概率论与数理统计第三章随机向量ppt课件.ppt

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第三章随机向量第一节二维随机向量及其分布第二节边缘分布第三节条件分布第四节随机变量的独立性第五节两个随机变量的函数的分布 1 二维随机向量及其分布函数定义1 设E是一个随机试验它的样本空间是 e 设X e 与Y e 是定义在同一样本空间上的两个随机变量则称 X e Y e 为上的二维随机向量或二维随机变量简记为 X Y 定义2 设 X Y 是二维随机向量对于任意实数x y 称二元函数F x y P X x Y y 为二维随机向量 X Y 的分布函数或联合分布函数第一节二维随机向量及其分布上一页下一页返回 X Y 的分布函数满足如下基本性质 2 0 F x y 1 1 F x y 是变量x y的不减函数上一页下一页返回 2 二维离散型随机变量定义3 若二维随机向量 X Y 的所有可能取值是有限对或无限可列多对则称 X Y 为二维离散型随机向量设 X Y 的一切可能值为 xi yj i j 1 2 且 X Y 取各对可能值的概率为P X xi Y yj pij i j 1 2 1 非负性 pij 0 i j 1 2 上一页下一页返回的联合分布律和或随机变量的概率分布或分布律离散型随机变量为二维称 Y X Y X j i p Y Y x X P ij 2 1 上一页下一页返回 X Y 的分布律也可用表格形式表示上一页下一页返回例1 从一个装有2个红球 3个白球和4个黑球的袋中随机地取3个球设X和Y分别表示取出的红球数和白球数求 X Y 的分布律并求P X 1 Y 2 P X Y 2 及P X 1 解 X的可能值为0 1 2 Y的可能为0 1 2 3 X Y 的所有可能值为 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 由古典概率计算可得上一页下一页返回于是 X Y 的分布可用表示由 X Y 的分布律所求概率为上一页下一页返回上一页下一页返回 3 二维连续型随机变量定义5 设 X Y 为二维随机向量 X Y 的分布函数为F x y 若存在非负二元函数f x y 对于任意实数x y 有上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回设G是平面上的有界区域其面积为S 若二维随机变量 X Y 的概率密度为设 X Y 在区域G上服从均匀分布 D为G内的一区域即D G 且D的面积为S D 那么二维均匀分布则称 X Y 在区域G上服从均匀分布上一页下一页返回若 X Y 的概率密度为二维正态分布上一页下一页返回 4 n维随机变量设E是一个随机试验它的样本空间是 e 设随机变量是定义在同一样本空间上的n个随机变量则称向量为n维随机向量或n维随机变量简记为设是n维随机变量对于任意实数称n元函数为n维随机变量的联合分布函数上一页下一页返回 X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量 X Y 关于X和Y的边缘分布函数分别记为FX x FY y 当已知 X Y 的联合分布函数F x y 时可通过求得两个边缘分布函数第二节边缘分布上一页下一页返回例1 设二维随机向量 X Y 的联合分布函数为上一页下一页返回上一页下一页返回 1 二维离散型随机变量的边缘分布上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回 2 二维连续型随机变量的边缘分布上一页下一页返回上一页下一页返回第三节条件分布 1 二维离散型随机变量的条件分布律定义6 上一页下一页返回例1 一射手进行射击每次射击击中目标的概率均为p 0 p 1 且假设各次击中目标与否相互独立射击进行到击中目标两次为止设以X表示到第一次击中目标所需要的射击次数以Y表示总共进行的射击次数试求 X Y 的联合分布律和条件分布律解由题意 X i 表示第i次首次击中目标 Y j 表示第j次击中目标因而i j X i Y j 表示第i次和第j次击中目标而其余j 2次均未击中目标于是 X Y 的联合分布律为上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回 