雨滴下落速度的讨论

编号编号 20090212362009021236 毕毕 业业 论论 文文 0909 届本科 届本科 论文题目 论文题目 雨滴下落速度的讨论雨滴下落速度的讨论 学学 院 院 电气工程学院电气工程学院 专专 业 业 物理学物理学 班班 级 级 0909 本科本科 2 2 班班 作者姓名 作者姓名 吴丽霞吴丽霞 指导教师 指导教师 郭立帅郭立帅 职称 职称 完成日期 完成日期 20122012 年年 1212 月月 日日 雨滴下落速度的讨论 陇东学院 电气工程学院 甘肃 庆阳 745000 吴丽霞 郭立帅 摘 要 简单介绍雨滴的形成 运用流体力学相关知识 分析了雨滴下落所受的黏性阻 力和压差阻力 考虑雨滴在空气中下落半径增加对雨滴速度的影响 得出了雨滴下落速度和 雨滴半径的关系 对雨滴下落的收尾速度进行了一般的讨论 关键词 雨滴 黏性阻力 压差阻力 雷诺数 收尾速度 Discussion of the raindrops falling speed Wu Li xia Guo Li shuai Electrical Engineering College Longdong University Qingyang 745000 Gansu China Abstract Brief rain formation the use of the knowledge of fluid mechanics analysis of viscous drag and pressure drag the raindrops whereabouts suffered consider raindrops in the air the whereabouts of the impact of increasing the radius of raindrops speed to draw raindrops falling speed and raindrops radius the general analysis of the relationship between the terminal velocity of raindrops whereabouts Key Words Raindrops Viscosity resistance Pressure drag Reynolds number Terminal velocity 引言 下雨是自然界常见的现象 如果将雨滴看作自由下落的质点 我们知道云层下表面距地 面约 2000 米 由质点运动学的相关知识和可知 从此高度下落到地面的雨vgt 2 1 2 hgt 滴速度可达 200m s 化为小时制为 720km h 此速度大约是 F1 赛车的两倍 从动量的角度 分析 与一个质量为 0 1g 速度为 130m s 的子弹产生的动量相当 这样的雨滴如果撞在人身 上 后果不堪设想 但实际上 地表上的任何生命都没有被雨滴撞伤 这是因为雨滴下落时 不仅受重力 还受空气浮力和阻力 并不是自由落体运动 在这三个力的作用下 才使得无 论是毛毛细雨还是大雨滂沱 雨滴都不会因为速度太大而撞伤人畜 大小不同的下落的快慢的不同 我们都知道大雨滴下落的快 小雨滴下落的慢 如果将 雨滴看做质量不变的球体进行研究 不考虑雨滴质量增加对其速度影响 则雨滴下落最后将 达到一个恒定不变的最大速度 称为收尾速度 然而 雨滴在下落过程中不断几首水汽尘埃 等物质 质量将会不断增加 但由于下落过程中还存在摩擦升温等因素 造成蒸发现象 质 量也会减小 所以为了不是问题过于复杂 本文着重讨论质量不变的不同雨滴的下落速度 对于质量变化的雨滴只做浅易讨论质量增加的情况 1 雨滴的形成 雨是由 云 变来的 陆地和海洋表面的水蒸发变成水蒸气 水蒸气在高空遇冷便凝 结成小水滴 这些小水滴都很小 直径只有 0 0001 0 0002mm 它们又轻又小 被空气中的 上升气流托在空中 就是这些小水滴在空中凝聚成了云 这些小水滴要变成雨滴降到地面 它们的体积大约要增大 100 多万倍 这些小水滴主要靠两个手段增大 一是凝结和凝华增大 二是靠云滴的碰撞增大 在雨滴形成初期 