2012年全国各地中考数学真题分类汇编_第13章二次函数

1 2012 年全国各地中考数学真题分类汇编 第 13 章 二次函数 一 选择题一 选择题 1 2012 菏泽 已知二次函数 2 yaxbxc 的图像如图所示 那么一次函数ybxc 和 反比例函数 a y x 在同一平面直角坐标系中的图像大致是 A B C D 2 2012 烟台 已知二次函数 y 2 x 3 2 1 下列说法 其图象的开口向下 其 图象的对称轴为直线 x 3 其图象顶点坐标为 3 1 当 x 3 时 y 随 x 的增大 而减小 则其中说法正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 2012 广州 将二次函数 y x2的图象向下平移一个单位 则平移以后的二次函数的解 析式为 A y x2 1 B y x2 1 C y x 1 2 D y x 1 2 4 2012 泰安 将抛物线向上平移 3 个单位 再向左平移 2 个单位 那么得到的 2 3yx 抛物线的解析式为 A B C D 2 3 2 3yx 2 3 2 3yx 2 3 2 3yx 2 3 2 3yx 5 2012 泰安 二次函数的图象如图 若一元二次方程有 2 yaxbx 2 0axbxm 实数根 则 的最大值为 m 2 A B 3 C D 93 6 6 2012 泰安 二次函数的图象如图 则一次函数的图象经 2 ya xmn ymxn 过 A 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 C 第二 三 四象限 D 第一 三 四象限 7 2012 泰安 设 A B C是抛物线上的三点 1 2 y 2 1 y 3 2 y 2 1 yxa 则 的大小关系为 1 y 2 y 3 y A B C D 213 yyy 312 yyy 321 yyy 312 yyy 8 2012 乐山 二次函数 y ax2 bx 1 a 0 的图象的顶点在第一象限 且过点 1 0 设 t a b 1 则 t 值的变化范围是 A 0 t 1 B 0 t 2 C 1 t 2 D 1 t 1 9 2012 衢州 已知二次函数 y x2 7x 若自变量 x 分别取 x1 x2 x3 且 0 x1 x2 x3 则对应的函数值 y1 y2 y3的大小关系正确的是 A y1 y2 y3 B y1 y2 y3 C y2 y3 y1 D y2 y3 y1 10 2012 义乌市 如图 已知抛物线 y1 2x2 2 直线 y2 2x 2 当 x 任取一值时 x 对 应的函数值分别为 y1 y2 若 y1 y2 取 y1 y2中的较小值记为 M 若 y1 y2 记 M y1 y2 例如 当 x 1 时 y1 0 y2 4 y1 y2 此时 M 0 下列判断 当 x 0 时 y1 y2 当 x 0 时 x 值越大 M 值越小 3 使得 M 大于 2 的 x 值不存在 使得 M 1 的 x 值是或 其中正确的是 A B C D 11 2012 杭州 已知抛物线 y k x 1 x 与 x 轴交于点 A B 与 y 轴交于点 C 则能使 ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是 A 2 B 3 C 4 D 5 12 2012 扬州 将抛物线y x2 1 先向左平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 那么所 得抛物线的函数关系式是 A y x 2 2 2 B y x 2 2 2C y x 2 2 2D y x 2 2 2 13 2012 资阳 如图是二次函数 y ax2 bx c 的部分图象 由图象可知不等式 ax2 bx c 0 的解集是 A 1 x 5 B x 5C x 1 且 x 5D x 1 或 x 5 14 2012 德阳 在同一平面直角坐标系内 将函数 y 2x2 4x 1 的图象沿 x 轴方向向右平 移 2 个单位长度后再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度 得到图象的顶点坐标是 A 1 1 B 1 2 C 2 2 D 1 1 15 2012 德阳 设二次函数 y x2 bx c 当 x 1 时 总有 y 0 当 1 x 3 时 总有 y 0 那么 c 的取值范围是 A c 3 B c 3C 1 c 3D c 3 16 2012 兰州 抛物线y 2x2 1 的对称轴是 A 直线 B 直线 C y轴D 直线x 2 4 17 2012 张家界 当 a 0 时 函数 y ax 1 与函数 y 在同一坐标系中的图象可能是 A B CD 18 2012 宜宾 给出定义 设一条直线与一条抛物线只有一个公共点 只这条直线与这 条抛物线的对称轴不平行 就称直线与抛物线相切 这条直线是抛物线的切线 有下列命 题 直线 y 0 是抛物线 y x2的切线 直线 x 2 与抛物线 y x2 相切于点 2 1 直线 y x b 与抛物线 y x2相切 则相切于点 2 1 若直线 y kx 2 与抛物线 y x2 相切 则实数 k 其中正确命题的是 A B C D 19 2012 潜江 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 它与 x 轴的两个交点分别为 1 0 3 0 对于下列命题 b 2a 0 abc 0 a 2b 4c 0 8a c 0 其中正确的有 二 填空题二 填空题 1 2012 绍兴 教练对小明推铅球的录像进行技术分析 发现铅球行进高度 y m 与水平 距离 x m 之间的关系为 由此可知铅球推出的距离是 m 2 1 4 3 12 yx 5 考点 二次函数的应用 2 2012 扬州 如图 线段AB的长为 2 C为AB上一个动点 分别以AC BC为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD和 