《函数与导数总复习专题分析》.ppt

函数与导数总复习专题分析 福建省福州第三中学黄炳锋 中学高级教师 高中数学 简介 黄炳锋 福建省首批中小学教学名师 福建师范大学兼职副教授 福建省教育科研基地校成员 福州市名师工作室成员 福州市学科中心组成员 新课程以来 三次参加福建省高考命题工作 多次参加福建省质检 福州市质检的命题和审题工作 坚持在一线教学 在全国各地开展的国际教学研讨会上 多次开设教学公开课和专题讲座 在 数学通报 中学数学教学参考 等期刊上发表30多篇论文 合著 数学桥 用图形计算器教数学 图解数学 数学教学新视角 等专著 2 1 2 3 4 一 函数主线之地位分析 4 函数思想有助于弄清中学数学脉络 1 1 中学数学概观 5 数形结合主线可理顺数学整体结构 1 2 6 直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化 利用几何图形理解和解决数学问题 函数问题有利于提升直观想象素养 1 3 7 考试内容 函数概念与基本初等函数 1 函数 2 指数函数 3 对数函数 4 幂函数 5 函数与方程 1 4 8 考试内容 导数及其应用 1 导数概念及其几何意义 2 导数的运算 3 导数在研究函数中的应用 4 生活中的优化问题 5 定积分与微积分基本定理 1 4 9 重新整合考试内容 函数的概念与运算函数的图象与性质函数与方程导数的概念及其几何意义导数在研究函数中的应用生活中的优化问题定积分与微积分基本定理 1 4 10 题型结构凸显试题难度 自2011年起实施新课程高考模式 2013年起统计全国课标 卷 可以看出 函数与导数考查题型稳定 选填一般各设一题 解答题设一题 题位偏后 题分约占15 1 5 11 课 标 卷 选 填 题 理 课 标 卷 解 答 题 理 课 标 卷 选 填 题 文 课 标 卷 解 答 题 文 知识分布体现主体地位 自2013年起 全国课标卷每年命制文理各两套 统计2011年起的16份试卷可以看出 在选填题中基本上每年都有单独考查函数的概念 图象与性质 有时单独考查函数与方程以及导数的应用 理科有时考到定积分与微积分基本定理 解答题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在研究函数中的应用 但没有考到生活中的优化问题 1 6 16 小结 1 17 二 课标试卷之试题特点 18 函数与导数常见题型 2 0 19 注重基础 全面考查核心概念 客观题的考查往往以基本初等函数为载体 全面考查函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 周期性 有界性 以及函数图象变换等基础知识 属于简单题或中等难度题 试题特点 函数内部知识的交汇 目标指向明确 突出核心概念 2 1 20 2014年高考课标 卷 理11 案例 21 2015年高考课标 卷 理5 案例 22 注重基础 全面考查核心概念 函数与导数的解答题基本放置于最后两道 属难题 试题特点 以基本初等函数为载体 利用方程 不等式 数学建模与导数 代数推理等知识点交汇 考查函数五大性质的应用 不等式问题和函数方程思想 数形结合思想 分类与整合思想 化归与转化思想等 2 1 23 2015年高考课标 卷 文21 案例 分析 24 揭示本质 倡导数形结合思想 函数图象作为函数性质的直观体现 充分体现了数形结合思想 是解决函数有关问题的重要工具 函数 方程 不等式可谓是 一胞三胎 通过函数的图象可将它们紧密地结合在一起 要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题 也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题 2 2 25 2010年高考课标卷 理10 26 揭示本质 倡导数形结合思想 数形结合不仅在中学数学教学中占有重要的地位 