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分位数回归 2020 3 28 东北大学工商管理学院 2 主要内容 1 OLS估计原理与QR估计的提出2 总体分位数及样本分位数3 损失函数4 分位数回归的估计方法与假设检验5 分位数估计的Stata操作 2020 3 28 东北大学工商管理学院 3 1 OLS回归原理与QR估计的提出 传统的回归分析主要关注均值 即采用因变量条件均值的函数来描述自变量每一特定数值下的因变量均值 从而揭示自变量与因变量的关系 这类回归模型实际上是研究被解释变量的条件期望 描述了因变量条件均值的变化 OLS回归模型着重考察x对y的条件期望E y x 的影响 实际上是均值回归 2020 3 28 东北大学工商管理学院 4 1 OLS回归原理与QR估计的提出 对于典型的一元回归模型 外生性 球型扰动项 2020 3 28 东北大学工商管理学院 5 1 OLS回归原理与QR估计的提出 2020 3 28 东北大学工商管理学院 6 1 OLS回归原理与QR估计的提出 x y 2020 3 28 东北大学工商管理学院 7 拟合值和残差 1 OLS回归原理与QR估计的提出 2020 3 28 东北大学工商管理学院 8 2020 3 28 东北大学工商管理学院 9 1 OLS回归原理与QR估计的提出 OLS回归的缺点 1 对异常值特别敏感 2 是均值回归 E y x 只是刻画条件分布y x集中趋势的指标 而我们关心x对整个条件分布y x的影响 3 假设严格 误差项条件均值为零 且方差独立同分布 即y x服从渐进正态分布 如果y x不是对称分布 则E y x 很难反映条件分布的全貌 2020 3 28 东北大学工商管理学院 10 异方差下的简单回归 1 OLS回归原理与QR估计的提出 2020 3 28 东北大学工商管理学院 11 异方差的一种情形 1 OLS回归原理与QR估计的提出 2020 3 28 东北大学工商管理学院 12 异方差下不同分位数的回归结果 1 OLS回归原理与QR估计的提出 2020 3 28 东北大学工商管理学院 13 1 OLS回归原理与QR估计的提出 人们也关心解释变量与被解释变量分布的中位数 分位数呈何种关系 这就是分位数回归 它最早由Koenker和Bassett于1978年提出 是估计一组回归变量X与被解释变量Y的分位数之间线性关系的建模方法 强调条件分位数的变化 分位数回归使用残差绝对值的加权平均 如 作为最小化的目标函数 而不是像OLS采用作为目标函数 不易受极端值影响 较为稳健 分位数回归还能提供关于条件分布y x的全面信息 2020 3 28 东北大学工商管理学院 14 1 OLS回归原理与QR估计的提出 2020 3 28 东北大学工商管理学院 15 2 总体分位数与样本分位数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 16 2 总体分位数与样本分位数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 17 2 总体分位数与样本分位数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 18 2 总体分位数与样本分位数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 19 2 总体分位数与样本分位数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 20 2 总体分位数与样本分位数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 21 在统计学中损失函数是一种衡量损失和错误程度的函数 常记作 建模的主要目的是在给定x时表示求y的条件预测值 设表示预测函数 且表示预测误差 如果损失的准则是 那么就是OLS回归 最优预测值为条件均值 如果损失准则是绝对误差损失 那就是中位数回归 最优预测值为条件中位数 3 损失函数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 22 线性损失函数其中 k1和k2是两个常数 反映在大于a和小于a时的损失程度 当k1和k2相等时 可以得到绝对值形式的损失函数 3 损失函数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 23 对于之前的OLS来说 就是使得残差平方和最小 即损失函数为平方损失函数 此为最小二乘回归 而中位数回归的损失函数为绝对值损失函数 则称为最小一乘回归 使得残差绝对值的和最小 最小一乘回归是分位数回归的特例 在QR中 通过计算数据点到回归线的加权距离 没有平方 赋予拟合线下数据点的权重是1 q 赋予拟合线上数据点的权重为q 对于选择的每个q 都会产生不同的条件分位数拟合函数 3 损失函数 2020 3 28 东北大学工商管理学院 24 对一个样本 估计的分位数回归式越多 对被解释变量yt条件分布的理解就越充分 以一元回归为例 如果用LAD 最小绝对离差和 法估计的中位数回归直线与用OLS法估计的均值回归直线有显著差别 则表明被解释变量yt的分布是非对称的 4 分位数回归的估计方法与假设检验 2020 3 28 东北大学工商管理学院 25 如果散点图上侧分位数回归直线之间与下侧分位数回归直线之间相比 上侧比较接近 则说明被解释变量yt的分布是左偏的 反之是右偏的 对于不同分位数回归函数 如果回归系数的差异很大 说明在不同分位数上解释变量对被解释变量的影响是不同的 4 分位数回归的估计方法与假设检验 2020 3 28 东北大学工商管理学院 26 4 分位数回归的估计方法与假设检验 不可微分 线性规划 单纯形法 2020 3 28 东北大学工商管理学院 27 4 分位数回归的估计方法与假设检验 2020 3 28 东北大学工商管理学院 28 4 分位数回归的估计方法与假设检验 使用自助法来求聚类稳健标准误 协方差矩阵 很难进行估计 2020 3 28 东北大学工商管理学院 29 4 分位数回归的估计方法与假设检验 2020 3 28 东北大学工商管理学院 30 4 分位数回归的估计方法与假设检验 分位数回归估计的检验包括两部分 一是与均值回归类似的检验 例如拟合优度检验 拟似然比检验和Wald检验等 一是分位数回归估计特殊要求的检验 例如斜率相等检验和斜率对称性检验等 1 拟合优度检验 假设分位数回归直线为 则q分位数的加权误差项的拟合值为 而实际的样本q分位数的加权误差项为 拟和优度准则表达式如下 2 斜率相等检验 斜率相等检验 即检验对于不同的分位点 估计得到的结构参数 在线性模型中即为斜率 是否相等 原假设被设定为 其中指常数项以外的解释变量所对应的 k 1 维参数列向量 因此 原假设共含有 k 1 m 1 个约束条件 构造Wald形式的统计量检验零假设是否成立 如果接受该假设 说明每个斜率对于不同分位点具有不变性 此时 应该采用普通最小二乘估