云滴主要不断吸收云体四周的水气使自己凝结和 凝华 如果云体内的水气能源源不断得到供应和补充 使云滴表面处于过饱和状态 那么 这种凝结过程将会继续下去 使云滴不断增大 成为雨滴 但有时云内的水气含量有限 在 同一块云里 水气往往供不应求 这样就不可能使每个云滴都增大为较大的云滴 所以 对 于云体温度高于零摄氏度的暖云来说 云中就存在着大小不同的云滴 大云滴下落速度快 上升速度慢 小运滴下降速度慢 上升速度快 于是 由于大小云滴相对速度的差异 使得 大云滴有机会与小云滴相撞 结果小云滴就合并到大云滴中去了 这样 大云滴不断的增加 又因为上升气流分布不均匀 大云滴可以多次在云中上下运动 再加上云内的湍流作用 大 云滴增大的机会就会增加 于是大云滴越来越大 直到上升气流再也托不住时 便从云中下 落 形成降雨 雨滴在下落过程中区别于自由落体运动 是由于受到了空气阻力的作用 2 空气阻力的分类 由流体力学可知 雨滴在空气中下落 所受阻力有两种 分别是由摩擦引起的黏性阻 力和由压差引起的压差阻力 2 1 黏性阻力 雨滴在空气中相对于空气运动 雨滴表面附着一层空气 即附面层 附面层靠近雨滴 的空气微团相对于雨滴静止 附面层外侧空气微团相对于雨滴有一定流速 造成雨滴表面附 近的空气存在速度梯度 因而空气层之间有阻碍雨滴下落的摩擦力 叫做黏性阻力 比较小的物体在黏性较大的流体中缓慢地运动 即雷诺数很小的情况下 该阻力是主要 因素 著名的斯托克斯 G G Stokes 1819 1903 公式描述了球形物体受到的黏性阻力 其中为雨滴的半径 为雨滴下落的速度 为空气粘滞系数 该公式在雷6Fr rv 诺数很小的情况才正确 即 1 是雷诺于 1883 年提出用来比较黏性流体流动状态的ReRe 量纲为 1 的量 其定义为 和分别表示流体密度和黏度 表示特征流速 Re vL v L 是与物体横截面相联系的特征长度 2 2 压差阻力 雨滴表面处有附面层 远离附面层处气流受附面层影响小 流速快 靠近附面层的 气流流动缓慢 因而在雨滴的上方便因靠附面层的的空气未能及时赶到而留下空间 于是外 层空气便回旋过来补充从而形成涡旋 雨滴上方涡旋产生 所以上方气压小于下方气压 压 强差构成雨滴下落的阻力 叫压差阻力 从本质上将 压差阻力有黏性阻力引起 但与 G G Stokes 公式描述的那类黏性阻力有 不同机制 黏性阻力和压差阻力同时存在 但就涡旋产生后 黏性阻力不占重要地位 球形 物体在流体中所受压差阻力为 1 2 1 2 D FCsv 其中表示流体密度 是物体与流体垂直方向的最大横截面积 为阻力系数 为无一 s D C 量纲常数 随不同雷诺数取不同值 在 0 范围内 与的关系为Re 3 2 10 D CRe D C 当 1 时 式中的第二 三项相比之下可以忽略 此时 246 0 4 Re1Re Re D C 代入 1 式即前面的 G G Stokes 公式 当时 2412 2 Re Lr rv 35 10Re2 10 近似为常数 0 4 D C 3 雨滴下落的模型 据有关对雨滴的实测结果可知 最小雨滴的直径仅有 0 04mm 普通雨滴的直径约为 2mm 最大雨滴的直径为 6mm 再大些的雨滴会由于不稳定而破裂为较小雨滴 在此 最大 雨滴直径去 4mm 在本文的讨论中 将雨滴的形状视为球体 且分为两类 一类在下落过程 中虽然半径增加尺度但尺度任然极小 所受空气阻力始终以黏性阻力为主 一类半径较大 下落过程器上表面产生涡旋 所受空气阻力以压差阻力为主 4 雨滴下落速度的分类讨论 4 1 空气阻力以黏性阻力为主的雨滴下落情况 在无风的情况下 假设雨滴的质量的为 雨滴在自身重力 浮力和黏性阻力的共同m 作用下 垂直下落的运动方程为 2 6 d mv mgm grv dt 式中 下同 为水的密度 为空气的密度 3 1 4 3 mr 3 2 4 3 mr 1 2 若不考虑雨滴在下落过程中因蒸发和碰撞所引起的质量变化 则 2 式可写为 3 6 dv mmm grv dt 6 1 dvmrv g dtmm 其中为雨滴在 时刻的绝对运动速度 假定雨滴运动中空气介质是静止的 为重力加速vtg 度 为空气质量 