妻子儿女 远远避开 这个丑妇光知道 西施 皱着眉头美 却不明白她皱眉的样子为什么美 东施模仿西施 本意是要改变一下自己丑陋的形象 和西施一样地令入喜欢 结果却恰恰相反 从逻辑上说 这是她错误地使用了类比推理的结果 东施效颦 小结 二 演绎推理 1 所有的金属都能导电 2 一切奇数都不能被2整除 3 三角函数都是周期函数 4 全等的三角形面积相等 所以铜能够导电 因为铜是金属 所以 2100 1 不能被2整除 因为 2100 1 是奇数 因为tanx是三角函数 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等 所以tanx是周期函数 例1 如图 在锐角三角形ABC中 AD BC BE AC D E是垂足 求证 AB的中点M到D E的距离相等 1 因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 在 ABC中 AD BC 即 ADB 900 所以 ABD是直角三角形 大前提 小前提 结论 证明 同理 ABE是直角三角形 2 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 M是Rt ABD斜边AB的中点 DM是斜边上的中线 所以DM AB 同理EM AB 所以DM EM 大前提 小前提 结论 例2 证明函数f x x2 2x在 1 上是增函数 满足对于任意x1 x2 D 若x1 x2 有f x1 f x2 成立的函数f x 是区间D上的增函数 任取x1 x2 1 且x