必修2 第1章 空间几何体

1 1 1 1 棱柱 棱锥 棱台的结构 特征 学习目标 1 感受空间实物及模型 增强学生的直观感知 2 能根据几何结构特征对空间物体进行分类 3 理解多面体的有关概念 4 会用语言概述棱柱 棱锥 棱台的结构特征 学习过程 一 课前准备 预习教材 P2 P4 找出疑惑之处 引入 小学和初中我们学过平面上的一些几何图 形如直线 三角形 长方形 圆等等 现实生活 中 我们周围还存在着很多不是平面上而是 空 间 中的物体 它们占据着空间的一部分 比如 粉笔盒 足球 易拉罐等 如果只考虑这些物体的 形状和大小 那么由这些物体抽象出来的空间图 形叫做空间几何体空间几何体 它们具有千姿百态的形状 有 着不同的几何特征 现在就让我们来研究它们吧 二 新课导学 探索新知探索新知 探究 1 多面体的相关概念多面体的相关概念 问题 观察下面的物体 注意它们每个面的特点 以及面与面之间的关系 你能说出它们相同点吗 新知新知 1 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多多 面体面体 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面多面体的面 如面 ABCD 相邻两个面的公共边叫多面体的棱多面体的棱 如棱 AB 棱与棱的公共点叫多面体的顶点多面体的顶点 如顶 点 A 具体如下图所示 1 探究 2 旋转体的相关概念旋转体的相关概念 问题 仔细观察下列物体的相同点是什么 新知新知 2 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定 直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体旋转体 这条定 直线叫旋转体的轴旋转体的轴 如下图的旋转体 探究 3 棱柱的结构特征棱柱的结构特征 问题 你能归纳下列图形共同的几何特征吗 新知新知 3 一般地 有两个面互相平行 其余各面都 是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行 由这些面所围成的几何体叫做棱柱棱柱 prism 棱柱中 两个互相平行的面叫做棱柱的 底面底面 简称底底 其余各面叫做棱柱的侧面 侧面 相邻 侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧棱 侧面与底面的公 共顶点叫做棱柱的顶点顶点 两底面之间的距离叫棱 柱的高高 试试 1 你能指出探究 3 中的几何体它们各自的 底 侧面 侧棱和顶点吗 你能试着按照某种标 准将探究 3 中的棱柱分类吗 新知新知 4 按底面多边形的边数来分 底面是三角 形 四边形 五边形 的棱柱分别叫做三棱柱 三棱柱 四棱柱 五棱柱四棱柱 五棱柱 按照侧棱是否和底面垂直 棱柱可分为斜棱柱斜棱柱 不垂直 和直棱柱直棱柱 垂直 试试 2 探究 3 中有几个直棱柱 几个斜棱柱 棱柱怎么表示呢 新知新知 5 我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱 如图 1 中这个棱柱表示为棱柱 ABCDA B C D 探究 4 棱锥的结构特征棱锥的结构特征 问题 探究 1 中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹 之一 它具有什么样的几何特征呢 新知新知 6 有一个面是多边形 其余各个面都是有一 个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体 叫做棱锥棱锥 pyramid 这个多边形面叫做棱锥的底面底面 或底或底 有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧侧 面面 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点顶点 相邻侧 面的公共边叫做棱锥的侧棱侧棱 顶点到底面的距离叫 做棱锥的高高 棱锥也可以按照底面的边数分为三 棱锥 四面体 四棱锥 等等 棱锥可以用顶点 C C A B A B O O A A 轴 面 D 顶点 棱 A B C D A C B 2 和底面各顶点的字母表示 如下图中的棱锥 SABCDE 探究 5 棱台的结构特征棱台的结构特征 问题 假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行 地切掉 则切掉的部分是什么形状 剩余的部分呢 新知新知 7 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台棱台 frustum of a pyramid 原棱锥的底面和截面分别叫 做棱台的下底面下底面和上底面上底面 其余各面是棱台的侧面侧面 相邻侧面的公共边叫侧棱侧棱 侧面与两底面的公共 点叫顶点顶点 两底面间的距离叫棱台的高棱台的高 棱台可以用 上 下底面的字母表示 分类类似于棱锥 试试 3 请在下图中标出棱台的底面 侧面 侧棱 顶点 并指出其类型和用字母表示出来 反思反思 根据结构特征 从变化的角度想一想 棱柱 棱台 棱锥三者之间有什么关系 