BCE 那么DE长的最小值是 3 2012 无锡 若抛物线 y ax2 bx c 的顶点是 A 2 1 且经过点 B 1 0 则抛物线 的函数关系式为 4 2012 广安 如图 把抛物线 y x2平移得到抛物线 m 抛物线 m 经过点 A 6 0 和原点 O 0 0 它的顶点为 P 它的对称轴与抛物线 y x2交于点 Q 则图中阴影部分 的面积为 5 2012 苏州 已知点 A x1 y1 B x2 y2 在二次函数 y x 1 2 1 的图象上 若 x1 x2 1 则 y1 y2 填 或 考点 二次函数图象上点的坐标特征 分析 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴 再判断出两点的位置及函数的增 减性 进而可得出结论 解答 解 由二次函数 y x 1 2 1 可 其对称轴为 x 1 x1 x2 1 两点均在对称轴的右侧 此函数图象开口向上 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 x1 x2 1 6 y1 y2 故答案为 点评 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点 根据题意判断出 A B 两点的位置是 解答此题的关键 6 20122012 深圳 深圳 二次函数的最小值是 62 2 xxy 答案答案 5 考点考点 二次函数的性质 分析分析 当时 函数有最小值 5 2 2 26 1 5yxxx 1x 三 解答题三 解答题 1 2012 1 2012 临沂临沂 26 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰三 角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 考点 二次函数综合题 分类讨论 解答 解 1 如图 过 B 点作 BC x 轴 垂足为 C 则 BCO 90 AOB 120 BOC 60 7 又 OA OB 4 OC OB 4 2 BC OB sin60 4 2 点 B 的坐标为 2 2 2 抛物线过原点 O 和点 A B 可设抛物线解析式为 y ax2 bx 将 A 4 0 B 2 2 代入 得 解得 此抛物线的解析式为 y x2 x 3 存在 如图 抛物线的对称轴是 x 2 直线 x 2 与 x 轴的交点为 D 设点 P 的坐标为 2 y 若 OB OP 则 22 y 2 42 解得 y 2 当 y 2时 在 Rt POD 中 PDO 90 sin POD POD 60 POB POD AOB 60 120 180 即 P O B 三点在同一直线上 y 2不符合题意 舍去 点 P 的坐标为 2 2 若 OB PB 则 42 y 2 2 42 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 若 OP BP 则 22 y 2 42 y 2 2 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 8 综上所述 符合条件的点 P 只有一个 其坐标为 2 2 2 2012 2 2012 菏泽菏泽 21 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶点为 A 0 1 B 2 0 O 0 0 将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90 得到 A B O 1 一抛物线经过点 A B B 求该抛物线的解析式 2 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点 是否存在点 P 使四边形 PB A B 的面 积是 A B O 面积 4 倍 若存在 请求出 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 试指出四边形 PB A B 是哪种形状的四边形 并写出四边形 PB A B 的两条性质 考点 二次函数综合题 解答 解 1 A B O 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90 得到的 又 A 0 1 B 2 0 O 0 0 A 1 0 B 0 2 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxc a 抛物线经过点 A B B 9 0 2 042 abc c abc 解之得 1 1 2 a b c 满足条件的抛物线的解析式为 2 2yxx 2 P 为第一象限内抛物线上的一动点 设 P x y 则 x 0 y 0 P 点坐标满足 2 2yxx 连接 PB PO PB B OA B O OB PB A B SSSS PP四边形 111 1 2 2 2 222 xy 22 2 123xxxxx 假设四边形PB A B 的面积是A B O 面积的4倍 则 2 234xx 即 2 210 xx 解之得1x 此时 2 1122y 即 1 2 P 存在点 P 1 2 使四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 3 四边形 PB A B 为等腰梯形 答案不唯一 下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等 等腰梯形对角线相等 等腰梯形上底与下底平行 等腰梯形两腰相等 或用符号表示 B A B PBA 或 A B P BPB PA B B B P A B B A PB 10 3 3 20122012 义乌市义乌市 24 如图 1 已知直线 y kx 与抛物线 y 交于点 A 3 6 1 求直线 