第一讲-全等三角形的提高拓展训练讲义(讲义)

1 第一讲第一讲 全等三角形的提高拓展训练讲义 讲义 全等三角形的提高拓展训练讲义 讲义 1 基础知识精讲基础知识精讲 1 全等三角形的性质 全等三角形的性质 对应角相等 对应边相等 对应边上的中线相等 对应边上的高相等 对 应角的角平分线相等 面积相等 寻找对应边和对应角 常用到以下方法 1 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 3 有公共边的 公共边常是对应边 4 有公共角的 公共角常是对应角 5 有对顶角的 对顶角常是对应角 6 两个全等的不等边三角形中一对最长边 或最大角 是对应边 或对应角 一对最短边 或最小角 是 对应边 或对应角 要想正确地表示两个三角形全等 找出对应的元素是关键 2 2 全等三角形的判定方法 全等三角形的判定方法 1 边角边定理 SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 2 角边角定理 ASA 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 3 边边边定理 SSS 三边对应相等的两个三角形全等 4 角角边定理 AAS 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 5 斜边 直角边定理 HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 3 3 全等三角形的应用 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等 角相等 两直线垂直等问题 在证明的过 程中 注意有时会添加辅助线 拓展关键点 拓展关键点 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系 而证明两条线 段或两个角的和 差 倍 分相等是几何证明的基础 二 典型例题精讲二 典型例题精讲 板块一 截长补短 例例 1 年北京中考题年北京中考题 已知已知中 中 分别平分分别平分和和 06ABC 60A BDCEABC ACB BD 交于点交于点 试判断 试判断 的数量关系 并加以证明 的数量关系 并加以证明 CEOBECDBC D O E CB A 4 32 1 F D O E CB A 解析 BECDBC 理由是 在上截取 连结 BCBFBE OF 利用证得 SASBEO BFO 12 60A 1 90120 2 BOCA 120DOE 180ADOE 180AEOADO 13180 2 24180 12 34 利用证得 AASCDO CFO CDCF BCBFCFBECD 例例 2 如图 点如图 点为正三角形为正三角形的边的边所在直线上的任意一点所在直线上的任意一点 点点除外除外 作 作 MABDABB60DMN 射线射线与与外角的平分线交于点外角的平分线交于点 与与有怎样的数量关系有怎样的数量关系 MNDBA NDMMN N EBMA D G N EBMA D 解析 猜测 过点作交于点 DMMN MMGBD ADGAGAM GDMB 又 120ADMDMA 120DMANMB 而 ADMNMB 120DGMMBN DGMMBN DMMN 变式拓展训练变式拓展训练 如图 点如图 点为正方形为正方形的边的边上任意一点 上任意一点 且与且与外角的平外角的平MABCDABMNDM ABC 分线交于点分线交于点 与与有怎样的数量关系 有怎样的数量关系 NMDMN N CD EBMA N CD EBMA 解析 猜测 在上截取 DMMN ADAGAM DGMB 45AGM 135DGMMBN ADMNMB DGMMBN DMMN 例例 3 已知 如图 已知 如图 ABCD 是正方形 是正方形 FAD FAE 求证 求证 BE DF AE F E D CB A M F E D C B A 解析 延长 CB 至 M 使得 BM DF 连接 AM AB AD AD CD AB BM BM DF ABM ADF AFD AMB DAF BAM AB CD 3 AFD BAF EAF BAE BAE BAM EAM AMB EAM AE EM BE BM BE DF 例例 4 以以的的 为边向三角形外作等边为边向三角形外作等边 连结 连结 相交于相交于ABC ABACABD ACE CDBE 点点 求证 求证 平分平分 OOADOE F A B C D E OO E D C B A 解析 因为 是等边三角形 所以 ABD ACE ABAD AEAC CAE 60BAD 则 