也是历年高考重点考查的内容之一 在运用数形结合思想解题时 最大的困难在于自觉地在 数 中构 形 根据代数问题具有的几何特征 进而发现数与形之间的关系 从而使代数问题几何化 使问题得到解决 2 2 27 2015年高考课标 卷 理12 案例 28 2015年高考课标 卷 理12 案例 29 关注分类 还原讨论的层次性 分类与整合思想是必考的思想方法 而且常常落脚于函数与导数 不论是对函数单调性的讨论 还是在研究函数其他性质的求解过程 总是避免不了进行分类讨论 分类与整合思想是有思维层次性的 体现在分类标准的确定上 即怎么分类讨论 2 3 30 2015年高考课标 卷 理21 案例 31 32 2011年高考课标卷 理21 案例 特点 在分析中确定k的取值范围 33 类似 2013年课标 卷理21题 34 体现思维 从必要性入手求解 若已知 p q 则q是p的必要条件 意味着q是p成立的必不可少的条件 解题时恰当利用必要条件可帮助探求解题思路 简化解题过程 这在课标卷解题中常常被考查 2 4 35 2012年高考课标 卷 理21 案例 36 37 福州三中高二下 理21 本题从题型到设问比较符合课标卷特点 属基本类型题 案例 38 案例 福州三中高二下 理21 39 重视逻辑 用充分性方法证明 A是B的充分条件 表示A成立可以推出B成立 课标卷中常出现用证明A成立的方法去证B成立 这就是证明题不用等价转化 而用充分性的方法 引起大家的关注 2 5 40 2014年高考课标 卷 理21 案例 41 福州三中高三月考 理21 案例 42 43 小结 2 注重基础 全面考查核心概念揭示本质 倡导数形结合思想关注分类 还原讨论的层次性体现思维 从必要性入手求解重视逻辑 用充分性方法证明 44 三 各地试题之导向分析 45 特点 对函数与导数知识点的考查 除了江苏 上海安排了两道解答题 重庆没有安排选填题外 其他试卷基本上都是安排三道客观题和一道解答题 部分省份安排四道客观题和一道大题 分值在23分左右 约占总分的15 3 0 46 关注差异 文理要求不同各展所长 2015年各省高考的数学试题充分考虑了文理考生在数学学习内容 学习能力上的差异 理科侧重理性思维和抽象概括 文科侧重形象思维和定量处理 同一省份的文理试题常以 同题不同题号 或 姊妹题 的形式出现 对于函数与导数知识点的考查也出现类似情况 3 1 47 关注差异 文理要求不同各展所长 当然 对于函数与导数知识点文理的不同要求 在2015年的高考有些省 市的文理卷中也出现了较大的差异 如天津卷文 理的第8题虽然都是考查函数与方程的有关知识 但是考查类型与难度均有所不同 总的来看 理科的考查力度明显高于文科 3 1 48 2015年高考天津卷 理8 案例 49 2015年高考天津卷 文8 天津卷文理第8题 虽然都是在分段函数的基础上 考查函数与方程的相关知识 但两道试题的设问 结构以及难度都有明显差异 在能力要求上理科明显高于文科 案例 50 强调交汇 突出四基四能与三有利 2015年考试大纲的说明 在 考查要求 部分明确提出 数学科命题要 从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题 在知识网络交汇点设计试题 使对数学基础知识的考查达到必要的深度 3 2 51 强调交汇 突出四基四能与三有利 根据这一要求 2015年的数学试题既注重了章内知识的纵向发展 又注重了不同章节知识之间的相互交汇 并且对原有的知识网络交汇点进行了自然 适当的拓宽和延伸 这在函数与导数知识点的考查上尤为明显 3 2 52 强调交汇 突出四基四能与三有利 各省高考试卷中的 函数与导数 的解答题基本上涉及了函数 导数 方程和不等式的交汇 知识交汇能凸显四基 四能 三有利的落实 成为命题的显著特点 3 2 53 2015年高考陕西卷 理9 试题依托对数的概念及其运算性质 对数函数的单调性与基本初等函数的交汇 考查三个函数值的大小比较 突出函数内部的应用 