y kx 的解析式和线段 OA 的长度 2 点 P 为抛物线第一象限内的动点 过点 P 作直线 PM 交 x 轴于点 M 点 M O 不重合 交直线 OA 于点 Q 再过点 Q 作直线 PM 的垂线 交 y 轴于点 N 试探究 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值 如果是 求出这个定值 如果不是 说明理由 3 如图 2 若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点 点 E 在线段 OA 上 与点 O A 不重合 点 D m 0 是 x 轴正半轴上的动点 且满足 BAE BED AOD 继续探究 m 在什么范 围时 符合条件的 E 点的个数分别是 1 个 2 个 考点 二次函数综合题 解答 解 1 把点 A 3 6 代入 y kx 得 6 3k k 2 y 2x 2012 义乌市 OA 3 分 2 是一个定值 理由如下 如答图 1 过点 Q 作 QG y 轴于点 G QH x 轴于点 H 当 QH 与 QM 重合时 显然 QG 与 QN 重合 此时 当 QH 与 QM 不重合时 QN QM QG QH 11 不妨设点 H G 分别在 x y 轴的正半轴上 MQH GQN 又 QHM QGN 90 QHM QGN 5 分 当点 P Q 在抛物线和直线上不同位置时 同理可得 7 分 3 如答图 2 延长 AB 交 x 轴于点 F 过点 F 作 FC OA 于点 C 过点 A 作 AR x 轴于点 R AOD BAE AF OF OC AC OA ARO FCO 90 AOR FOC AOR FOC OF 点 F 0 设点 B x 过点 B 作 BK AR 于点 K 则 AKB ARF 即 解得 x1 6 x2 3 舍去 点 B 6 2 BK 6 3 3 AK 6 2 4 AB 5 8 分 求 AB 也可采用下面的方法 设直线 AF 为 y kx b k 0 把点 A 3 6 点 F 0 代入得 12 k b 10 舍去 B 6 2 AB 5 8 分 其它方法求出 AB 的长酌情给分 在 ABE 与 OED 中 BAE BED ABE AEB DEO AEB ABE DEO BAE EOD ABE OED 9 分 设 OE x 则 AE x 由 ABE OED 得 10 分 顶点为 如答图 3 当时 OE x 此时 E 点有 1 个 当时 任取一个 m 的值都对应着两个 x 值 此时 E 点有 2 个 当时 E 点只有 1 个 11 分 当时 E 点有 2 个 12 分 13 4 2012 4 2012 杭州杭州 22 在平面直角坐标系内 反比例函数和二次函数 y k x2 x 1 的图象交于点 A 1 k 和点 B 1 k 1 当 k 2 时 求反比例函数的解析式 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 求 k 应满足的条件以及 x 的 取值范围 3 设二次函数的图象的顶点为 Q 当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时 求 k 的值 考点 二次函数综合题 分析 1 当 k 2 时 即可求得点 A 的坐标 然后设反比例函数的解析式为 y 利 用待定系数法即可求得答案 14 2 由反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 可得 k 0 又由二次 函数 y k x2 x 1 的对称轴为 x 可得 x 时 才能使得 y 随着 x 的增大 而增大 3 由 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形 A 点与 B 点关于原点对称 利用直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半 即可得 OQ OA OB 又由 Q k A 1 k 即可得 继而求得答案 解答 解 1 当 k 2 时 A 1 2 A 在反比例函数图象上 设反比例函数的解析式为 y 代入 A 1 2 得 2 解得 m 2 反比例函数的解析式为 y 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 k 0 二次函数 y k x2 x 1 k x 2 k 的对称轴为 直线 x 要使二次函数 y k x2 x 1 满足上述条件 在 k 0 的情况下 x 必须在对称轴的 左边 即 x 时 才能使得 y 随着 x 的增大而增大 综上所述 k 0 且 x 3 由 2 可得 Q k ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形 A 点与 B 点关于原点对称 如图是其中的一 种情况 原点 O 平分 AB OQ OA OB 15 作 AD OC QC OC OQ OA 解得 k 点评 此题考查了二次函数的性质 反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识 此 题综合性较强 难度较大 注意掌握待定系数法求函数解析式 注意数形结合思想 的应用 5 2012 5 2012 烟台烟台 26 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 1 0 C 3 0 D 3 4 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运动 同时动点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向点 D 运动 点 P Q 的运动速度均为每秒 1 个单位 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 