所以 BAEDAC BAEDAC 则有 ABEADC AEBACD BEDC 在上截取 连结 容易证得 DCDFBO AFADFABO ACFAEO 进而由 得 AFAO AFOAOF 由可得 即平分 AOEAFO AOF AOE OADOE 例例 5 北京市 天津市数学竞赛试题北京市 天津市数学竞赛试题 如图所示 如图所示 是边长为是边长为 的正三角形 的正三角形 是顶角为是顶角为ABC 1BDC 的等腰三角形 以的等腰三角形 以为顶点作一个为顶点作一个的的 点 点 分别在分别在 上 求上 求120 D60 MDN MNABAC 的周长 的周长 AMN N M D CB A E A BC D M N 解析 如图所示 延长到使 ACECEBM 在与中 因为 BDM CDE BDCD 90MBDECD BMCE 所以 故 BDMCDE MDED 因为 所以 120BDC 60MDN 60BDMNDC 又因为 所以 BDMCDE 60MDNEDN 在与中 MND END DNDN 60MDNEDN DMDE 所以 则 所以的周长为 MNDEND NEMN AMN 2 例例 6 五边形五边形 ABCDE 中 中 AB AE BC DE CD ABC AED 180 求证 求证 AD 平分平分 CDE 4 C E D B A A B D E F C 解析 延长 DE 至 F 使得 EF BC 连接 AC ABC AED 180 AEF AED 180 ABC AEF AB AE BC EF ABC AEF EF BC AC AF BC DE CD CD DE EF DF ADC ADF ADC ADF 即 AD 平分 CDE 板块二 全等与角度 例例 7 如图 在如图 在中 中 是是的平分线 且的平分线 且 求 求的的ABC 60BAC ADBAC ACABBD ABC 度数度数 解析 如图所示 延长至使 连接 ABEBEBD EDEC 由知 ACABBD AEAC 而 则为等边三角形 60BAC AEC 注意到 EADCAD ADAD AEAC 故 AEDACD 从而有 DEDC DECDCE 故 2BEDBDEDCEDECDEC 所以 20DECDCE 602080ABCBECBCE 另解 在上取点 使得 则由题意可知 ACEAEAB CEBD 在和中 ABD AED ABAE BADEAD ADAD 则 从而 ABDAED BDDE 进而有 DECE ECDEDC AEDECDEDC 2 ECD 注意到 则 ABDAED 13 180120 22 ABCACBABCABCABCBAC 故 80ABC 点评 由已知条件可以想到将折线 拉直 成 利用角平分线可以构造全等三角形 同ABDAEAD 样地 将拆分成两段 之后再利用三角形全等亦可 此思路也是十分自然的 AC 需要说明的是 无论采取哪种方法 都体现出关于角平分线 对称 的思想 上述方法我们分别称之为 补短法 和 截长法 它们是证明等量关系时优先考虑的方法 E DCB A E DCB A 5 例例 8 在等腰在等腰中 中 顶角 顶角 在边 在边上取点上取点 使 使 求 求 ABC ABAC 20A ABDADBC BDC 解析 以为边向外作正 连接 ACABC ACE DE 在和中 ABC EAD ADBC ABEA 2060EADBACCAE 80ABC 则 ABCEAD 由此可得 所以是等腰三角形 EDEAEC EDC 由于 20AEDBAC 则 602040CEDAECAED 从而 70DCE 706010DCADCEACE 则 201030BDCDACDCA 另解 1 以为边在外作等边三角形 连接 ADABC ADE EC 在和中 ACB CAE 6020CAEACB AEADCB ACCA 因此 ACBCAE 从而 CABACE CEABAC 在和中 CAD CED ADED CECA CDCD 故 CADCED 从而 ACDECD 2CABACEACD 故 因此 10ACD 30BDC 另解 2 如图所示 以为边向内部作等边 连接 BCABC BCN NAND 在和中 CDA ANC CNBCAD 20CAD ACNACBBCN 806020 故 CADACN 而 进而有 ACCA CDAANC 则 10ACDCAN 故 30BDCDACDCA 点评 上述三种解法均是向三边作正三角形 然后再由三角形全等得到边长 角度之间的关系 例例 9 勤奋杯勤奋杯 数学邀请赛试题数学邀请赛试题 如图所示 在如图所示 在中 中 又 又在在ABC ACBC 20C M 上 上 在在上 且满足上 且满足 求 求 ACNBC50BAN 60ABM NMB 解析 过作的平行线交于 