典型例题典型例题 例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗 侧棱都相等 侧面都是平行四边形 两个底 面与平行于底面的截面是全等的多边形 过不 相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 仿照棱柱 棱 锥 棱台有哪些几何性质呢 三 总结提升 学习小结学习小结 1 多面体 旋转体的有关概念 2 棱柱 棱锥 棱台的结构特征及简单的几何性 质 知识拓展知识拓展 1 平行六面体平行六面体 底面是平行四边形的四棱柱 2 正棱柱正棱柱 底面是正多边形的直棱柱 3 正棱锥 正棱锥 底面是正多边形并且顶点在底面的射 影是底面正多边形中心的棱锥 4 正棱台正棱台 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平 移一段距离可以形成 A 棱锥 B 棱柱 C 平面 D 长方体 2 棱台不具有的性质是 A 两底面相似 B 侧面都是梯形 C 侧棱都相等 D 侧棱延长后都交于一点 3 已知集合 A 正方体 B 长方体 C 正四 棱柱 D 直四棱柱 E 棱柱 F 直平行六 面体 则 A EFDCBA B EDFBCA C EFDBAC D 它们之间不都存在包含关系 4 长方体三条棱长分别是 1 2 则从点出发 沿长方 AA AB4AD A 体的表面到 C 的最短矩离是 5 若棱台的上 下底面积分别是 25 和 81 高为 4 则截得这棱台的原棱锥的高为 课后作业课后作业 1 已知正三棱锥 S ABC 的高 SO h 斜高 侧面三 角形的高 SM n 求经过 SO 的中点且平行于底面 的截面 A1B1C1的面积 2 在边长为正方形 ABCD 中 E F 分别为a AB BC 的中点 现在沿 DE DF 及 EF 把 ADE CDF 和 BEF 折起 使 A B C 三点重 合 重合后的点记为 问折起后的图形是个什么P 几何体 它每个面的面积是多少 F E C BA D 3 1 1 2 圆柱 圆锥 圆台 球及 简单组合体的结构特征 学习目标学习目标 1 感受空间实物及模型 增强学生的直观感知 2 能根据几何结构特征对空间物体进行分类 3 能概述圆柱 圆锥 圆台台体 球的结构特征 4 能描述一些简单组合体的结构 学习过程学习过程 一 课前准备 预习教材 P5 P7 找出疑惑之处 复习 叫多 面体 叫旋转体 棱柱的几何性质 是对应边平行的全等 多边形 侧面都是 侧棱 且 平行于底面的截面是与 全等的多边形 棱锥 的几何性质 侧面都是 平行于底面的截 面与底面 其相似比等于 引入 上节我们讨论了多面体的结构特征 今天 我们来探究旋转体的结构特征 二 新课导学 探索新知探索新知 探究 1 圆柱的结构特征圆柱的结构特征 问题 观察下面的旋转体 你能说出它们是什么 平面图形通过怎样的旋转得到的吗 新知新知 1 以矩形的一边所在直线为旋转轴 其余三 边旋转形成的曲面所围成的几何体 叫做圆柱圆柱 circular cylinder 旋转轴叫做圆柱的轴轴 垂直 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面底面 平行 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面侧面 无论 旋转到什么位置 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧 面的母母线线 如图所示 圆柱用表示它的轴的字母表示 图中的圆柱可表 示为 圆柱和棱柱统称为柱体柱体 OO 探究 2 圆锥的结构特征圆锥的结构特征 问题 下图的实物是一个圆锥 与圆柱一样也是平 面图形旋转而成的 仿照圆柱的有关定义 你能定 义什么是圆锥圆锥以及圆锥的轴 底面 侧面 母线轴 底面 侧面 母线 吗 试在旁边的图中标出来 新知新知 2 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋 转轴 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆圆 锥锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示 棱锥与圆锥统 称为锥体锥体 探究 3 圆台的结构特征圆台的结构特征 问题 下图中的物体叫做圆台 也是旋转体 它是 什么图形通过怎样的旋转得到的呢 除了旋转得到 以外 对比棱台 圆台还可以怎样得到呢 新知新知 3 直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为 旋转轴 其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 圆台圆台 frustum of a cone 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥 底面与截面之 间的部分也是圆台 圆台和圆柱 圆锥一样 也 有轴 底面 侧面 母线轴 底面 侧面 母线 请你在上图中标出它 们 并把圆台用字母表示出来 棱台与圆台统称为 台体台体 反思 结合结构特征 