高三圆锥曲线经典总结

课 题 高考数学复习专题 圆锥曲线 教学目标 1 掌握三种圆锥曲线的定义 图像和简单几何性质 2 准确理解基本概念 如直线的倾斜角 斜率 距离 截距等 3 熟练掌握基本公式 如两点间距离公式 点到直线的距离公式 斜率公式 定比分点的坐标公式 到角公式 夹角公式等 4 熟练掌握求直线方程的方法 如根据条件灵活选用各种形式 讨论斜率存 在和不存在的各种情况 截距是否为 0 等等 5 在解决直线与圆的位置关系问题中 要善于运用圆的几何性质以减少运算 6 了解线性规划的意义及简单应用 7 熟悉圆锥曲线中基本量的计算 8 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法 如 定义法 直接法 相关 点法 参数法 交轨法 几何法 待定系数法等 9 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法 能应用直线与圆锥曲线 的位置关系解决一些常见问题 重点难点 1 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法 2 掌握圆锥曲线中基本量的计算和直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方 法 圆锥曲线概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结圆锥曲线概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 1 1 圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义 1 第一定义第一定义中要重视重视 括号括号 内的限制条件内的限制条件 椭圆中椭圆中 与两个定点 F F 的 12 距离的和等于常数 且此常数常数一定要大于一定要大于 当常数等于时 轨迹是线2a2a 21F F 21F F 段 F F 当常数小于时 无轨迹 双曲线中双曲线中 与两定点 F F 的距离的差的绝 1221F F 12 对值等于常数 且此常数一定要小于 F F 定义中的 绝对值绝对值 与与 F F F F2a2a 12 2a 1 不可忽视不可忽视 若 F F 则轨迹是以 F F 为端点的两条射线 若 2 2a 1212 F F 则轨迹不存在 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 2a 12 如 如 1 1 已知定点 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆 0 3 0 3 21 FF 的是 A B C D 4 21 PFPF6 21 PFPF10 21 PFPF 12 2 2 2 1 PFPF 2 第二定义第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线注意定点和定直线是相应的焦点和准线 且 点点距为分子 点点距为分子 点线距为分母点线距为分母 其商即是离心率 圆锥曲线的第二定义 给出了圆锥曲线上的点到e 焦点距离与此点到相应准线距离间的关系 要善于运用第二定义对它们进行相互转化运用第二定义对它们进行相互转化 如如已知点及抛物线上一动点 P x y 则 y PQ 的最小值是 0 22 Q 4 2 x y 2 2 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点 在原点 坐标轴为对称轴时 的标准位置的方程 2 1 椭圆椭圆 焦点在轴上时 参数方程 x1 2 2 2 2 b y a x 0ab cos sin xa yb 其中为参数 焦点在轴上时 1 方程表示椭 y 2 2 2 2 b x a y 0ab 22 AxByC 圆的充要条件是什么 ABC 0 且 A B C 同号 A B 如 如 1 1 已知方程表示椭圆 则的取值范围为 1 23 22 k y k x k 2 2 若 且 则的最大值是 的最小值是 Ryx 623 22 yxyx 22 yx 2 双曲线双曲线 焦点在轴上 1 焦点在轴上 1 x 2 2 2 2 b y a x y 2 2 2 2 b x a y 方程表示双曲线的充要条件是什么 ABC 0 且 A B 异0 0ab 22 AxByC 号 如 如 1 1 双曲线的离心率等于 且与椭圆有公共焦点 则该双曲线的方程 2 5 1 49 22 yx 2 2 设中心在坐标原点 焦点 在坐标轴上 离心率的双曲线 C 过点O 1 F 2 F2 e 则 C 的方程为 10 4 P 3 抛物线抛物线 开口向右时 开口向左时 开口向 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 上时 开口向下时 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 3 3 圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然后再判断 1 椭圆椭圆 由 分母的大小决定 焦点在分母大的坐标轴上 x 2 y 2 如如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是 1 21 22 m y m x 2 双曲线双曲线 由 项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上 x 2 y 2 3 抛物线抛物线 焦点在一次项的坐标轴上 一次项的符号决定开口方向 特别提醒特别提醒 1 1 在求解椭圆 双曲线问题时 首先要判断焦点位置 焦点 F F 1 的位置 是椭圆 双曲线的定位条件 它决定椭圆 双曲线标准方程的类型 而方程 2 中的两个参数 确定椭圆 双曲线的形状和大小 是椭圆 双曲线的定形条件 在 a b 求解抛物线问题时 首先要判断开口方向 2 在椭圆中 最大 在a 222 abc 双曲线中 最大 c 222 cab 4 4 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 1 椭圆椭圆 以 为例 范围 1 2 2 2 2 b y a x 0ab 焦点 两个焦点 对称性 两条对称轴 axabyb 0 c 0 0 xy 一个对称中心 0 0 四个顶点 其中长轴长为 2 短轴长为 2 0 0 ab ab 准线 两条准线 离心率 椭圆 越小 椭圆越圆 2 a x c c e a 01e e 越大 椭圆越扁 e 如 如 1 1 若椭圆的离心率 则的值是 1 5 22 m yx 5 10 em 2 2 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时 则椭圆长轴的 3 最小值为 2 双曲线双曲线 以 为例 范围 或 22 22 1 xy ab 0 0ab xa xa yR 焦点 两个焦点 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 0 c 0 0 xy 两个顶点 其中实轴长为 2 虚轴长为 2 特别地 当实轴和虚轴的长相等 0 a ab 时 称为等轴双曲线 其方程可设为 准线 两条准线 22 0 xyk k 2 a x c 离心率 双曲线 等轴双曲线 越小 开口越小 越 c e a 1e 2e ee 大 开口越大 两条渐近线 b yx a 如 如 1 1 双曲线的渐近线方程是 