一共有那些完全数

一共有那些完全数 完全数 定义 若一个自然数 恰好与除去它本身以外的一切因数的和相等 这种数叫做完全数 例如 6 1 2 3 28 1 2 4 7 14 496 1 2 4 8 16 31 62 124 8128 1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064 疑难问题 1 到底有多少完全数 寻找完全数并不是容易的事 经过不少数学家研究 到目前为止 一共找到了 40 多个完全数 2 有没有奇完全数 奇怪的是 已发现的 44 个 完全数都是偶数 会不会有奇完全数存在呢 如果存在 它必须大于 10 120 至今无人能回答这些问题 公式 大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式 如果 2 p 1 质数 那么 2 p 1 2 p 1 便是一个完全数 p 2 2 p 1 3 是质数 2 p 1 2 p 1 3X2 6p 3 2 p 1 7 是质 数 2 p 1 2 p 1 7X4 28 但是 2 p 1 什么条件下才是质数呢 当 2 p 1 是质数的时候 称其为梅森素数 顾名思义 就是梅森第一个系统地研究这种形 式的素数的 事实上 至今 2006 9 4 为止 人类只发现了 44 个梅森素数 也就是只发现 了 44 个完全数 梅森素数表 序号 p 位数 发现时间 发现者 reference 1 2 1 无从考究 无从考究 2 3 2 无从考究 无从考究 3 5 3 无从考究 无从考究 4 7 4 无从考究 无从考究 5 13 8 1461 Reguis 1536 Cataldi 1603 6 17 12 1588 Cataldi 1603 7 19 19 1588 Cataldi 1603 8 31 10 1750 Euler 1772 9 61 19 1883 Pervouchine 1883 Seelhoff 1886 10 89 27 1911 Powers 1911 11 107 33 1913 Powers 1914 12 127 39 1876 Lucas 1876 13 521 157 Jan 30 1952 Robinson 1954 14 607 183 Jan 30 1952 Robinson 1954 15 1279 386 Jun 25 1952 Robinson 1954 16 2203 664 Oct 7 1952 Robinson 1954 17 2281 687 Oct 9 1952 Robinson 1954 18 3217 969 Sep 8 1957 Riesel 19 4253 1281 Nov 3 1961 Hurwitz 20 4423 1332 Nov 3 1961 Hurwitz 21 9689 2917 May 11 1963 Gillies 1964 22 9941 2993 May 16 1963 Gillies 1964 23 11213 3376 Jun 2 1963 Gillies 1964 24 19937 6002 Mar 4 1971 Tuckerman 1971 25 21701 6533 Oct 30 1978 Noll and Nickel 1980 26 23209 6987 Feb 9 1979 Noll Noll and Nickel 1980 27 44497 13395 Apr 8 1979 Nelson and Slowinski 28 86243 25962 Sep 25 1982 Slowinski 29 110503 33265 Jan 28 1988 Colquitt and Welsh 1991 30 132049 39751 Sep 20 1983 Slowinski 31 216091 65050 Sep 6 1985 Slowinski 32 756839 227832 Feb 19 1992 Slowinski and Gage 33 859433 258716 Jan 10 1994 Slowinski and Gage 34 1257787 378632 Sep 3 1996 Slowinski and Gage 35 1398269 420921 Nov 12 1996 Joel Armengaud GIMPS 36 2976221 895832 Aug 24 1997 Gordon Spence GIMPS 37 3021377 909526 Jan 27 1998 Roland Clarkson GIMPS 38 6972593 2098960 Jun 1 1999 Nayan Hajratwala GIMPS 39 13466917 4053946 Nov 14 2001 Michael Cameron GIMPS 40 20996011 6320430 Nov 17 2003 Michael Shafer GIMPS 41 24036583 7235733 May 15 2004 Josh Findley GIMPS 42 25964951 7816230 Feb 18 2005 Martin Nowak GIMPS 43 30402457 9152052 Dec 15 2005 Curtis Cooper and Steven Boone GIMPS 44 32582657 9808358 Sep 4 2006 Curtis Cooper and Steven Boone