从变化的角度思考 圆台 圆柱 圆锥三者之间有什么关系 4 探究 4 球的结构特征球的结构特征 问题 球也是旋转体 怎么得到的 新知新知 4 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面 旋转一周形成的几何体叫做球体球体 solid sphere 简称球球 半圆的圆心叫做球的球心球心 半圆的半径 叫做球的半径半径 半圆的直径叫做球的直径直径 球通 常用表示球心的字母表示 如球 OO 探究 5 简单组合体的结构特征简单组合体的结构特征 问题 矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成 灯管呢 新知新知 5 由具有柱 锥 台 球等简单几何体组合 而成的几何体叫简单组合体简单组合体 现实生活中的物体大 多是简单组合体 简单组合体的构成有两种方式 由 简单几何体拼接而成 由简单几何体截去或挖去 一部分而成 典型例题典型例题 例 将下列几何体按结构特征分类填空 集装 箱 运油车的油罐 排球 羽毛球 魔方 金字 塔 三棱镜 滤纸卷成的漏斗 量筒 量杯 地 球 一桶方便面 一个四棱锥形的建筑物被飓风 挂走了一个顶 剩下的上底面与地面平行 棱柱结构特征的有 棱锥结构特征的有 圆柱结构特征的有 圆锥结构特征的有 棱台结构特征的有 圆台结构特征的 有 球的结构特征的有 简单组合体 动手试试动手试试 练 如图 长方体被截去一部分 其中 EH 剩A D 下的几何体是什么 截去的几何体是什么 三 总结提升 学习小结学习小结 1 圆柱 圆锥 圆台 球的几何特征及有关概念 2 简单组合体的结构特征 知识拓展知识拓展 圆柱 圆锥的轴截面轴截面 过圆柱或圆锥轴的平面与 圆柱或圆锥相交得到的平面形状 通常圆柱的轴 截面是矩形 圆锥的轴截面是三角形 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 三边长分别为 3 4 5 绕着其中一边Rt ABC 旋转得到圆锥 对所有可能描述不对的是 A 是底面半径 3 的圆锥 B 是底面半径为 4 的圆锥 C 是底面半径 5 的圆锥 D 是母线长为 5 的圆锥 2 下列命题中正确的是 A 直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体 C 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D 通过圆台侧面上一点 有无数条母线 3 一个球内有一内接长方体 其长 宽 高分别为 5 4 3 则球的直径为 A B C D 5 22 55 5 2 2 4 已知 ABCD 为等腰梯形 两底边为 AB CD 且 AB CD 绕 AB 所在的直线旋转一周所得的几何 体中是由 的几何 体构成的组合体 5 圆锥母线长为 侧面展开图圆心角的正弦值R 为 则高等于 3 2 课后作业课后作业 1 如图 是由等腰梯形 矩形 半圆 倒 形三角对接形成的轴对称平面图形 若将 它绕轴旋转后形成一个组合体 下面 0 180 5 说法不正确的是 A 该组合体可以分割成圆台 圆柱 圆锥 和两个球体 B 该组合体仍然关于轴 对称l C 该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D 该组合体中的球和半球只有一个公共点 2 用一个平面截半径为的球 截面面积是25cm 则球心到截面的距离为多少 2 49 cm 1 2 1 中心投影与平行投影 1 2 2 空间几何体的三视图 学习目标学习目标 1 了解中心投影与平行投影的区别 2 能画出简单空间图形的三视图 3 能识别三视图所表示的空间几何体 学习过程学习过程 一 课前准备 预习教材 P11 P14 找出疑惑之处 复习 1 圆柱 圆锥 圆台 球分别是 绕 着 绕着 绕着 绕着 旋转得到 的 复习 2 简单组合体构成的方式 和 二 新课导学 探索新知探索新知 探究 1 中心投影和平行投影的有关概念中心投影和平行投影的有关概念 问题 中午在太阳的直射下 地上会有我们的影 子 晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影 子 你知道这是什么现象吗 为什么影子有长有 短 新知新知 1 由于光的照射 在不透明物体后面的屏幕 上可以留下这个物体的影子 这种现象叫做投影投影 其中光线叫投影线投影线 留下物体影子的屏幕叫投影投影 面面 光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影中心投影 中心投影的投影线交于一点 在一束平行光照射下 形成的投影叫做平行投影平行投影 平行投影的投影线是 平行的 在平行投影中 投影线正对着投影面时叫 正投影正投影 否则叫斜投影斜投影 思考 中午太阳的直射是什么投影 路灯 蜡烛 的照射是什么投影 试试 在下图中 分别作出圆在中心投影和平行投 影中正投影的影子 结论 中心投影其投影的大小随物体与投影中心间 距离的变化而变化 平行投影其投影的大小与这 个平面图形的形状和大小是完全相同的 探究 2 柱 锥 台 球的三视图柱 锥 台 球的三视图 问题 我们学过的几何体 柱 锥 台 球 为了 研究的需要 常常要在纸上把它们表示出来 