E 作 EF AD 于 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 ACG 的面积最大 最大值 为多少 3 在动点 P Q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 ABCD 内 包括边界 存在点 H 使以 C Q E H 为顶点的四边形为菱形 请直接写出 t 的值 16 考点 二次函数综合题 分析 1 根据矩形的性质可以写出点 A 得到坐标 由顶点 A 的坐标可设该抛物线的顶点 式方程为 y a x 1 2 4 然后将点 C 的坐标代入 即可求得系数 a 的值 利用待 定系数法求抛物线的解析式 2 利用待定系数法求得直线 AC 的方程 y 2x 6 由图形与坐标变换可以求得点 P 的坐标 1 4 t 据此可以求得点 E 的纵坐标 将其代入直线 AC 方程可以求得 点 E 或点 G 的横坐标 然后结合抛物线方程 图形与坐标变换可以求得 GE 4 点 A 到 GE 的距离为 C 到 GE 的距离为 2 最后根据三角形的面积公式可以求 得 S ACG S AEG S CEG t 2 2 1 由二次函数的最值可以解得 t 2 时 S ACG的最 大值为 1 3 因为菱形是邻边相等的平行四边形 所以点 H 在直线 EF 上 解答 解 1 A 1 4 1 分 由题意知 可设抛物线解析式为 y a x 1 2 4 抛物线过点 C 3 0 0 a 3 1 2 4 解得 a 1 抛物线的解析式为 y x 1 2 4 即 y x2 2x 3 2 分 2 A 1 4 C 3 0 可求直线 AC 的解析式为 y 2x 6 17 点 P 1 4 t 3 分 将 y 4 t 代入 y 2x 6 中 解得点 E 的横坐标为 x 1 4 分 点 G 的横坐标为 1 代入抛物线的解析式中 可求点 G 的纵坐标为 4 GE 4 4 t t 5 分 又点 A 到 GE 的距离为 C 到 GE 的距离为 2 即 S ACG S AEG S CEG EG EG 2 2 t t 2 2 1 7 分 当 t 2 时 S ACG的最大值为 1 8 分 3 t 或 t 20 8 12 分 说明 每值各占 2 分 多出的值未舍去 每个扣 1 分 点评 本题考查了二次函数的综合题 其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解 析式 待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法 6 2012 6 2012 益阳益阳 20 已知 如图 抛物线 y a x 1 2 c 与 x 轴交于点 A 0 和点 B 将抛物 线沿 x 轴向上翻折 顶点 P 落在点 P 1 3 处 1 求原抛物线的解析式 2 学校举行班徽设计比赛 九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感 过点 P 作 x 轴 的平行线交抛物线于 C D 两点 将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉 设计 成一个 W 型的班徽 5 的拼音开头字母为 W W 图案似大鹏展翅 寓意深远 而且 小明通过计算惊奇的发现这个 W 图案的高与宽 CD 的比非常接近黄金分割比 18 约等于 0 618 请你计算这个 W 图案的高与宽的比到底是多少 参考数据 结果可保留根号 考点 二次函数的应用 分析 1 利用 P 与 P 1 3 关于 x 轴对称 得出 P 点坐标 利用待定系数法求出二 次函数的解析式即可 2 根据已知得出 C D 两点坐标 进而得出 W 图案的高与宽 CD 的比 解答 解 1 P 与 P 1 3 关于 x 轴对称 P 点坐标为 1 3 2 分 抛物线 y a x 1 2 c 过点 A 0 顶点是 P 1 3 3 分 解得 4 分 则抛物线的解析式为 y x 1 2 3 5 分 即 y x2 2x 2 2 CD 平行 x 轴 P 1 3 在 CD 上 C D 两点纵坐标为 3 6 分 由 x 1 2 3 3 解得 7 分 C D 两点的坐标分别为 3 3 CD 8 分 19 W 图案的高与宽 CD 的比 或约等于 0 6124 10 分 点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用 根据已知得 出 C D 两点坐标是解题关键 7 2012 7 2012 广州广州 24 如图 抛物线 y 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴 交于点 C 1 求点 A B 的坐标 2 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时 求 点 D 的坐标 3 若直线 l 过点 E 4 0 M 为直线 l 上的动点 当以 A B M 为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时 求直线 l 的解析式 考点 二次函数综合题 分析 1 A B 点为抛物线与 x 轴交点 令 y 0 解一元二次方程即可求解 2 根据题意求出 ACD 中 AC 边上的高 设为 h 在坐标平面内 作 AC 的平行线 平行线之间的距离等于 h 根据等底等高面积相等的原理 则平行线与坐标轴的交 点即为所求的 D 点 从一次函数的观点来看 这样的平行线可以看做是直线 AC 向上或向下平移而形 成 因此先求出直线 AC 的解析式 再求出平移距离 即可求得所作平行线的解析式 从而求得 D 点坐标 注意 这样的平行线有两条 如答图 1 所示 3 本问关键是理解 以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个 