案例 54 2015年高考福建卷 理13 试题将定积分与微积分基本定理与几何概型的交汇 考查定积分的几何意义与几何概型的计算 突出函数与导数内部的应用 案例 55 关注数学应用 倡导学以致用 提高数学的提出 分析和解决问题 包括简单的实际问题 的能力 发展数学应用意识和创新意识 是高中数学学习的宗旨 由于大多数省份都采用概率与统计作为应用题的背景 函数应用题在近几年的高考题中出现得较少 但今年设置的应用问题更加趋于理性 没有那种 穿鞋戴帽 的形式 更加关注数学的本质 关注数学应用的实质 关注考查学生数学建模能力 运用数学模型解决问题的决策能力 3 3 56 2015年高考北京卷 理8 本题在对 燃油效率 新定义的理解的基础上考查函数应用 要求具有识图能力 对图象的理解要求较高 案例 57 创新情境认知 突出自主学习 创新情境试题主要是在试题中给出了中学教学内容中没有遇到过的新知识 如新概念 新定义 新定理或新规则等 要求考生读懂 理解 然后利用这个新知识并结合已有的知识作进一步的推理或演算 主要考查学生的阅读理解并获取有用信息的能力 加工信息的能力或探究能力等 这是创新意识与实际能力考查的重要尝试与方法 3 4 58 2015年高考湖北卷 文7 试题以定义的符号函数作为创新情境 要求考生读懂 理解 然后利用这个新知识并结合已有的知识作进一步的推理或演算 案例 59 小结 3 关注差异 文理要求不同各展所长强调交汇 突出四基四能与三有利关注数学应用 倡导学以致用创新情境认知 突出自主学习 60 四 专题复习之教学启示 61 分段函数的引入导致问题复杂化 分段函数也是函数的一种表示法 只是对应法则以分段形式表示 但由于复习过程中较少涉及这类函数 导致问题因陌生而复杂 解决分段函数有关的问题 最重要的就是逻辑划分思想 即将问题分段解决 还要熟练地掌握研究分段函数性质 奇偶性 单调性和周期性 的一般方法 4 1 62 2015年高考湖南卷 理15 案例 63 复合函数 隐函数的导数求法 复合函数 隐函数因求导运算错误而影响函数性质的研究 是高考常见的令人痛心的错误 避免的方法就是正视这类函数的求导 从导数的概念到运算法则 真正落实 4 2 64 2015年高考课标 卷 文12 案例 65 含有量词的代数问题的求解方法 近年在函数与导数的考查中 出现了一类具有形如 任意 存在 使得 恒成立 能成立 固定结构形式的代数证明题 因为问题的表述结合了全称量词 存在量词等常用逻辑用语 使得本来够难的试题更加抽象 如果不适应这种问法 很难得到满分 4 3 66 2014年高考福建卷 理21 案例 67 2014年高考福建卷 理21 案例 68 69 2015年高考四川卷 理15 本题以函数图象上两点连线的斜率作为研究对象 结合全称量词 存在量词提供了全新的背景 考查函数的图象与性质 案例 70 应熟悉三次函数的图象与性质 引入导数工具 在函数性质研究上 最典型的扩充就是可以全面研究三次函数的图象与性质 三次函数具有丰富的性质 利用导数研究这些性质 其研究的过程和方法具有普适性 一般性和有效性 可以迁移到其他函数的研究中 4 4 71 应熟悉三次函数的图象与性质 复习中应以三次函数的图象的形状特征为主线 探索三次函数的单调性 极值 零点个数等问题 并在此过程中 体会数形结合 分类与整合 化归与转化等思想方法 4 4 72 2015年高考江苏卷 19 案例 73 74 注意二阶导数的拓展应用 虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用 但将函数的导数表示为新的函数 并继续研究函数的性质的试题比比皆是 尤其是课标卷 因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用 留意函数凸性的等价性 但要注意需要的过程性的学习 而不是定理的记忆 4 5 75 定义与定理 76 定义与定理 77 定义与定理 78 2015年课标 卷 理