该 怎么画呢 能否用平行投影的方法呢 新知新知 2 为了能较好把握几何体的形状和大小 通 常对几何体作三个角度的正投影 一种是光线从几 何体的前面向后面正投影得到投影图 这种投影 图叫几何体的正视图正视图 一种是光线从几何体的左 面向右面正投影得到投影图 这种投影图叫几何 体的侧视图侧视图 第三种是光线从几何体的上面向下 面正投影得到投影图 这种投影图叫几何体的俯俯 视图视图 几何体的正视图 侧视图和俯视图称为几何 体的三视图三视图 一般地 侧视图在正视图的右边 俯视图在正视 图的下边 三视图中 能看见的轮廓线和棱用实线 能看见的轮廓线和棱用实线 表示表示 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示不能看见的轮廓线和棱用虚线表示 下图是 一个长方体的三视图 思考 仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图 你能得出同一几何体的三视图在形状 大小方面 的关系吗 能归纳三视图的画法吗 俯视图 侧视图 正视图 6 小结 1 正视图反映物体的长度和高度 俯视图反映的是 长度和宽度 侧视图反映的是宽度和高度 2 正视图和俯视图高度相同 俯视图和正视图长度 相同 侧视图和俯视图宽度相同 3 三视图的画法规则 正视图 侧视图齐高 正 视图 俯视图长对正 俯视图 侧视图宽相等 即 长对正 高平齐 宽相等 正 侧 俯三个视图之间必须互相对齐 不能错位 探究 3 简单组合体的三视图简单组合体的三视图 问题 下图是个组合体 你能画出它的三视图吗 小结 画简单组合体的三视图 要先观察它的结 构 是由哪几个基本几何体生成的 然后画出对 应几何体的三视图 最后组合在一起 注意线的虚 实 典型例题典型例题 例 1 画出下列物体的三视图 例 2 说出下列三视图表示的几何体 动手试试 练 作出下图中两个物体的三视图 三 总结提升 学习小结学习小结 1 平行投影与中心投影的区别 2 三视图的定义及简单几何体画法 正视图 前 往后 侧视图 左往右 俯视图 上往下 画 时注意长对正 高平齐 宽相等 3 简单组合体画法 观察结构 各个击破 知识拓展知识拓展 画三视图时若相邻两物体表面相交 则交线要用 实线画出 确定正视 俯视 侧视的方向 同一 物体放置的方向不同 所画的三视图可能不同 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 下列哪种光源的照射是平行投影 A 蜡烛 B 正午太阳 C 路灯 D 电灯泡 2 左边是一个几何体的三视图 则这 个几何体是 A 四棱锥 B 圆锥 C 三棱锥 D 三棱台 3 如图是个六棱柱 其三视图为 A B C D 4 画出下面螺母的三视图 5 下图依次是一个几何体的正 俯 侧视图 7 则它的立体图为 课后作业课后作业 1 画出下面几何体的三视图 箭头的方向为正前方 2 一个正方体的五个面展开如图所示 请你在图中 合适的位置补出第六个面来 画出所有可能的情况 1 2 3 空间几何体的直观图 学习目标学习目标 1 掌握斜二测画法及其步骤 2 能用斜二测画法画空间几何体的直观图 学习过程学习过程 一 课前准备 预习教材 P16 P19 找出疑惑之处 复习 1 中心投影的投影线 平行投影 的投影线 平行投影又分 投影和 投 影 复习 2 物体在正投影下的三视图是 画三视图的要点是 引入 空间几何体除了用三视图表示外 更多的 是用直观图来表示 用来表示空间图形的平面图叫 空间图形的直观图空间图形的直观图 要画空间几何体的直观图 先 要学会水平放置的平面图形的画法 我们将学习用 斜二测画法来画出它们 你知道怎么画吗 二 新课导学 探索新知探索新知 探究 1 水平放置的平面图形的直观图画法水平放置的平面图形的直观图画法 问题 一个水平放置的正六边形 你看过去视觉 效果是什么样子的 每条边还相等吗 该怎样把这种 效果表示出来呢 新知新知 1 上面的直观图就是用斜二测画法斜二测画法画出来的 斜二测画法的规则及步骤如下 1 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 轴和轴 建立直角坐标系 两轴相交于 画xyO 直观图时 把它们画成对应的轴与轴 两轴相 x y 交于点 且使 或 它们确 O x O y 45135 定的平面表示水平面 2 已知图形中平行于轴或轴的线段 在直观xy 图中分别画成平行于轴或轴的线段 x y 3 已知图形中平行于轴的线段 在直观图中保x 持原长度不变 平行于轴的线段 长度为原来y 的一半 4 图画好后 要擦去轴 轴及为画图添加的xy 辅助线 虚线 典型例题典型例题 例 1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图 讨论 把一个圆水平放置 看起来象个什么图形 它的直观图如何画 结论 水平放置的圆的直观图是个椭圆 通常用 椭圆模板来画 探究 2 空间几何体的直观图画法空间几何体的直观图画法 问题 斜二测画法也能画空间几何体的直观图 和平面图形比较 空间几何体多了一个 高 你 知道画图时该怎么处理吗 例 2 用斜二测画法画长 4cm 宽 3cm 高 2cm 的 长方体的直观图 8 新知新知 2 