GIMPS 第 44 个梅森素数是现今人类已知的最大的素数 完全数 完全数 Perfect number 又称完美数 是一些特殊的自然数 定义定义 编辑本段 若一个自然数 它所有的真因子 即除了自身以外的约数 的和恰好等于 它本身 这种数叫做完全数 完全数完全数 又称完美数完美数或完备数完备数 是一些特殊的自然数 它所有的真因子 即除了自身以外的约数 的和 即因子函数 恰好等于它本身 例如 第一个完全数是 6 它有约数 1 2 3 6 除去它本身 6 外 其余 3 个数相加 1 2 3 6 第二个完全数是 28 它有约数 1 2 4 7 14 28 除去它本身 28 外 其余 5 个数相加 1 2 4 7 14 28 后面的数是 496 8128 等等 例如 6 1 2 3 28 1 2 4 7 14 496 1 2 4 8 16 31 62 124 248 8128 1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064 对于 4 这个数 它的真因子有 1 2 其和是 3 由于 4 本身比其真因子 之和要大 这样的数叫做亏数 对于 12 这个数 它的真因子有 1 2 3 4 6 其和是 16 由于 12 本身比其真因子之和要小 这样的数就叫 做盈数 那么有没有既不盈余 又不亏欠的数呢 即等于它自己的所有真因子 之和的数 这样的数就叫做完全数 性质性质 编辑本段 完全数有许多有趣的性质 它们都能写成连续自然数之和 如 6 1 2 3 28 1 2 3 4 5 6 7 496 1 2 3 30 31 它们的全部因数的倒数之和都是 2 因此每个完全数都是调和数 如 1 1 1 2 1 3 1 6 2 1 1 1 2 1 4 1 7 1 14 1 28 2 3 除了 6 之外 都有这样的一个性质 如 28 2 8 10 1 0 1 496 4 9 6 19 1 9 10 1 0 1 历史历史 编辑本段 公元前 6 世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人 他已经知道 6 和 28 是 完全数 毕达哥拉斯曾说 6 象征着完满的婚姻以及健康和美丽 因为它的 部分是完整的 并且其和等于自身 不过 或许印度人和希伯来人早就知道 它们的存在了 有些 圣经 注释家认为 6 和 28 是上帝创造世界时所用的基本 数字 他们指出 创造世界花了六天 二十八天则是月亮绕地球一周的日数 圣 奥古斯丁说 6 这个数本身就是完全的 并不因为上帝造物用了六天 事 实恰恰相反 因为这个数是一个完数 所以上帝在六天之内把一切事物都造好 了 即使没有上帝创造世界这种事 6 仍旧不失其为完数 完全数诞生后 吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找 它很 久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力 他们没完没了地 找寻这一类数字 接下去的两个完数看来是公元 1 世纪 毕达哥拉斯学派成员 尼克马修斯发现的 他在其 数论 一书中有一段话如下 也许是这样 正如 美的 卓绝的东西是罕有的 是容易计数的 而丑的 坏的东西却滋蔓不已 是以盈数和亏数非常之多 杂乱无章 它们的发现也毫无系统 但是完全数则 易于计数 而且又顺理成章 因为在个位数里只有一个 6 十位数里也只有一 个 28 第三个在百位数的深处 是 496 第四个却在千位数的尾巴上 接近一 万 是 8128 它们具有一致的特性 尾数都是 6 或 8 而且永远是偶数 第五 个完全数要大得多 是 33550336 它的寻求之路也艰难得多 直到十五世纪才 由一位无名氏给出 这一寻找完全数的努力从来没有停止 电子计算机问世后 人们借助这一有力的工具继续探索 笛卡尔曾公开预言 能找出完全数是不 会多的 好比人类一样 要找一个完美人亦非易事 时至今日 人们一直没 有发现有奇完全数的存在 于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题 目 前 只知道即便有 这个数也是非常之大 并且需要满足一系列苛刻的条件 疑难问题疑难问题 编辑本段 到底有多少完全数 寻找完全数并不是容易的事 经过不少数学家研究 到目前为止 一共找到了 46 个完全数 有没有奇完全数 奇怪的是 已发现的 46 个完全数都是偶数 会不会有 奇完全数存在呢 如果存在 它必须大于 10 300 至今无人能回答这些问题 尽管没有发现奇完全数 但是当代数学家奥斯丁 欧尔证明 若有奇完全 数 则其形式必然是 12p 1 或 36p 9 的形式 其中 p 是素数 在 10 18 以 下的自然数中奇完全数是不存在的 完全数公式完全数公式 编辑本段 大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式 如果 2 p 1 质数 那么 2 p 1 2 p 1 便是一个完全数 p 2 2 p 1 3 是质数 2 p 1 2 p 1 3X2 6 p 3 2 p 1 7 是质数 2 p 1 2 p 1 7X4 28 但是 2 p 1 什么条件 下才是质数呢 当 2 p 1 是质数的时候 称其为梅森素数 顾名思义 就是梅森第一个系 统地研究这种形式的素数的 事实上 至今 人类只发现了 46 个梅森素数 也 就是只发现了 46 个完全数 完全数判断完全数判断 编辑本段 有了完全数公式 对于一个数是否是完全数 只要代入公式一试即可 