的含 20 义 因为过 A B 点作 x 轴的垂线 其与直线 l 的两个交点均可以与 A B 点构成直角三 角形 这样已经有符合题意的两个直角三角形 第三个直角三角形从直线与圆的位 置关系方面考虑 以 AB 为直径作圆 当直线与圆相切时 根据圆周角定理 切点与 A B 点构成直角三角形 从而问题得解 注意 这样的切线有两条 如答图 2 所示 解答 解 1 令 y 0 即 0 解得 x1 4 x2 2 A B 点的坐标为 A 4 0 B 2 0 2 S ACB AB OC 9 在 Rt AOC 中 AC 5 设 ACD 中 AC 边上的高为 h 则有 AC h 9 解得 h 如答图 1 在坐标平面内作直线平行于 AC 且到 AC 的距离 h 这样的直线有 2 条 分别是 l1和 l2 则直线与对称轴 x 1 的两个交点即为所求的点 D 设 l1交 y 轴于 E 过 C 作 CF l1于 F 则 CF h CE 设直线 AC 的解析式为 y kx b 将 A 4 0 B 0 3 坐标代入 得到 解得 直线 AC 解析式为 y x 3 直线 l1可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位 个长度单位 而形成的 直线 l1的解析式为 y x 3 x 则 D1的纵坐标为 1 D1 4 同理 直线 AC 向上平移 个长度单位得到 l2 可求得 D2 1 21 综上所述 D 点坐标为 D1 4 D2 1 3 如答图 2 以 AB 为直径作 F 圆心为 F 过 E 点作 F 的切线 这样的切线 有 2 条 连接 FM 过 M 作 MN x 轴于点 N A 4 0 B 2 0 F 1 0 F 半径 FM FB 3 又 FE 5 则在 Rt MEF 中 ME 4 sin MFE cos MFE 在 Rt FMN 中 MN MN sin MFE 3 FN MN cos MFE 3 则 ON M 点坐标为 直线 l 过 M E 4 0 设直线 l 的解析式为 y kx b 则有 解得 所以直线 l 的解析式为 y x 3 同理 可以求得另一条切线的解析式为 y x 3 综上所述 直线 l 的解析式为 y x 3 或 y x 3 22 点评 本题解题关键是二次函数 一次函数以及圆等知识的综合运用 难点在于第 3 问 中对于 以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个 条件的理解 这可以 从直线与圆的位置关系方面入手解决 本题难度较大 需要同学们对所学知识融会 贯通 灵活运用 8 8 20122012 成都成都 28 本小题满分 l2 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 5 4 yxm m为常数 的图象与 x 轴交 于点 A 3 0 与 y 轴交于点 C 以直线 x 1 为对称轴的抛物线 2 yaxbxc abc 为常数 且a 0 经过 A C 两点 并与 x 轴的正半轴交于点 B 1 求m的值及抛物线的函数表达式 2 设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点 过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F 是否存 在这样的点 E 使得以 A C E F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出点 E 的坐 标及相应的平行四边形的面积 若不存在 请说明理由 3 若 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点 过点 P 任意作一条与 y 轴 不平行的直线交抛物线于 111 M xy 222 M xy 两点 试探究 21 12 PPMM M M 是否为定 值 并写出探究过程 23 考点 二次函数综合题 解答 解 1 经过点 3 0 0 m 解得 m 直线解析式为 C 0 抛物线 y ax2 bx c 对称轴为 x 1 且与 x 轴交于 A 3 0 另一交点为 B 5 0 设抛物线解析式为 y a x 3 x 5 抛物线经过 C 0 a 3 5 解得 a 抛物线解析式为 y x2 x 2 假设存在点 E 使得以 A C E F 为顶点的四边形是平行四边形 则 AC EF 且 AC EF 如答图 1 24 i 当点 E 在点 E 位置时 过点 E 作 EG x 轴于点 G AC EF CAO EFG 又 CAO EFG EG CO 即 yE xE2 xE 解得 xE 2 xE 0 与 C 点重合 舍去 E 2 S ACEF ii 当点 E 在点 E 位置时 过点 E 作 E G x 轴于点 G 同理可求得 E 1 S ACE F 3 要使 ACP 的周长最小 只需 AP CP 最小即可 如答图 2 连接 BC 交 x 1 于 P 点 因为点 A B 关于 x 1 对称 根据轴对称性质以及两点 之间线段最短 可知此时 AP CP 最小 AP CP 最小值为线段 BC 的长度 B 5 0 C 0 直线 BC 解析式为 y x xP 1 yP 3 即 P 1 3 令经过点 P 1 3 的直线为 y kx 3 k y kx 3 k y x2 x 联立化简得 x2 4k 2 x 4k 3 0 x1 x2 2 4k x1x2 4k 3 y1 kx1 3 k y2 kx2 3 k y1 y2 k x1 x2 根据两点间距离公式得到 25 M1M2 M1M2 4 1 k2 又 M1P 同理 M2P M1P M2P 1 k2 1 k2 1 k2 4 1 k2 M1P M2P M1M2 1 为定值 26 9 9 20122012 铜仁铜仁 25 如图 已知 直线交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 