上式中令 下同 m 2 1 1 1 m ggg m 则 3 式可写为 2 3 1 1 669 4 2 3 rr k mr r 4 dv gkv dt 对上式取积分 并取初始条件 可解得任一时刻雨滴下落的速度 00v 5 1 kt g v te k 4 式中 令 可得雨滴下落的收尾速度 dv dt 0 6 1 2 2 121 2 1 2 9 9 2 m g grg v k r 取 1 33 1 00 10 kg m 3 2 1 293kg m 6 17 1 10kg m s 2 9 8gm s 代入 6 式得 7 32 82 6 21 00 101 2939 8 1 272 10 9 17 1 10 m r vr m s 因为 G G Stokes 公式适用的条件是 而 将代入得Re1 2 2 Re m rv m v 雨滴半径 382 133 6 21 2931 272 10 Re1 29 101 17 1 10 rkg mr m s r kg m s 4 0 36 10rm 假设存在的极小雨滴 则代入 7 式得此雨滴的收尾速度 4 0 2 10rm 如此小的速度雨滴几乎瞬间就能达 2 842 1 272 100 2 105 088 10 m vm sm s 到 因为 而代入数值得 所以 1 kt m v tvem s 2 1 9 2 k r 2 1 92 10k 2 1 92 10 1 t m v tvem s 当速度从零增加到 有解得此雨滴达到收尾速度的时间 999 1000 m v 999 1000 m v 2 1 92 10 1 t m ve 为 在这么短的时间内 雨滴不可能从 2000m 的高空落至地面 2 2 ln1000 3 6 10 1 92 10 ts 所以 可以认为极小雨滴都是以收尾速度下落的 但是依据实际情况可判断 半径为 速度为的极小雨滴从高空下落 早在未落至地面前就已经蒸发 4 0 2 10 m 2 5 088 10m s 不见了 如果考虑雨滴在下落过程中半径逐渐增加 即雨滴的质量为变量 则 1 可写为 8 6d madmm grv 而上式中左边 d mamdaadm 因为 dv mdamm gkv dt 2 2 1 2 11 9 14 2 v gr dr r 3 1 4 612 3 dv admdrrdvvdr dt 右边 33 12 44 66 33 dmm grvdrdrdrv 1 2 2 466r gdrrdvvdr 所以 8 式可写为 222 1221 4418466r gdrr gdrv drr gdrrdvvdr 整理得 126vdrrdv 即 2vdrrdv 积分得 2 2lnln drdv rv rv 所以有 9 2 vkr 将边界条件代入上式得 24 00 5 088 10 0 2 10vm s rm 2 8 2 4 5 088 10 1 272 10 0 2 10 k 即 10 82 1 272 10vr 因为满足 G G Stokes 公式的雨滴半径必须是 所以代入 10 可得雨滴 4 0 36 10 m rm 最大速度 2 84 1 272 100 36 100 165 m vm s 分析可得雨滴即使以的速度从 2000m 高空下落 仍需要大约 4 个小时才0 165 m vm s 能到达地面 这么长的时间雨滴未等落到地面早就在空中蒸发掉了 显然是不存在这种雨滴 气象学研究表明这种小雨滴至存在于云层中 它需要和更小的雨滴合并 生成较大的雨滴后 才能从云中掉下来 这也进一步说明 G G Stokes 公式只适用于微小现象 像微小粒子 微小时间间隔 微 小速度等 像雨滴在云层中的生成过程就可以用此公式来计算 而雨滴在云层中的下落就不 在适用了 4 2 空气阻力以压差阻力为主的雨滴下落情况 在无风情况下 雨滴在重力 浮力和压差阻力共同作用下 假设雨滴的质量为 则m 其运动方程为 11 2 2 1 2 D mamm gC sv 2 sr 若不考虑雨滴下落过程中半径增加 即为常量 则 11 写为m 22 2 1 2 1 D Cr v dvm g dtmm 令 则上式可写为 2 1 11 m ggg m 2 2 1 2 