例 求 a p k 是否为完全数 p 奇素数 k N 解 按完全数公式 2 p k 1 p p 2 pk pk 1 p 1 pk 左边 2 p k 右边 pk 1 p 1 pk 2 p k 该题无解 a pk 不是完全数 PASCAL 程序 判断 A B 区域内的完全数为 program wanquanshu var i a b longint function wanquanshu i longint boolean var sum k longint begin sum 1 for k 2 to i div 2 do if i mod k 0 then sum sum k if i sum then wanquanshu true else wanquanshu false end begin repeat readln a b until a 0 and b 0 and b a for i a to b do if wanquanshu i then writeln i end 利用利用 VBVB 编程求编程求 1000010000 以内完全数以内完全数 Dim a b c As Integer For a 1 To 10000 c 0 For b 1 To a 2 If a Mod b 0 Then c c b Next b If a c Then Print Str a Next a 利用利用 C C 语言编程求语言编程求 10001000 以内完全数以内完全数 main int i j sum for i 2 i 100 i sum 0 for j 1 j i 2 j if i j 0 sum sum j if sum i printf 4d i 梅森素数和完全数表梅森素数和完全数表 编辑本段 由完全数公式可知 完全数和梅森素数存在对应关系 因此列出梅森素数 表 就可以得出完全数表 梅森素数表梅森素数表 序号 p 位数 发现时间 发现者 reference 1 2 1 无从考究 无从考究 2 3 2 无从考究 无从考究 3 5 3 无从考究 无从考究 4 7 4 无从考究 无从考究 5 13 8 1461 Reguis 1536 Cataldi 1603 6 17 12 1588 Cataldi 1603 7 19 19 1588 Cataldi 1603 8 31 10 1750 Euler 1772 9 61 19 1883 Pervouchine 1883 Seelhoff 1886 10 89 27 1911 Powers 1911 11 107 33 1913 Powers 1914 12 127 39 1876 Lucas 1876 13 521 157 Jan 30 1952 Robinson 1954 14 607 183 Jan 30 1952 Robinson 1954 15 1279 386 Jun 25 1952 Robinson 1954 16 2203 664 Oct 7 1952 Robinson 1954 17 2281 687 Oct 9 1952 Robinson 1954 18 3217 969 Sep 8 1957 Riesel 19 4253 1281 Nov 3 1961 Hurwitz 20 4423 1332 Nov 3 1961 Hurwitz 21 9689 2917 May 11 1963 Gillies 1964 22 9941 2993 May 16 1963 Gillies 1964 23 11213 3376 Jun 2 1963 Gillies 1964 24 19937 6002 Mar 4 1971 Tuckerman 1971 25 21701 6533 Oct 30 1978 Noll and Nickel 1980 26 23209 6987 Feb 9 1979 Noll Noll and Nickel 1980 27 44497 13395 Apr 8 1979 Nelson and Slowinski 28 86243 25962 Sep 25 1982 Slowinski 29 110503 33265 Jan 28 1988 Colquitt and Welsh 1991 30 132049 39751 Sep 20 1983 Slowinski 31 216091 65050 Sep 6 1985 Slowinski 32 756839 227832 Feb 19 1992 Slowinski and Gage 33 859433 258716 Jan 10 1994 Slowinski and Gage 34 1257787 378632 Sep 3 1996 Slowinski and Gage 35 1398269 420921 Nov 12 1996 Joel Armengaud GIMPS 36 2976221 895832 Aug 24 1997 Gordon Spence GIMPS 37 3021377 909526 Jan 27 1998 Roland Clarkson GIMPS 38 6972593 2098960 Jun 1 1999 Nayan Hajratwala GIMPS 39 13466917 4053946 Nov 14 2001 Michael Cameron GIMPS 40 20996011 6320430 Nov 17 2003 Michael Shafer GIMPS 41 24036