(北师大版)数学必修三：1.8《最小二乘估计》.ppt

8最小二乘估计 1 在上节课的讨论中 我们知道 人体脂肪含量和年龄之间近似存在着线性关系 这种线性关系可以有多种方法来进行刻画 但是这些方法都缺少数学思想依据 问题1 用什么样的线性关系刻画会更好一些 想法 保证这条直线与所有点都接近 也就是距离最小 最小二乘法就是基于这种想法 本节课我们来进行详细学习 2 1 了解最小二乘法的思想 2 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 重点 3 会用线性回归方程对总体进行估计 难点 3 思考1 用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效 设直线方程为y a bx 样本点A xi yi 方法一 点到直线的距离公式 方法二 4 显然方法二能有效地表示点A与直线y a bx的距离 而且比方法一计算更方便 所以我们用它来表示二者之间的接近程度 5 思考2 怎样刻画多个点与直线的接近程度 例如有5个样本点 其坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 与直线y a bx的接近程度 提示 6 若有n个样本点 x1 y1 xn yn 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y a bx的接近程度 使上式达到最小值的直线y a bx就是所要求的直线 这种方法称为最小二乘法 7 先来讨论3个样本点的情况 思考3 怎样使达到最小值 8 利用配方法可得 9 10 同样使用配方法可以得到 当 从而得到直线y bx的系数 b 且称直线y bx为这3个样本点的线性回归方程 11 用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数 牢记公式 12 特别提醒 在回归直线方程中 b是回归直线方程的斜率 a是截距 b的含义容易理解成增加的单位数 而实际上 它代表x每增加一个单位 y的平均增加单位数 一般地说 当回归系数b 0时 说明两个变量呈正相关关系 它的意义是 当x每增加一个单位时 y就增加b个单位 当b 0时 说明两个变量呈负相关关系 它的意义是 当x每增加一个单位时 y就减少b个单位 13 思考4 如果样本点只有两个 用最小二乘法得到的直线与用两点式求出的直线一致吗 提示 是一致的 与用两点式相同 14 例1在上一节练习中 从散点图可以看出 某小卖部6天卖出热茶的杯数 y 与当天气温 x 之间是线性相关的 数据如下表 1 试用最小二乘法求出线性回归方程 2 如果某天的气温是 3 请预测这天可能会卖出热茶多少杯 15 解 1 由散点图可以看出 两个变量是线性相关的 16 2 由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知 当某天的气温是 3 时 卖出热茶的杯数估计为 57 557 1 648 3 63 杯 17 1 利用最小二乘法估计时 首先要作出数据的散点图 利用散点图观察数据是否具有线性关系 2 散点图呈现线性关系时 利用最小二乘法公式求出方程 3 直线拟合只是拟合的方式之一 散点图呈现其他的规律时 我们也可以利用其他的曲线进行拟合 说明 18 例2下面是两个变量的一组数据 请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程 解 根据上表数据 可以计算出 其他数据如下表 19 20 思考 哪一个对呢 y 15 9x 21 所以 利用最小二乘法估计时 要先作出数据的散点图 如果散点图呈现一定的规律性 我们再根据这个规律性进行拟合 如果散点图呈现出线性关系 我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程 如果散点图呈现出其他的曲线关系 我们就要利用其他的工具进行拟合 22 D 1 已知x y之间的一组数据如下表 则y与x的线性回归方程y a bx必经过点 A 2 2 B 1 5 0 C 1 2 D 1 5 4 23 A 24 A 25 4 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表 1 画出销售额和利润额的散点图 2 若销售额和利润额具有相关关系 计算利润额y对销售额x的线性回归方程 26 2 数据如下表 可以求得b 0 5 a 0