矩阵论Jordan标准形.ppt

机动目录上页下页返回结束 矩阵论 机动目录上页下页返回结束 1 3Jordan标准形 一 矩阵 二 Jordan标准形 三 Jordan标准形简单应用 目标 发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构 Jordan矩阵 1 定义 设P是一个数域 是一个文字 作多项式环 P 一个矩阵 如果它的元素是 的多项式 即 P 的元素 就称为 矩阵 讨论 矩阵的一些性质 并用这些性质来证明上 关于若尔当标准形的主要定理 因为数域P中的数也是P 的元素 所以在 矩阵中也包括以数为元素的矩阵 一 矩阵 矩阵称为数字矩阵 以下用A B 等 表示 矩阵 我们知道 P 中的元素可以作加 减 乘 三种运算 并且它们与数的运算有相同的运算规律 而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法 与乘法 因此 我们可以同样定义 矩阵的加法 与乘法 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律 把以数域P中的数为元素的 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法 因此 同样可以定义一个n n的 矩阵的行列式 一般地 矩阵的行列式是 的一个多项式 它与 数字矩阵的行列式有相同的性质 例如 对于 矩阵的行列式 矩阵乘积的行列式 等于行列式的乘积 这一结论 显然是对的 既然有行列式 也就有 矩阵的子式的概念 利用这个概念 我们有秩和可逆矩阵等 秩如果 矩阵A 中有一个r r 1 级子式不为零 而所有r 1级子式 如果有的话 全为零 则称A 的秩为r 零矩阵的秩规定为零 可逆矩阵一个n n的 矩阵A 称为可逆 的 如果有一个n n的 矩阵使 A B B A E 1 这里E是n级单位矩阵 适合 1 的矩阵B 它 是唯一的 称为A 的逆矩阵 记为A 1 定理1一个n n的 矩阵A 是可逆的 充分必要条件是行列式 A 是一个非零数 证明 先证充分性 设 d A 是一个非零的数 A 是A 的伴随矩阵 它也 是一个 矩阵 而 因此 A 可逆 再证必要性 设A 可逆 则有 A B B A E 上式两边取行列式 得 A B E 1 因为 A 与 B 都是 的多项式 所以由它 们的乘积是1可以推知 它们都是零次多项式 也就是非零的数 证毕 例1求下列 矩阵的秩 秩为3 秩为2 例2下列 矩阵中 哪些是可逆的 若可 逆求其逆矩阵 初等变换的定义 定义下面的三种变换叫做 矩阵的初等变换 1 矩阵的两行 列 互换位置 2 矩阵的某一行 列 乘以非零常数c 3 矩阵的某一行 列 加另一行 列 的 倍 是一个多项式 和数字矩阵的初等变换一样 可以引进初等矩阵 2 矩阵的Smith标准形 三种初等变换对应三个初等矩阵 同样地 对一个s n的 矩阵A 作一次 初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s 初等矩阵 对A 作一次初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的n n的初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 并且有 P i j 1 P i j P i c 1 P i c 1 P i j 1 P i j 由此得出初等变换具有可逆性 设 矩阵A 用 初等变换变成B 这相当于对A 左乘或右乘 一个初等矩阵 再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B 就变回A 而这逆矩阵仍是初等矩阵 因而由 B 可用初等变换变回A 我们还可以看出在第 二种初等变换中 规定只能乘以一个非零常数 这 也是为了使P i c 可逆的缘故 矩阵的等价 定义 矩阵A 称为与B 等价 可以经过一系列初等变换将A 化为B 等价的性质 等价是 矩阵之间的一种等价关系 如果 矩阵等价的条件 矩阵A 与B 等价的充分必要条件是有一 系列初等矩阵P1 P2 Pl Q1 Q2 Qs使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qs 矩阵的标准形 本段主要是证明任意一个 矩阵可以经过 初等变换化为Smith标准形 引理 设 矩阵A 的左上角元素a11 0 并且A 中至少有一个元素不能被它除尽 那么 一定可以找到一个与A 等价的矩阵B 它的 