B 抛物线 y ax2 bx c 经过3 xy A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线上有一点 P 使 ABO 与 ADP 相3 xy 似 求出点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方的抛物线上 是否存在点 E 使 ADE 的面积等 于四边形 APCE 的面积 如果存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 解答 解 1 由题意得 A 3 0 B 0 3 抛物线经过 A B C 三点 把 A 3 0 B 0 3 C 1 0 三点分别代入 得方程组 2 yaxbxc 0 3 039 cba c cba 解得 3 4 1 c b a 抛物线的解析式为 2 43yxx 2 由题意可得 ABO 为等腰三角形 如图所示 27 若 ABO AP1D 则 1 DP OB AD AO DP1 AD 4 P1 1 4 若 ABO ADP2 过点 P2作 P2 M x 轴于 M AD 4 ABO 为等腰三角形 ADP2是等腰三角形 由三线合一可得 DM AM 2 P2M 即点 M 与点 C 重合 P2 1 2 3 如图设点 E 则 x y 2 2 1 yyADS ADE 当 P1 1 4 时 S四边形 AP1CE S三角形 ACP1 S三角形 ACE 2 2 1 42 2 1 y 28 4y 24yy 4y 点 E 在 x 轴下方 4y 代入得 即 2 434xx 074 2 xx 4 2 4 7 12 0 此方程无解 当 P2 1 2 时 S四边形 AP2CE S三角形 ACP2 S三角形 ACE 2y 22yy 2y 点 E 在 x 轴下方 代入得 2y 2 432xx 即 4 2 4 5 4 0054 2 xx 此方程无解 综上所述 在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E 10 10 20122012 泰安泰安 29 如图 半径为 2 的 C 与 x 轴的正半轴交于点 A 与 y 轴的正半轴交于点 B 点 C 的坐 标为 1 0 若抛物线过 A B 两点 2 3 3 yxbxc 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线上是否存在点 P 使得 PBO POB 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 3 若点 M 是抛物线 在第一象限内的部分 上一点 MAB 的面积为 S 求 S 的最大 小 值 29 考点 二次函数综合题 解答 解 1 如答图 1 连接 OB BC 2 OC 1 OB 4 13 B 0 3 将 A 3 0 B 0 代入二次函数的表达式3 得 解得 3 930 3 3 bc c 2 3 3 3 b c 2 32 3 3 33 yxx 2 存在 如答图 2 作线段 OB 的垂直平分线 l 与抛物线的交点即为点 P 30 B 0 O 0 0 3 直线 l 的表达式为 代入抛物线的表达式 3 2 y 得 2 32 33 3 332 yxx 解得 10 1 2 x P 103 1 22 3 如答图 3 作 MH x 轴于点 H 设 M mm xy 则 S MAB S梯形 MBOH S MHA S OAB MH OB OH HA MH OA OB 1 2 1 2 1 2 111 3 3 33 222 mmmm yxxy 31 333 3 222 mm xy 2 32 3 3 33 mmm yxx 2 MAB 3332 33 3 3 22332 mmm Sxxx 22 33 3339 3 22228 mmm xxx 当时 取得最大值 最大值为 3 2 m x MAB S 9 3 8 11 11 2012 2012 乐山乐山 26 如图 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 m m 点 B 的坐标为 n n 抛物 线经过 A O B 三点 连接 OA OB AB 线段 AB 交 y 轴于点 C 已知实数 m n m n 分别是方程 x2 2x 3 0 的两根 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为线段 OB 上的一个动点 不与点 O B 重合 直线 PC 与抛物线交于 D E 两 点 点 D 在 y 轴右侧 连接 OD BD 当 OPC 为等腰三角形时 求点 P 的坐标 求 BOD 面积的最大值 并写出此时点 D 的坐标 32 考点 二次函数综合题 分析 1 首先解方程得出 A B 两点的坐标 进而利用待定系数法求出二次函数解析式 即可 2 首先求出 AB 的直线解析式 以及 BO 解析式 再利用等腰三角形的性质得出 当 OC OP 时 当 OP PC 时 点 P 在线段 OC 的中垂线上 当 OC PC 时分别求出 x 的值 即可 利用 S BOD S ODQ S BDQ得出关于 x 的二次函数 进而得出最值即可 解答 解 1 解方程 x2 2x 3 0 得 x1 3 x2 1 m n m 1 n 3 1 分 A 1 1 B 3 3 抛物线过原点 设抛物线的解析式为 y ax2 bx 解得 抛物线的解析式为 4 分 2 设直线 AB 的解析式为 y kx b 33 解得 直线 AB 的解析式为 C 点坐标为 0 6 分 直线 OB 过点 O 0 0 B 3 3 直线 OB 的解析式为 y x OPC 为等腰三角形 OC OP 或 OP PC 或 OC PC 设 P x x i 当 OC OP 时 解得 舍去 P1 ii 当 OP PC 时 点 P 在线段 OC 的中垂线上 P2 iii 当 OC PC 时 由 解得 x2 0 舍去 