用斜二测画法画空间几何体的直观图时 通常要建立三条轴 轴 轴 轴轴 它们相交xyz 于点 且 空间几空间几O45xOy 90 xOz 何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样 即图形中平行于轴的线段保持长度不变 平行于x 轴的线段长度为原来的一半 但空间几何体的但空间几何体的y 高高 即平行于 即平行于轴的线段 保持长度不变轴的线段 保持长度不变 z 动手试试 练 1 用斜二测画法画底面半径为 4 高为 3cm 的圆柱 cm 例 3 如下图 是一个空间几何体的三视图 请用 斜二测画法画出它的直观图 练 2 由三视图画出物体的直观图 正视图 侧视图 俯视图 小结 由简单组合体的三视图画直观图时 先要 想象出几何体的形状 它是由哪几个简单几何体 怎样构成的 然后由三视图确定这些简单几何体 的长度 宽度 高度 再用斜二测画法依次画出 来 三 总结提升 学习小结学习小结 1 斜二测画法要点 建坐标系 定水平面 与 坐标轴平行的线段保持平行 水平线段 轴 等x 长 竖直线段 轴 减半 若是空间几何体 与y 轴平行的线段长度也不变 z 2 简单组合体直观图的画法 由三视图画直观图 知识拓展知识拓展 1 立体几何中常用正等测画法正等测画法画水平放置的圆 正 等测画法画圆的步骤为 1 在已知图形 中 互相垂直的轴和轴Oxy 画直观图时 把它们画成对应的轴与轴 且 x y 使 或 0 120 x O y 0 60 2 已知图形中平行于轴或轴的线段 在直xy 观图中分别画成平行于轴或轴的线段 x y 3 平行于轴或轴的线段 长度均保持不变 xy 2 空间几何体的三视图与直观图有密切联系 三 视图从细节上刻画了空间几何体的结构 根据三 视图可以得到一个精确的空间几何体 得到广泛 应用 零件图纸 建筑图纸 直观图是对空间几 何体的整体刻画 根据直观图的结构想象实物的 形象 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 一个长方体的长 宽 高分别是 4 8 4 则 画其直观图时对应为 A 4 8 4 B 4 4 4 C 2 4 4 D 2 4 2 2 利用斜二测画法得到的 三角形的直观图是三 角形 平行四边形的直观图是平行四边形 正方 形的直观图是正方形 菱形的直观图是菱形 其 中正确的是 A B C D 3 一个三角形的直观图是腰长为的等腰直角三4 角形 则它的原面积是 A 8 B 16 C D 3216 22 4 下图是一个几何体的三视图 正视图侧视图俯视图 9 请画出它的图形为 5 等腰梯形 ABCD 上底边 CD 1 腰 AD CB 下底 AB 3 按平行于上 下底2 边取 x 轴 则直观图的面积为 A B C D 课后作业课后作业 1 一个正三角形的面积是 用斜二测画 2 10 3cm 法画出其水平放置的直观图 并求它的直观图形 的面积 2 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的 直观图 1 3 1 柱体 锥体 台体的表面 积与体积 1 学习目标学习目标 1 理解和掌握柱 锥 台的表面积计算公式 2 能运用柱 锥 台的表面积公式进行计算和解 决有关实际问题 学习过程学习过程 一 课前准备 预习教材 P23 P25 找出疑惑之处 复习 斜二测画法画的直观图中 轴与轴的 x y 夹角为 在原图中平行于轴或轴的线段画xy 成与 和 保持平行 其中平行于轴的线段长x 度保持 平行于轴的线段长度y 引入 研究空间几何体 除了研究结构特征和视 图以外 还得研究它的表面积和体积 表面积是几表面积是几 何体表面的面积 表示几何体表面的大小何体表面的面积 表示几何体表面的大小 体积体积 是几何体所占空间的大小是几何体所占空间的大小 那么如何求柱 锥 台 球的表面积和体积呢 二 新课导学 探索新知探索新知 探究 1 棱柱 棱锥 棱台的表面积棱柱 棱锥 棱台的表面积 问题 我们学习过正方体和长方体的表面积 以 及它们的展开图 下图 你觉的它们展开图与其 表面积有什么关系吗 结论 正方体 长方体是由多个平面围成的多面 体 其表面积就是各个面的面积的和 也就是展 开图的面积 新知新知 1 棱柱 棱锥 棱台都是多面体 它们的表 面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积侧面展开图的面积加上底面的面积 试试 1 想想下面多面体的侧面展开图都是什么样 子 它们的表面积如何计算 探究 2 圆柱 圆锥 圆台的圆柱 圆锥 圆台的表面积表面积 问题 根据圆柱 圆锥的几何特征 它们的侧面 展开图是什么图形 它们的表面积等于什么 你 能推导它们表面积的计算公式吗 新知新知 2 1 设圆柱的底面半径为 母线长为 rl 则它的表面积等于圆柱的侧面积 矩形 加上底 面积 两个圆 即 2 222 Srrlr rl 2 设圆锥的底面半径为 母线长为 则它rl 的表面积等于圆锥的侧面积 扇形 加上底面积 圆形 即 2 Srrlr rl 正视图俯视图侧视图 O y x 0 2 C 4 0 B 3 2 A 正四棱锥正四棱台 正六棱柱 10 试试 2 圆台的侧面展开图叫扇环扇环 扇环是怎么得 到的呢 能否看作是个大扇形减去个小扇形呢 