左上角元素也不为零 但是次数比a11 的次数低 证明 根据A 中不能被a11 除尽的元素 所在的位置 分三种情况来讨论 1 若A 的第一列中有一个元素ai1 不能 被a11 除尽 则有 ai1 a11 q r 其中余式r 0 且次数比a11 的次数低 对A 作初等行变换 把A 的第i行减去 第1行的q 倍 得 再将此矩阵的第1行与第i行互换 得 B 左上角元素r 符合引理的要求 故B 即为所求的矩阵 2 在A 的第一行中有一个元素a1i 不能 被a11 除尽 这种情况的证明与1 类似 但是 对A 进行的是初等列变换 3 A 的第一行与第一列中的元素都可以被 a11 除尽 但A 中有另一个元素aij i 1 j 1 不能被a11 除尽 设 ai1 a11 对A 作下述初等行变换 A1 矩阵A1 的第一行中 有一个元素 aij 1 a1j 不能被左上角元素a11 除尽 这就化为已经证 明了的情况2 证毕 定理2任意一个非零的s n的 矩阵A 都等价于下列形式的矩阵 其中r 1 di i 1 2 r 1 是首项系数为1 的多项式 且 di di 1 i 1 2 r 1 证明 经过行列调动之后 可以使得A 的 左上角元素a11 0 如果a11 不能除尽A 的全部元素 由 可以找到与A 等价的 B1 它的左上角元素b1 0 并且次数比 a11 低 如果b1 还不能除尽B1 的全部元素 由引理 又可以找到与B1 等价的B2 它的 左上角元素b2 0 并且次数比b1 低 如此 下去 将得到一系列彼此等价的 矩阵A B1 B2 它们的左上角元素皆不为零 而 且次数越来越低 但次数是非负整数 不可能无止 境地降低 因此在有限步以后 我们将终止于一个 矩阵Bs 它的左上角元素bs 0 而且 可以除尽Bs 的全部元素bij bij bs qij 对Bs 作初等变换 即 在右下角的 矩阵A1 中 全部元素都是可以 被bs 除尽的 因为它们都是Bs 中元素的组合 如果A1 O 则对于A1 可以重复上述过 程 进而把矩阵化成 其中d1 与d2 都是首项系数为1的多项式 d1 与bs 只差一个常数倍数 而且 d1 d2 d2 能除尽A2 的全部元素 如此下去 A 最后就化成了所要求的形式 证毕 最后化成的这个矩阵称为A 的标准形 例3用初等变换把下列 矩阵化为标准形 行列式因子 在上一段 我们讨论了 矩阵的标准形 其 主要结论是 任何 矩阵都能化成标准形 但是 矩阵的标准形是否唯一呢 答案是肯定的 为了证 明唯一性 要引入矩阵的行列式因子的概念 3 行列式因子与不变因子 不变因子 设 矩阵A 的秩为r 对于正整数k 1 k r A 中必有非零的k级子式 A 中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式 Dk 称为A 的k级行列式因子 由定义可知 对于秩为r的 矩阵 行列式 因子一共有r个 行列式因子的意义就在于 它在 初等变换下是不变的 行列式因子 性质 定理3等价的 矩阵具有相同的秩与相同的各级 行列式因子 证明 我们只要证明 矩阵经过一次初等 行变换 秩与行列式因子是不变的 设 矩阵A 经过一次初等行变换变成B f 与g 分别是A 与B 的k级行列式因子 我们证明f g 下面分三种情形讨论 1 A 经初等行变换 1 变成B 这时B 的每个k级子式或者等于A 的某个k级子式 者与A 的某一个k级子式反号 因此f 是B 的k级子式的公因式 从而f g 2 A 经初等行变换 2 变成B 这时B 的每个k级子式或者等于A 的某个k级子式 者等于A 的某一个k级子的c倍 因此f 是 B 的k级子式的公因式 从而f g 或 或 3 A 经初等行变换 3 变成B 这时B 中那些包含i行与j行的k级子式和那些不包含i行 的k级子式都等于A 中对应的k级子式 B 中 那些包含i行但不包含j行的k级子式 按i行分 成两部分 而等于A 的一个k级子式与另一个 k级子式的 倍的和 也就是A 的两个k 级子式的组合 因此f 是B 的k级子式的公 因式 从而f g 对于列变换 可以完全一样地讨论 总之 如 果A 经一次初等变换变成B 那么 f g 但由于初等变换是可逆的 B 也可以经一次初 等变换变成A 由上讨论 同样应有 g f 于是f g 当A 的全部k级子式为零时 B 的全部 k级子式也就为零 反之亦然 因此 A 与B 既有相同的各级行列式因 子 又有相同的秩 证毕 标准形的唯一性 标准形的行列式因子 设标准形为 其中d1 d2 dr 是首项系数为1的多项 式 且di di 1 i 1 2 r 1 不难证明 在这种形式的矩阵中 