P3 P 点坐标为 P1 或 P2 或 P3 9 分 过点 D 作 DG x 轴 垂足为 G 交 OB 于 Q 过 B 作 BH x 轴 垂足为 H 设 Q x x D x S BOD S ODQ S BDQ DQ OG DQ GH 34 DQ OG GH 0 x 3 当时 S 取得最大值为 此时 D 13 分 点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知 识 求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出 12 12 2012 2012 衢州衢州 24 如图 把两个全等的 Rt AOB 和 Rt COD 分别置于平面直角坐标系中 使直角边 OB OD 在 x 轴上 已知点 A 1 2 过 A C 两点的直线分别交 x 轴 y 轴于点 E F 抛 物线 y ax2 bx c 经过 O A C 三点 1 求该抛物线的函数解析式 2 点 P 为线段 OC 上一个动点 过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M 交 x 轴于点 N 问是否存在这样的点 P 使得四边形 ABPM 为等腰梯形 若存在 求出此时点 P 的坐标 若 不存在 请说明理由 3 若 AOB 沿 AC 方向平移 点 A 始终在线段 AC 上 且不与点 C 重合 AOB 在平移过 程中与 COD 重叠部分面积记为 S 试探究 S 是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 35 考点 二次函数综合题 分析 1 抛物线 y ax2 bx c 经过点 O A C 利用待定系数法求抛物线的解析式 2 根据等腰梯形的性质 确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系 得到一元 二次方程 求出 t 的值 从而可解 结论 存在点 P 使得四边形 ABPM 为 等腰梯形 3 本问关键是求得重叠部分面积 S 的表达式 然后利用二次函数的极值求得 S 的 最大值 解答中提供了三种求解面积 S 表达式的方法 殊途同归 可仔细体味 解答 解 1 抛物线 y ax2 bx c 经过点 O A C 可得 c 0 解得 a b 抛物线解析式为 y x2 x 2 设点 P 的横坐标为 t PN CD OPN OCD 可得 PN P t 点 M 在抛物线上 M t t2 t 如解答图 1 过 M 点作 MG AB 于 G 过 P 点作 PH AB 于 H AG yA yM 2 t2 t t2 t 2 BH PN 当 AG BH 时 四边形 ABPM 为等腰梯形 36 t2 t 2 化简得 3t2 8t 4 0 解得 t1 2 不合题意 舍去 t2 点 P 的坐标为 存在点 P 使得四边形 ABPM 为等腰梯形 3 如解答图 2 AOB 沿 AC 方向平移至 A O B A B 交 x 轴于 T 交 OC 于 Q A O 交 x 轴于 K 交 OC 于 R 求得过 A C 的直线为 yAC x 3 可设点 A 的横坐标为 a 则点 A a a 3 易知 OQT OCD 可得 QT 点 Q 的坐标为 a 解法一 设 AB 与 OC 相交于点 J ARQ AOJ 相似三角形对应高的比等于相似比 HT 2 a KT A T 3 a A Q yA yQ a 3 3 a S四边形 RKTQ S A KT S A RQ KT A T A Q HT 3 a 3 a a 2 a2 a a 2 由于 0 在线段 AC 上存在点 A 能使重叠部分面积 S 取到最大值 最大值 为 37 解法二 过点 R 作 RH x 轴于 H 则由 ORH OCD 得 由 RKH A O B 得 由 得 KH OH OK OH KT OT OK a OH 由 A KT A O B 得 则 KT 由 得 a OH 即 OH 2a 2 RH a 1 所以点 R 的坐标为 R 2a 2 a 1 S四边形 RKTQ S QOT S ROK OT QT OK RH a a 1 a a 1 a2 a a 2 由于 0 在线段 AC 上存在点 A 能使重叠部分面积 S 取到最大值 最大值 为 解法三 AB 2 OB 1 tan O A B tan OAB KT A T tan O A B a 3 a OK OT KT a a a 过点 R 作 RH x 轴于 H tan OAB tan RKH 2 RH 2KH 又 tan OAB tan ROH 2RH OK KH a RH RH a 1 OH 2 a 1 38 点 R 坐标 R 2a 2 a 1 S四边形 RKTQ S A KT S A RQ KT A T A Q xQ xR 3 a 3 a a 2 a2 a a 2 由于 0 在线段 AC 上存在点 A 能使重叠部分面积 S 取到最大值 最大值 为 点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质 待定系数法 二次函数的最值 等腰梯形 相似三角形 图形的平移以及几何图形面积的求法 涉及到的知识点众多 难度较 大 对学生能力要求较高 有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力 39 13 13 20122012 绍兴绍兴 25 如图 矩形 OABC 的两边在坐标轴上 连接 AC 抛物线经过 A B 两点 2 42yxx 1 求 A 点坐标及线段 AB 的长 2 若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动 1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒 7 个单位的速度沿 AO OC CB 边向点 B 移动 