2 二维连续型随机变量的条件分布同样在X x条件下随机变量Y的条件分布函数上一页下一页返回设 X Y 的分布函数为F x y 概率密度为f x y 若在点 x y 处f x y 连续边缘概率密度fY y 连续且fY y 0 则有亦即上一页下一页返回类似地在相应条件下可得在X x条件下Y的条件概率密度为若记为条件Y y下X的条件概率函数则由上式知上一页下一页返回且有边缘概率密度当 1 y 1时有解 X Y 的概率密度为例2 设随机变量 X Y 在区域D x y x2 y2 1 上服从均匀分布求条件概率密度上一页下一页返回特别y 0和y 时条件概率密度分别为类似于条件概率的乘法公式也有上一页下一页返回设F x y 为二维随机变量 X Y 的分布函数 X Y 关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX x FY y 则上式等价于第四节随机变量的独立性定义8 设X和Y是两个随机变量如果对于任意实数x和y 事件 X x 与 Y y 相互独立即有P X x Y y P X x P Y y 则称随机变量X与Y相互独立由独立性定义可证若X与Y相互独立则对于任意实数x1 x2 y1 y2 事件 x1 X x2 与事件 y1 Y y2 相互独立上一页下一页返回结论推广若X与Y独立则对于任意一维区间I1和I2 事件 X I1 与 Y I2 相互独立 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 FX x2 FY y2 FX x2 FY y1 FX x1 FY y2 FX x1 FY y1 FX x2 FX x1 FY y2 FY y1 P x1 X x2 P y1 Y y2 所以事件 x1 X x2 与 y1 Y y2 是相互独立的当 X Y 为离散型或连续型随机向量时可用它的分布律或概率密度来判别X与Y的独立性上一页下一页返回例1 设二维随机变量 X Y 的分布律如表所示问X与Y相互独立吗解 X与Y的边缘分布律分别为逐一验证可知 pij pi p j i 1 2 3 j 1 2 3 从而X与Y相互独立上一页下一页返回例2 设X和Y都服从参数为1的指数分布且相互独立试求P X Y 1 由于X与Y相互独立所以 X Y 的概率密度为于是解设fX x fY y 分别为X和Y的概率密度则上一页下一页返回第五节两个随机变量的函数的分布 1 二维离散型随机变量的函数分布例设 X Y 分布律为求X Y X Y XY及X Y的分布解先列出下表 X 上一页下一页返回于是X Y的分布律为上一页下一页返回同理X Y的分布律为 XY及X Y的分布律分别为上一页下一页返回设 X Y 为连续型随机向量具有概率密度f x y 又Z g X Y g x y 为一已知的连续函数大部分情况下 Z是一连续型随机变量为求Z的概率密度可先求出Z的分布函数 2 二维连续型随机变量的函数分布上一页下一页返回即首先找出上式右端的积分区域Dz 如果求得了FZ z 那么可通过求出Z的概率密度求解过程中关键在于将事件 Z z 等价地转化为用 X Y 表示的事件 g X Y z X Y 其中上一页下一页返回例1 设且X与Y相互独立求的概率密度由于X与Y相互独立于是 X Y 的概率密度为先求Z的分布函数FZ z 解 X和Y的概率密度分别为当z 0时FZ z 0 当z 0时上一页下一页返回所以于是可得的概率密度上一页下一页返回如果一随机变量的概率密度为上式称该随机变量服从参数为的瑞利分布由题可知若X Y独立服从同一分布则服从参数为的瑞利分布设 X Y 的联合概率密度为f x y 现求Z X Y的概率密度令则Z的分布函数为 1 和的分布上一页下一页返回固定z和y对积分作换元法令x y u得于是上一页下一页返回由概率密度定义即得Z的概率密度为由X与Y的对称性又可得当X与Y相互独立时有其中分别是X和Y的密度函数上一页下一页返回证由定义 Z X Y的概率密度为当z 0时fZ z 0 证明 X Y服从参数为的分布例2 设X Y是相互独立且分别服从参数 1 和 2 的分布即X Y的概率密度分别为上一页下一页返回当z 0时上一页下一页返回综上所述

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