如果一个k级子式包含的行 与列的标号不完全相同 那么这个k级子式一定为 零 因此 为了计算k级行列式因子 只要看由 i1 i2 ik行与i1 i2 ik列 1 i1 i2 ik r 组成的k级子式就行了 而这个k级子式等于 显然 这种k级子式的最大公因式就是 定理4 矩阵的标准形是唯一的 证明 设 1 是A 的标准形 由于A 与 1 等价 它们有相同的秩与相同的行列式因子 因此 A 的秩就是标准形的主对角线上非零元 素的个数r A 的k级行列式因子就是 于是 3 这说明A 的标准形 1 的主对角线上的元素是被 A 的行列式因子所唯一确定的 所以A 的标 准形是唯一的 证毕 不变因子 定义标准形的主对角线上非零元素 d1 d2 dr 称为 矩阵A 的不变因子 性质 定理5两个 矩阵等价的充分必要条件是 它们有相同的行列式因子 或者 它们有相同的 不变因子 证明 等式 2 与 3 给出了 矩阵的行 列式因子与不变因子之间的关系 这个关系式说明 行列式因子与不变因子是相互确定的 因此 说两 个矩阵有相同的各级行列式因子 就等于说它们有 相同的各级不变因子 必要性已由定理3证明 充分性是很明显的 因为若 矩阵A 与B 有相同的不变因子 则A 与B 和同一个标准 形等价 因而它们也等价 证毕 例4试求下列矩阵的不变因子 定义 现在我们假定讨论中的数域是复数域C 上面已经看到 不变因子是矩阵的相似不变量 为了得到若尔当标准形 再引入初等因子 把矩阵A 或线性变换A 的每个次数大于零 的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积 所有这些一次因式方幂 相同的必须按出现的次数计 算 称为矩阵A 或线性变换A 的初等因子 4 初等因子 例如设12级矩阵的不变因子是 1 2 1 2 1 2 按定义 它的初等因子有7个 即 1 2 1 2 1 2 1 1 i 2 i 2 其中 1 2出现三次 1出现二次 不变因子与初等因子的关系 首先 假设n级矩阵A的不变因子 d1 d2 dn 为已知 将di i 1 2 n 分解成互不相同 的一次因式方幂的乘积 则其中对应于kij 1的那些方幂 就是A的全部初等因子 我们注意到不变因子有 一个除尽一个的性质 即 di di 1 i 1 2 n 1 从而 因此在d1 d2 dn 的分解式中 属于同 一个一次因式的方幂的指数有递升的性质 即 k1j k2j knj j 1 2 r 这说明 同一个一次因式的方幂作成的初等因子中 方次最高的必定出现在dn 的分解式中 方次次 高的必定出现在dn 1 的分解式中 如此顺推下 去 可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子 在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩 阵的级数唯一地作出不变因子的方法 设一个n级 矩阵的全部初等因子为已知 在全部初等因子中将 同一个一次因式 j j 1 2 r 的方幂的 那些初等因子按降幂排列 而且当这些初等因子的 个数不足n时 就在后面补上适当个数的1 使得 凑成n个 设所得排列为 于是令 则d1 d2 dn 就是A的不变因子 这也说明了这样一个事实 如果两个同级的数 字矩阵有相同的初等因子 则它们就有相同的不变 因子 因而它们相似 反之 如果两个矩阵相似 则它们有相同的不变因子 因而它们有相同的初 等因子 综上所述 即得 定理8两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们 有相同的初等因子 初等因子的求法 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较 反而 方便一些 在介绍直接求初等因子的方法之前 先来说明 关于多项式的最大公因式的一个性质 如果多项式f1 f2 都与g1 g2 互素 则 f1 g1 f2 g2 f1 f2 g1 g2 事实上 令 f1 g1 f2 g2 d f1 f2 d1 g1 g2 d2 显然 d1 d d2 d 由于 f1 g1 1 故 d1 d2 1 因而 d1 d2 d 另一方面 由于 d f1 g1 可令 d f g 其中f f1 g g1 由于 f1 g2 1 故 f g2 1 由f f2 g2 又得f f2 因而 f d1 同理g d2 所以 d d1 d2 于是 d d1 d2 证毕 引理设 如果多项式f1 f2 都与g1 g2 互素 则A 和B 等价 下面的定理给了我们一个求初等因子的方法 