根与系数的关系

第 10 课 判别式与韦达定理 知识点 一元二次方程根的判别式 判别式与根的个数关系 判别式与根 韦达定理及其逆定理 大纲要求 1 掌握一元二次方程根的判别式 会判断常数系数一元二次方程根的情况 对含有字母 系数的由一元二次方程 会根据字母的取值范围判断根的情况 也会根据根的情况确定字母 的取值范围 2 掌握韦达定理及其简单的应用 3 会在实数范围内把二次三项式分解因式 4 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题 内容分析 1 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式 b2 4ac 当 0 时 方程有两个不相等的实数根 当 0 时 方程有两个相等的实数根 当 0 时 方程没有实数根 2 一元二次方程的根与系数的关系 1 如果一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两个根是 x1 x2 那么 a b xx 21 a c xx 21 2 如果方程 x2 px q 0 的两个根是 x1 x2 那么 x1 x2 P x1x2 q 3 以 x1 x2为根的一元二次方程 二次项系数为 1 是 x2 x1 x2 x x1x2 0 3 二次三项式的因式分解 公式法 在分解二次三项式 ax2 bx c 的因式时 如果可用公式求出方程 ax2 bx c 0 的两个根是 x1 x2 那么 ax2 bx c a x x1 x x2 考查重点与常见题型 1 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况 有关试题出现在选择题或填空题中 如 关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 中 如果 a 0 那么梗的情况是 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 不能确定 2 利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值 有关问题在中考试题 中出现的频率非常高 多为选择题或填空题 如 设 x1 x2是方程 2x2 6x 3 0 的两根 则 x12 x22的值是 A 15 B 12 C 6 D 3 3 在中考试题中常出现有关根的判别式 根与系数关系的综合解答题 在近三年试题 中又出现了有关的开放探索型试题 考查了考生分析问题 解决问题的能力 考查题型 1 关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 中 如果 a 0 那么根的情况是 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 不能确定 2 设 x1 x2是方程 2x2 6x 3 0 的两根 则 x12 x22的值是 A 15 B 12 C 6 D 3 3 下列方程中 有两个相等的实数根的是 A 2y2 5 6y B x2 5 2x C x2 x 2 0 D 3x2 2x 1 0 5326 4 以方程 x2 2x 3 0 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是 A y2 5y 6 0 B y2 5y 6 0 C y2 5y 6 0 D y2 5y 6 0 5 如果 x1 x2是两个不相等实数 且满足 x12 2x1 1 x22 2x2 1 那么 x1 x2等于 A 2 B 2 C 1 D 1 6 如果一元二次方程 x2 4x k2 0 有两个相等的实数根 那么 k 7 如果关于 x 的方程 2x2 4k 1 x 2 k2 1 0 有两个不相等的实数根 那么 k 的取值范 围是 8 已知 x1 x2是方程 2x2 7x 4 0 的两根 则 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 9 若关于 x 的方程 m2 2 x2 m 2 x 1 0 的两个根互为倒数 则 m 二 考点训练 1 不解方程 判别下列方程根的情况 1 x2 x 5 2 9x2 6 2 0 3 x2 x 2 0 2 2 当 m 时 方程 x2 mx 4 0 有两个相等的实数根 当 m 时 方程 mx2 4x 1 0 有两个不相等的实数根 3 已知关于 x 的方程 10 x2 m 3 x m 7 0 若有一个根为 0 则 m 这时方程的 另一个根是 若两根之和为 则 m 这时方程的两个根为 3 5 4 已知 3 是方程 x2 mx 7 0 的一个根 求另一个根及 m 的值 2 5 求证 方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0 没有实数根 6 求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1 和 1 55 7 设 x1 x2是方程 2x2 4x 3 0 的两根 利用根与系数关系求下列各式的值 1 x1 1 x2 1 2 3 x12 x1x2 2 x1 x2 x1 x1 x2 解题指导 1 如果 x2 2 m 1 x m2 5 是一个完全平方式 则 m 2 方程 2x mx 4 x2 6 没有实数根 则最小的整数 m 3 已知方程 2 x 1 x 3m x m 4 两根的和与两根的积相等 则 m 4 设关于 x 的方程 x2 6x k 0 的两根是 m 和 n 且 3m 2n 20 则 k 值为 5 设方程 4x2 7x 3 0 的两根为 x1 x2 不解方程 求下列各式的值 1 x12 x22 2 x1 x2 3 4 x1x22 x1 1 2 1 2 6 实数 分别满足方程 19 2 99 1 0 和且 19 99 2 0 求代数式 的值 4 1 7 已知 a 是实数 且方程 x2 2ax 1 0 有两个不相等的实根 试判别方程 x2 2ax 1 a2x2 a2 1 0 有无实根 1 2 8 求证 不论 k 为何实数 关于 x 的式子 x 1 x 2 k2都可以分解成两个一次因式的积 9 实数 K 在什么范围取值时 方程 2 2 1 K 1 0 有实数正根 独立训练 一 1 不解方程 请判别下列方程根的情况 1 2t2 3t 4 0 2 16x2 9 24x 3 5 u2 1 7u 0 2 若方程 x2 2m 1 x m2 1 0 有实数根 则 m 的取值范围是 3 一元二次方程 x2 px q 0 两个根分别是 2 和 2 则 p q 33 4 已知方程 3x2 19x m 0 的一个根是 1 那么它的另一个根是 m 5 若方程 x2 mx 1 0 的两个实数根互为相反数 那么 m 的值是 6 m n 是关于 x 的方程 x2 2m 1 x m2 1 0 的两个实数根 则代数式 mn 7 已知关于 x 的方程 x2 k 1 x k 2 0 的两根的平方和等于 6 求 k 的值 8 如果 和 是方程 2x2 3x 1 0 的两个根 利用根与系数关系 求作一个一元二次方 程 使它的两个根分别等于 和 1 1 9 已知 a b c 是三角形的三边长 且方程 a2 b2 c2 x2 2 a b c x 3 0 有两个相等的实数根 求证 这个三角形是正三角形 10 取什么实数时 二次三项式 2x2 4k 1 x 2k2 1 可因式分解 11 已知关于 X 的一元二次方程 2 2 2 3 1 0 的两实数根为 若 求 的取值范围 1 1 独立训练 二 1 已知方程 x2 3x 1 0 的两个根为 则 2 如果关于 x 的方程 x2 4x m 0 与 x2 x 2m 0 有一个根相同 则 m 的值为 3 已知方程 2x2 3x k 0 的两根之差为 2 则 k 1 2 4 若方程 x2 a2 2 x 3 0 的两根是 1 和 3 则 a 5 方程 4x2 2 a b x ab 0 的根的判别式的值是 6 若关于 x 的方程 x2 2 m 1 x 4m2 0 有两个实数根 且这两个根互为倒数 那么 m 的值为 7 已知 p 0 q 0 则一元二次方程 x2 px q 0 的根的情况是 8 以方程 x2 3x 1 0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 9 设 x1 x2是方程 2x2 6x 3 0 的两个根 求下列各式的值 1 x12x2 x1x22 2 1 x1 1 x2 10 m 取什么值时 方程 2x2 4m 1 x 2m2