你能试着求出扇环的面积吗 从而圆台的表面积 呢 新知新知 3 设圆台的上 下底面半径分别为 r r 母线长为 则它的表面积等上 下底面的面积l 大 小圆 加上侧面的面积 扇环 即 2222 Srrr lrlrrr lrl 反思 想想圆柱 圆锥 圆台的结构 你觉得它 们的侧面积之间有什么关系吗 典型例题典型例题 例 1 已知棱长为 各面均为等边三角形的四面a 体 求它的表面积 SABC 例 2 如图 一个圆台形花盆盆口直径为 20 盆cm 底直径为 15 底部渗水圆孔直径为 盆壁cm1 5cm 长 15 为了美化花盆的外观 需要涂油漆 已知每cm 平方米用 100 毫升油漆 涂 100 个这样的花盆需要 多少油漆 取 3 14 结果精确到 1 毫升 动手试试 练 1 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形 底面 边长为 求它的表面积 a 练 2 粉碎机的上料斗是正四棱台形状 它的上 下底面边长分别为 80 440 高 上下底面mmmm 的距离 是 200 计算制造这样一个下料斗所需mm 铁板的面积 三 总结提升 学习小结学习小结 1 棱柱 棱锥 棱台及圆柱 圆锥 圆台的表面 积 计算公式 2 将空间图形问题转化为平面图形问题 是解决 立体几何问题最基本 最常用的方法 知识拓展知识拓展 当柱体 锥体 台体是一些特殊的几何体 比如 直棱柱 正棱锥 正棱台时 它们的展开图是一 些规则的平面图形 表面积比较好求 当它们不 是特殊的几何体 比如斜棱柱 不规则的四面体 时 要注意分析各个面的形状 特点 看清楚题 目所给的条件 想办法求出各个面的面积 最后 相加 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 正方体的表面积是 64 则它对角线的长为 A B C D 4 33 44 216 2 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 这个圆柱 的表面积与侧面积的比是 A B C D 12 2 14 4 12 14 2 3 一个正四棱台的两底面边长分别为 侧m n mn 面积等于两个底面积之和 则这个棱台的高为 11 A B C D mn mn mn mn mn mn mn mn 4 如果圆锥的轴截面是正三角形 则该圆锥的侧面 积与表面积的比是 5 已知圆台的上 下底面半径和高的比为 4 4 母1 线长为 10 则圆台的侧面积为 课后作业课后作业 1 圆锥的底面半径为 母线长为 侧面展开图rl 扇形的圆心角为 求证 度 360 r l 2 如图 在长方体中 ABb BCc 且 求沿着长方体表面到 1 CCa abc A 的最短路线长 1 C 1 3 1 柱体 锥体 台体的表面 积与体积 2 学习目标学习目标 1 了解柱 锥 台的体积计算公式 2 能运用柱 锥 台的体积公式进行计算和解决 有关实际问题 学习过程学习过程 一 课前准备 预习教材 P25 P26 找出疑惑之处 复习 1 多面体的表面积就是 加上 复习 2 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图分别是 若圆柱 圆锥底面和 圆台上底面的半径都是 圆台下底面的半径是 r r 母线长都为 则 lS 圆柱 S 圆锥 S 圆台 引入 初中我们学习了正方体 长方体 圆柱的 体积公式 为底面面积 为高 是否VSh Sh 柱体的体积都是这样求呢 锥体 台体的体积呢 二 新课导学 探索新知探索新知 新知新知 经过证明 有兴趣的同学可以查阅祖暅祖暅原理 柱体体积公式为柱体体积公式为 为底面积 为高 VSh Sh 锥体体积公式为锥体体积公式为 为底面积 为 1 3 VSh Sh 高 台体体积公式为台体体积公式为 1 3 VSS SS h 分别为上 下底面面积 为高 S Sh 补充 柱体的高是指两底面之间的距离 锥体的 高是指顶点到底面的距离 台体的高是指上 下 底面之间的距离 反思 思考下列问题 比较柱体和锥体的体积公式 你发现什么结论 比较柱体 锥体 台体的体积公式 你能发现 三者之间的关系吗 典型例题典型例题 例 1 如图 1 所示 三棱锥的顶点为 P 是它的三条侧棱 且分别是 PA PB PC PA PB PC 面的垂线 又 PBC PAC PAB2PA 求三棱锥的体积 3 4PBPC PABC V B C D A D C BA 图 1 P C B A 12 变式 如图 2 在边长为 4 的立方体中 求三棱 锥的体积 BA BC 小结 求解锥体体积时 要注意观察其结构特征 尤其是三棱锥 四面体 它的每一个面都可以当作 底面来处理 这一方法又叫做等体积法 通常运用 此法可以求点到平面的距离 后面将会学习 它会 给我们的计算带来方便 例 2 高 12的圆台 它的中截面中截面 过高的中点cm 且平行于底面的平面与圆台的截面 面积为 225 体积为 求截得它的圆锥的体积 2 cm 3 2800cm 变式 已知正六棱台的上 下底面边长分别为 2 和 4 高为 2 求截得它的的正六棱锥的体积 小结 对于台体和其对应锥体之间的关系 可通 过轴截面中对应边的关系 用相似三角形的知识 来解 动手试试 练 1 在 中 ABC 3 2 120 2 