它不必事先知道不变因子 定理9首先用初等变换化特征矩阵 E A 为对角形式 然后将主对角线上的元素分解成互不 相同的一次因式方幂的乘积 式的方幂 相同的按出现的次数计算 就是A的全 部初等因子 则所有这些一次因 证明 设 E A已用初等变换化为对角形 其中每个hi 的最高项系数都为1 将hi 分 解成互不相同的一次因式方幂的乘积 我们现在要证明的是 对于每个相同的一次 因式的方幂 在D 的主对角线上按递升幂次排列后 得到的 新对角矩阵D 与D 等价 此时D 就是 E A的标准形而且所有不为1的 就 是A的全部初等因子 为方便起见 先对 1的方幂进行讨论 令 于是 而且每个 都与gj j 1 2 n 互 素 如果有相邻的一对指数ki1 ki 1 1 则在D 中将 与 对调位置 而 其余因式保持不动 根据 与 等价 从而D 与对角矩阵 等价 然后对D1 作如上的讨论 如此继续进行 直到对角矩阵主对角线上元素所含 1的方幂是 按递升幂次排列为止 依次对 2 r作 同样处理 最后便得到与D 等价的对角矩阵 D 它的主对角线上所含每个相同的一次因式 的方幂 都是按递升幂次排列的 证明 例5已知 矩阵A 的初等因子 秩r与 阶数n 求A 的标准形 机动目录上页下页返回结束 1 解 把A 的初等因子 令 机动目录上页下页返回结束 则d1 d2 d3 d4 是A 的不变因子 以A 的标准形为 机动目录上页下页返回结束 2 解 把A 的初等因子 按降幂排成如下两行 每行3个因子 因A 的秩 令 等于3 机动目录上页下页返回结束 则d1 d2 d3 是A 的不变因子 所以 A 的标准形为 例6求下列矩阵的不变因子 行列式因子与 初等因子 机动目录上页下页返回结束 1 解 把 E A化为标准形 初等变换 所以不变因子为 行列式因子为 初等因子为 2 解 把 E B化为标准形 初等变换 所以不变因子为 行列式因子为 初等因子为 机动目录上页下页返回结束 二 Jordan标准形 Jordan标准形的存在定理 任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形 其中 称为Jordan块矩阵 为A的特征值 可以是多重的 机动目录上页下页返回结束 说明 1 2阶以上Jordan块矩阵一定不能对角化 4 Jordan标准形是唯一的 这种唯一性是指 各Jordan块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的 但是各Jordan块矩阵的位置可以变化 5 Jordan标准形中各Jordan块矩阵的阶数均为1时 即为对角形矩阵 机动目录上页下页返回结束 Jordan矩阵可以作为相似标准形 惟一性 Jordan子块的集合惟一 A相似于B JA相似于JB 元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan矩阵 机动目录上页下页返回结束 2 Jordan标准形的求法 方法一特征向量法 P9 10 注 1 属于某一个特征值的若当块个数由它的几何维数确定 2 该方法只适用于阶数较低的矩阵 机动目录上页下页返回结束 例7求下列矩阵的Jordan标准形 1的几何维数是1 故它对应一个若当块 2的几何维数是2 故它对应两个若当块 机动目录上页下页返回结束 方法二初等因子法 1 求出特征多项式 的初等因子组 设为 2 写出各Jordan块矩阵 一个初等因子对应一个Jordan块矩阵 3 合成Jordan矩阵 例8求下列矩阵的Jordan标准形 由例6A初等因子为 B初等因子为 机动目录上页下页返回结束 方法三行列式因子法 1 求 E A的各阶行列式因子 2 求 E A的各阶不变因子 3 求 E A的初等因子 确定Jordan标准形 机动目录上页下页返回结束 例9求下列矩阵的Jordan标准形 机动目录上页下页返回结束 第1 4行与第1 2 4 5列交叉的元素形成的四阶子式为 机动目录上页下页返回结束 第1 2 3 5行与1 3 4 5列交叉的元素形成的四阶子式为 机动目录上页下页返回结束 这两个子式的公因式为1 故 机动目录上页下页返回结束 第1 5行与第1 2 3 5 6列交叉的元素形成的五阶子式为 机动目录上页下页返回结束 第1 2 3 5 6行与第1 3 4 5 6列交叉的元素形成的五阶子式为 机动目录上页下页返回结束 其它五阶子式均含 因式 故 特征值行列式为 从而有 初等因子组为 机动目录上页下页返回结束 相应的Jordan块为 Jordan标准形为 机动目录上页下页返回结束 三 Jordan标准形的变换与应用 1 J