当其中一个点到达终点时另一个 点也停止移动 点 P 的移动时间为 t 秒 当 PQ AC 时 求 t 的值 当 PQ AC 时 对于抛物线对称轴上一点 H HOQ POQ 求点 H 的纵坐标的取值范围 考点 二次函数综合题 解答 解 1 由抛物线知 当 x 0 时 y 2 2 42yxx A 0 2 由于四边形 OABC 是矩形 所以 AB x 轴 即 A B 的纵坐标相同 当时 解得 2y 2 242xx 12 04xx B 4 2 AB 4 2 由题意知 A 点移动路程为 AP t Q 点移动路程为 7 1 77tt 40 当 Q 点在 OA 上时 即 时 0772t 9 1 7 t 如图 1 若 PQ AC 则有 Rt QAP Rt ABC 即 QAAP ABBC 77 42 tt 7 5 t 79 57 此时 t 值不合题意 当 Q 点在 OC 上时 即 时 2776t 9 7 13 7 t 如图 2 过 Q 点作 QD AB AD OQ 7 t 1 2 7t 9 DP t 7t 9 9 6t 若 PQ AC 则有 Rt QDP Rt ABC 即 QADP ABBC 296 44 t 4 3 t 9413 737 符合题意 4 3 t 当 Q 点在 BC 上时 即 时 6778t 31 77 15 t 如图 3 若 PQ AC 过 Q 点作 QG AC 则 QG PG 即 GQP 90 QPB 90 这与 QPB 的内角和为 180 矛盾 此时 PQ 不与 AC 垂直 综上所述 当时 有 PQ AC 4 3 t 当 PQ AC 时 如图 4 BPQ BAC BPBQ BABC 487 1 42 tt 解得 t 2 即当 t 2 时 PQ AC 41 此时 AP 2 BQ CQ 1 P 2 2 Q 4 1 抛物线对称轴的解析式为 x 2 当 H1为对称轴与 OP 的交点时 有 H1OQ POQ 当 yH 2 时 HOQ POQ 作 P 点关于 OQ 的对称点 P 连接 PP 交 OQ 于点 M 过 P 作 P N 垂直于对称轴 垂足为 N 连接 OP 在 Rt OCQ 中 OC 4 CQ 1 OQ 17 S OPQ S四边形 ABCD S AOP S COQ S QBP 3 OQ PM 1 2 PM 6 17 17 PP 2PM 12 17 17 NPP COQ Rt COQ Rt NPP CQP N OQPP 12 P N 17 48 PN 17 P 46 14 17 17 直线 OP 的解析式为 7 23 yx OP 与 NP 的交点 H2 2 14 23 当时 HOP POQ H 14 23 y 综上所述 当或时 HOQ POQ H 2y H 14 23 y 42 14 14 2012 2012 扬州扬州 27 已知抛物线y ax2 bx c 经过A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点 直线l是抛物 线的对称轴 1 求抛物线的函数关系式 2 设点P是直线l上的一个动点 当 PAC的周长最小时 求点P的坐标 3 在直线l上是否存在点M 使 MAC为等腰三角形 若存在 直接写出所有符合条件的 点M的坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 专题 综合题 分类讨论 分析 1 直接将A B C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可 2 由图知 A B点关于抛物线的对称轴对称 那么根据抛物线的对称性以及两点 之间线段最短可知 若连接BC 那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点 3 由于 MAC的腰和底没有明确 因此要分三种情况来讨论 43 MA AC MA MC AC MC 可先设出M点的坐标 然后用M点纵坐标表示 MAC的三边长 再按上面的三种情况列式求解 解答 解 1 将A 1 0 B 3 0 C 0 3 代入抛物线y ax2 bx c 中 得 解得 抛物线的解析式 y x2 2x 3 2 连接BC 直线BC与直线l的交点为P 设直线BC的解析式为y kx b 将B 3 0 C 0 3 代入上式 得 解得 直线BC的函数关系式y x 3 当x 1 时 y 2 即P的坐标 1 2 3 抛物线的解析式为 x 1 设M 1 m 已知A 1 0 C 0 3 则 MA2 m2 4 MC2 m2 6m 10 AC2 10 若MA MC 则MA2 MC2 得 m2 4 m2 6m 10 得 m 1 若MA AC 则MA2 AC2 得 m2 4 10 得 m 若MC AC 则MC2 AC2 得 m2 6m 10 10 得 m 0 m 6 当 m 6 时 M A C三点共线 构不成三角形 不合题意 故舍去 综上可知 符合条件的M点 且坐标为 M 1 1 1 1 1 0 44 点评 该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定 等腰三角形的判定等知识 在判定等腰三角形时 一定要根据不同的腰和底分类进行讨论 以免漏解 15 2012 15 2012 上海上海 24 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 y ax2 6x c 的图象经过点 A 4 0 B 1 0 与 y 轴交于点 C 点 D 在线段 OC 上 OD t 点 E 在第二象限 ADE 90 tan DAE EF OD 垂足为 F 1 求这个二次函数的解析式 2 求线段 EF OF 的长 用含 t 的代数式表示 3 当 ECA OAC 时 求 t 的值 考点 相似三角形的判定与性质 待定系数法求二次函数解析式 全等三角形的判定与性 质 勾股定理 解答 解 1 二次函数 y ax2 6x c 的图象经过点 A 4 0 B 1 0