D Cr 12 2 dv gv dtm 令得收尾速度 13 dv dt 0 1 2 8 3 m D rgmg v C 由前面讨论可知 近似取 0 4 将普通雨滴的半径 D C 3 1 10rm 代入 13 式得 2 2 1 19 987ggm s 33 8 10109 987 7 097 3 0 4 1 293 m vm s 将初始条件代入 12 得雨滴下落的一般落速公式为 00v 2 2 1 1 g t m m g t m e v tv e 当时 代入上式得 已经非常接近收尾速度 而s 这 2 g t m e 4 10 0 982 m v tv 2 4t 一过程也是比较短的 所以可以认为在这段时间内雨滴下落的半径不变 此后 雨滴将以 的初速度下落 半径开始增加 即此后雨滴为变量 由于实际观测到的最大雨滴7 097m s 的半径 所以我们取雨滴到达地面时半径增加至最大值 3 2 0 10 m r m 3 2 0 10 m rm 若考虑雨滴下落过程中半径增加 即雨滴质量为变量 则雨滴的运动方程 11 可写为 14 22 2 1 2 D d madmm gCr v 而上式左边 mdaadm 33 11 44 33 dvdv r ddr dtdt 22 32 22 11 11 334 4 388 DD CC vv rdgr dr rr 2 322 2 212 1 13 14 22 DD v C r dr drC vrdr r 2222 22122 13 4 22 DDD C r vdvC v rdrgr drC v rdr 而 14 式右边 22 2 1 2 D d mgd m gdCr v 3322 122 441 332 D gd rgd rCd r v 222 2122 4 DD gr drCv rdrCr vdv 所以 14 式 2222 22122 13 4 22 DDD C r vdvC v rdrgr drC v rdr 222 1222 4 DD gr drCv rdrCr vdv 整理得 22 23r vdvv rdr 积分有 15 3 2 v k r 将边界条件 代入 15 式 得 0 7 097vm s 3 0 1 10rm 9 2 7 097 10 k 所以当时 此速度即雨滴在下落过程中半径不断增加 当落 3 2 10 m rm 19 61 m vm s 至地面时半径增大至的速度 3 2 10 m 分析可得雨滴即使以的收尾速度从 2000的高空下落到地面约需 19 61 m vm s m3min 从下落的时间上看 是比较切合实际的 从上面的计算结果可知 雨滴越小出现收尾速度的时间越短 其收尾速度也越小 如果 雨滴尺寸再小 则其收尾速度将趋近于零 而较大雨滴下落的下落速度也相对较大一些 从 而导致大雨滴下落的快 小雨滴下落的慢 另外 本文对雨滴的讨论对也是理想化的 首先 雨滴在下落过程中并非完全保持球形 经 Mutchler 研究发现 当下落的雨滴达到收尾速度时 半径较小的雨滴保持球形 半径较大雨滴呈扁平状 其次 雨滴的质量在下落过程中是不断 变化的 大小不同的雨滴在下落过程中存在速度差 下降速度较快的大雨滴与下降速度较慢 的小雨滴相遇会聚成更大的雨滴 但随着雨滴体积的增大 空气阻力也随之增大 当雨滴再 大时 空气阻力超过了使雨滴保存整体的分子内聚力 大雨滴又会破裂才成小雨滴 6 总结 本文首先介绍了雨滴的形成 接着分析了雨滴下落过程的受力情况 进而分析了黏性阻 力和压差阻力的使用条件 最后运用运动学相关知识对雨滴下落进行了一般讨论 主要讨论 了雨滴下落过程中质量不变情况 简单的也讨论了实际现象中雨滴下落半径增加的情况 得 出以下结论 1 下落过程中受空气阻力满足 G G Stokes 公式的极小雨滴只存在于云层中 2 由于考虑雨滴下落过程中半径逐渐增加 严格的收尾速度便不存在了 但通过 计 算发现雨滴落至地面的速度也不是很大 可见 不存在严格收尾速度的雨滴下落模型也是合 理的 3 由知 雨滴半径越大其速度越大 雨滴半径各不相同 其收尾速度也 3 2 v k r 各 不相同 但一般降雨雨滴的半径分布在到之间 通过以上计算大量雨滴 3 1 1