ABBCABC 若将 绕直线旋转一周 求所形成的旋ABCBC 转体的体积 练 2 直三棱柱高为 6 底面三角形的边长分别cm 为 3 将棱柱削成圆柱 求削去部分 4 5cmcmcm 体积的最小值 三 总结提升 学习小结学习小结 1 柱体 锥体 台体体积公式及应用 公式不要 死记 要在理解的基础上掌握 2 求体积要注意顶点 底面 高的合理选择 知识拓展知识拓展 祖暅及祖暅原理祖暅及祖暅原理 祖暅 祖冲之 求圆周率的人 之子 河北人 南北朝时代的伟大科学家 柱体 锥体 包括球的 体积都可以用祖暅原理推导出来 祖暅原理 夹在两个平行平面之间的两个几何 体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截 得的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 圆柱的高增大为原来的 3 倍 底面直径增大为 图 2 B C D A D C BA C B A 13 原来的 2 倍 则圆柱的体积增大为原来的 A 6 倍 B 9 倍 C 12 倍 D 16 倍 2 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为 2 则它的体积为 36 A B C D 42 33 26 3 各棱长均为的三棱锥中 任意一个顶点到其a 对应面的距离为 A B C D 6 3 a 3 6 a 3 3 a 2 6 a 4 一个斜棱柱的的体积是 30 和它等底等高 3 cm 的棱锥的体积为 5 已知圆台两底面的半径分别为 则圆 a b ab 台和截得它的圆锥的体积比为 课后作业课后作业 1 有一堆规格相同的铁制 铁的密度是 3 7 8 g cm 六角螺帽共重 已知底面是正六边形 边长10kg 为 12 内孔直径为 10 高为 10 问mmmmmm 这堆螺帽大约有多少个 取 3 14 2 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三 棱柱 这个四棱锥的底面为正方形 且底面边长 与各侧棱长相等 这个三棱锥的底面边长与各侧 棱长也都相等 设四棱锥 三棱锥 三棱柱的高分 别为 则 123 h h h 1 h 2 h 3 h 1 3 2 球的体积和表面积 学习目标学习目标 1 了解球的表面积和体积计算公式 2 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行 计算和解决有关实际问题 学习过程学习过程 一 课前准备 预习教材 P27 P28 找出疑惑之处 复习 柱体包括 和 它的体积公式为 锥体包括 和 它的体 积公式为 台体包括 和 它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体 所以它 的体积公式为 二 新课导学 探索新知探索新知 新知新知 球的体积和表面积 球的体积和表面积 球没有底面 也不能像柱体 锥体 台体那样展 成平面图形 它的体积和表面积的求法涉及极限极限 思想思想 一种很重要的数学方法 经过推导证明 球的体积公式球的体积公式 3 4 3 VR 球的表面积公式球的表面积公式 2 4SR 其中 为球的半径 显然 球的体积和表面积的R 大小只与半径有关 R 典型例题典型例题 例 1 木星的表面积约是地球的 120 倍 则体积约 是地球的多少倍 变式 若三个球的表面积之比为 则它123 们的体积之比为多少 例 2 一种空心钢球的质量是 142 外径是 5 0g 求它的内径 钢密度 7 9 cm 3 g cm 14 例 3 如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 即圆柱内有一内切球 求证 1 球的体积等于圆柱体积的 2 3 2 球的表面积等于圆柱的侧面积 变式 半径为的球内有一内接正方体 设正方R 体的内切球半径为 则为多少 r R r 小结 两个几何体相接相接是指一个几何体的所有顶 点都在另一个几何体的表面上 两个几何体相切相切 是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相 切 解决几何体相切或相接问题 要利用截面来展 现这两个几何体之间的相互关系 从而把空间问 题转化为平面问题来解决 动手试试 练 1 长方体的一个顶点上的三条棱长为 3 若它的八个顶点都在同一个球面上 45 求出此球的表面积和体积 练 2 如图 求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形 成的几何体的表面积和体积 三 总结提升 学习小结学习小结 1 球的表面积及体积公式的应用 2 空间问题转化为平面问题的思想 知识拓展知识拓展 极限的思想推导球的表面积公式过程 如图 将球的表面分成个小球面 每个小球面的n 顶点与球心连接起来 近似的看作是一个棱锥 O 其高近似的看作是球的半径 则球的体积约为这 个小棱锥的体积和 表面积是这个小球面的面nn 积和 当越大时 分割得越细密 每个小棱锥的n 高就越接近球的半径 于是当趋近于无穷大时n 即分割无限加细 小棱锥的高就变成了球的半径 这就是极限的思想这就是极限的思想 所有小棱锥的体积和就是球的 体积 