连接交于 MABBCKKAMBP 连接 易知 均为正三角形 PNAPB MKP 因为 50BAN ACBC 20C 所以 50ANB BNABBP 80BPNBNP 则 40PKN 180608040KPN 故 PNKN 从而 MPNMKN 进而有 PMNKMN 1 30 2 NMBKMP 另解 如图所示 在上取点 使得 ACD20ABD ED CB A E D CB A N D C B A P AB C M N K 6 由 可知 20C ACBC 80BAC 而 故 20ABD 80ADB BABD 在中 ABN 50BAN 80ABN 故 从而 进而可得 50ANB BABN BNBD 而 802060DBNABCABD 所以为等边三角形 BDN 在中 ABM 180180806040AMBABMBAM 804040DBMADBAMB 故 从而 DMBDBM DMDB 我们已经得到 故是的外心 DMDNDB DBMN 从而 1 30 2 NMBNDB 点评 本题是一道平面几何名题 加拿大滑铁卢大学的几何大师 Ross Honsberger 将其喻为 平面几 何中的一颗明珠 本题的大多数解法不是纯几何的 即使利用三角函数也不是那么容易 例例 10 四边形四边形中 已知中 已知 求 求的的ABCDABAC 60ABD 76ADB 28BDC DBC 解析 如图所示 延长至 使 由已知可得 BDEDEDCDEADB 7628104ADCADBBDC 故 ADEADC 又因为 故 ADAD DEDC ADEADC 因此 AEAC EACD EADCAD 又因为 故 ABAC AEAB ABCACB 而已知 所以为等边三角形 60ABD ABE 于是 故 60ACDEEAB 18016CADADCACD 则 28CABEABCADEAD 从而 1 180 76 2 ABCCAB 所以 16DBCABCABD 3 典型习题精练典型习题精练 例例 10 日本算术奥林匹克试题日本算术奥林匹克试题 如图所示 在四边形如图所示 在四边形中 中 ABCD12DAC 36CAB 求 求的度数的度数 48ABD 24DBC ACD 解析 仔细观察 发现已知角的度数都是的倍数 这使我们想到构造角 从而利用正三角形 12 60 在四边形外取一点 使且 连接 ABCDP12PAD APAC PBPD 在和中 ADP ADC 12PADCAD APAC ADAD 故 ADPADC 从而 APDACD 在中 ABC 36CAB 72ABC 故 72ACB ACAB 从而 APAB 而 12123660PABPADDACCAB 故是正三角形 PAB 60APB PAPB E C D BA D N M C BA P D C BA 7 在中 DAB 123648DABDACCABDBA 故 DADB 在和中 PDA PDB PAPB PDPD DADB 故 PDAPDB 从而 1 30 2 APDBPDAPB 则 30ACD 例例 11 河南省数学竞赛试题河南省数学竞赛试题 在正在正内取一点内取一点 使 使 ABC DDADB 在在外取一点外取一点 使 使 且 且 求 求 ABC EDBEDBC BEBA BED 解析 如图所示 连接 因为 DCADBD ACBC CDCD 则 ADCBDC 故 30BCD 而 DBEDBC BEABBC BDBD 因此 故 BDEBDC 30BEDBCD 例例 12 北京市数学竞赛试题北京市数学竞赛试题 如图所示 在如图所示 在中 中 为为内内ABC 44BACBCA MABC 一点 使得一点 使得 求 求的度数的度数 30MCA 16MAC BMC 解析 在中 由可得 ABC 44BACBCA ABAC 92ABC 如图所示 作于点 延长交于点 连接 BDAC DCMBDOOA 则有 30OACMCA 443014BAOBACOAC 301614OAMOACMAC 所以 BAOMAO 又因为 90903060AODOADCOD 所以 120AOMAOB 120BOM 而 因此 AOAO ABOAMO 故 OBOM 由于 120BOM 则 180 30 2 BOM OMBOBM 故 180150BMCOMB 四 家庭作业优化设计四 家庭作业优化设计 设计时间 设计时间 分钟分钟 实际时间 实际时间 分钟分钟 一 选择题选择题 1 2009 年江苏省 如下左图 给出下列四组条件 ABDEBCEFACDF ABDEBEBCEF BEBCEFCF ABDEACDFBE 其中 能使的条件共有 ABCDEF A 1 组B 2 组C 3 组D 4 组 D E CB A O D M CA B 8 2 2009 年浙江省绍兴