最后根据球的体积公式就可以推导出球的表 面积公式 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为 B C A D 4 5 2 15 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 如果球的半径扩大倍 则球的表面积扩大 2 A 倍 B 倍 C 倍 D 8 倍22 2 2 2 有相等表面积的球及正方体 它们的体积记为 球直径为 正方体的棱长为 则 1 V 2 Vda A B 12 da VV 12 da VV C D 12 da VV 12 da VV 3 记与正方体各个面相切的球为 与各条棱相 1 O 切的球为 过正方体各顶点的球为则这 3 个 2 O 3 O 球的体积之比为 A 1 2 3 B 1 C 1 D 1 4 9232 23 3 4 已知球的一个截面的面积为 9 且此截面到 球心的距离为 4 则球的表面积为 5 把一个半径为的金属球熔成一个圆锥 3 5 2cm 使圆锥的侧面积为底面积的 倍 则这个圆锥的高3 应为 cm 课后作业课后作业 1 有一个倒圆锥形容器 它的轴截面是一个正三 角形 在容器内放入一个半径为 R 的球 并注入 水 使水面与球正好相切 然后将球取出 求此 时容器中水的深度 2 半球内有一内接正方体 则这个半球的表面积 与正方体表面积之比是多少 1 3 空间几何体的表面积与体积 练习 学习目标学习目标 1 会求空间几何体 简单组合体的面积和体积 2 能解决与空间几何体表面积 体积有关的综合 问题 3 进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想 学习过程学习过程 一 课前准备 复习教材 P23 P28 找出疑惑之处 复习 1 柱体 锥体 台体的表面积是如何求出来 的 它们的体积公式有何联系 球的表面积和体 积只和什么变量有关 复习 2 简单组合体的表面积和体积怎么求 二 新课导学 典型例题典型例题 例 1 设圆台的上 下底面半径分别为 母线 r r 长是 圆台侧面展开后所得的扇环的圆心角是 l 求证 度 360 rr l A 小结 有关几何体侧面的问题 通常是把侧面展 开为平面图形 然后在平面图形中寻求解决途径 16 变式 在长方体中 已知 1111 ABCDABC D 5AB 从点出发 沿着表面运动到 则 1 4 3BCBB A 1 C 最短路线长是多少 小结 求立体图形表面上两点的最短距离问题 是立体几何中的一个重要题型 解决这类问题的关 键是把图形展开 有时全部展开 有时部分展开 为 平面图形 找出表示最短距离的线段 通常利用两 点之间直线最短 例 2 若是三棱柱的侧棱 E FABCA B C 和 BB 上的点 且 三棱柱的体积为 求 CC B E CFm 四棱锥的体积 ABEFC 变式 正三棱台中 则ABCA B C 1 2 A B AB 三棱锥 的体积比为AABC BA B C CA B C 多少 小结 当直接求体积有困难时 可利用转化思想 分割几何体 借助体积公式和图形的性质转化为 其它等体积 等底等高或同底同高 的几何体 从而 起到化难为易的作用 动手试试 练 1 圆锥的底面半径为 母线长 SABR3SAR 为的中点 一个动点自底面圆周上的点沿DSAA 圆锥侧面移动到 求这点移动的最短距离 D 在中 边分别为 所对角为 则有 ABC a b ca 222 2cosabcbc 练 2 直三棱柱各侧棱和底面边长均为 点是aD 上任意一点 连结 CC A B BDA D AD 则三棱锥 的体积为多少 AA BD 三 总结提升 学习小结学习小结 1 空间问题可以转化为平面问题解决 2 最短距离的求法 3 求体积困难时可采用分割的思想 化为底 面 积 高相同的规则几何体求解 知识拓展知识拓展 空间问题向平面的转化包括 圆锥 圆台中元 素的关系问题 用轴截面来解决 空间几何体表 17 面上两点线路最短问题 用侧面展开图来解决 球的组合体中的切 接问题 用过球心的截面来 解决 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 在棱长为 的正方体上 分别用过顶点的三条棱1 中点的平面截该正方体 则截去 个三棱锥后 剩8 下多面体的体积为 A B C D 2 3 7 6 4 5 5 6 2 已知球面上过三点的截面和球心的距离 A B C 是球半径的一半 且 则球的表2ABBCCA 面积为 A B C D 16 9 8 3 4 64 9 3 正方体的 8 个顶点中有 4 个恰为正四面体的顶 点 则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为 A B C D 23 6 2 2 3 3 4 正四棱锥底面积为 过两对侧棱的截面面积S 为 则棱锥的体积为 Q 5 已知圆锥的全面积是底面积的 倍 那么该圆3 锥的侧面展开图的圆心角 度 课后作业课后作业 1 一个圆台上下底面半径分别为 5 10 母线 12 A A 20 一只蚂蚁从的中点绕圆台侧面转到下底 12 A AM 面圆周上的点 求蚂蚁爬过的最短距离 2 A 2 已知一个圆锥的底面半径为 高为 在其中RH 有个高为的内接圆柱 x 1 求圆柱的侧面积