则该双曲线的离心率等于 023 yx 2 2 双曲线的离心率为 则 22 1axby 5 a b 3 3 设双曲线 a 0 b 0 中 离心率 e 2 则两条渐近线夹角 1 2 2 2 2 b y a x 2 的取值范围是 3 抛物线抛物线 以为例 范围 焦点 一个焦 2 2 0 ypx p 0 xyR 点 其中的几何意义是 焦点到准线的距离 对称性 一条对称轴 0 2 p p0y 没有对称中心 只有一个顶点 0 0 准线 一条准线 离心率 2 p x 抛物线 c e a 1e 如如设 则抛物线的焦点坐标为 Raa 0 2 4axy 5 5 点 点和椭圆和椭圆 的关系 的关系 1 点在椭圆外 00 P xy1 2 2 2 2 b y a x 0ab 00 P xy 2 点在椭圆上 1 3 点在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 00 P xy 2 2 0 2 2 0 b y a x 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 6 6 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 直线与椭圆相交 直线与双曲线相交 但直线与双0 0 曲线相交不一定有 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有0 一个交点 故是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 直线0 0 与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有 当直线与抛物线的对称轴平行时 0 直线与抛物线相交且只有一个交点 故也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但0 不是必要条件 如 如 1 1 若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支有两个不同的交点 则 k 的取值范围是 答 2 2 直线 y kx 1 0 与椭圆恒有公共点 则 m 的取值范围 22 1 5 xy m 是 4 3 3 过双曲线的右焦点直线交双曲线于 A B 两点 若 AB 4 则这样1 21 22 yx 的直线有 条 2 相切 直线与椭圆相切 直线与双曲线相切 直0 0 0 线与抛物线相切 3 相离 直线与椭圆相离 直线与双曲线相离 直0 0 0 线与抛物线相离 特别提醒特别提醒 1 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线与抛物线的轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交点 2 2 过双曲线 1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 P 点在两 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 条渐近线之间且不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线 两支相切的两条切线 共四条 P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有 两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 P 在两条渐近 线上但非原点 只有两条 一条是与另一渐近线平行的直线 一条是切线 P 为原点 时不存在这样的直线 3 3 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共 点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 如 如 1 1 过点作直线与抛物线只有一个公共点 这样的直线有 4 2 xy8 2 2 2 过点 0 2 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为1 169 22 yx 3 3 过双曲线的右焦点作直线 交双曲线于 A B 两点 若4 则满足1 2 2 2 y xl AB 条件的直线 有 条l 4 4 对于抛物线 C 我们称满足的点在抛物线的内部 若xy4 2 0 2 0 4xy 00 yxM 点在抛物线的内部 则直线 与抛物线 C 的位置关系是 00 yxMl 2 00 xxyy 5 5 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF 与 FQ 的长xy4 2 F 分别是 则 pq qp 11 6 6 设双曲线的右焦点为 右准线为 设某直线交其左支 右支和1 916 22 yx Flm 右准线分别于 则和的大小关系为 填大于 小于或RQP PFR QFR 等于 7 7 求椭圆上的点到直线的最短距离2847 22 yx01623 yx 8 8 直线与双曲线交于 两点 当为何值时 分1 axy13 22 yxABaAB 别在双曲线的两支上 当为何值时 以 AB 为直径的圆过坐标原点 a 7 7 焦半径 焦半径 圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离 的计算方法的计算方法 利用圆锥曲线的第 二定义 转化到相应准线的距离 即焦半径 其中表示 P 到与 F 所对应的准线red d 的距离 5 如 如 1 1 已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3 则点 P 到右准线的距离1 1625 22 yx 为 2 2 已知抛物线方程为 若抛物线上一点到轴的距离等于 5 则它到抛物线xy8 2 y 的焦点的距离等于 3 3 若该抛物线上的点到焦点的距离是 4 则点的坐标为 MM 4 4 点 P 在椭圆上 它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍 则点 P1 925 22 yx 的横坐标为 5 5 抛物线上的两点 A B 到焦点的距离和是 5 则线段 AB 的中点到轴的距xy2 2 y 离为 6 6 椭圆内有一点 F 为右焦点 在椭圆上有一点 M 1 34 22 yx 1 1 P 使 之值最小 则点 M 的坐标为 MFMP2 8 8 焦点三角形 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 问题问题 常利用 第一定义和正弦 余弦定理求解 设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的 00 P xy 12 F F 距离分别为 焦点的面积为 则在椭圆中 12 r r 12 FPF S1 2 2 2 2 b y a x 且当即为短轴端点时 最大为 1 2 arccos 21 2 rr b 12 rr P max 2 22 arccos a cb 当即为短轴端点时 的最大值为 bc 对于双曲线 2 0 tan 2 Sbc y 0 yb P max S 的焦点三角形有 22 22 1 xy ab 21 2 2 1arccos rr b 2 cotsin 2 1 2 21 brrS 如 如 1 1 短轴长为 离心率的椭圆的两焦点为 过作直线交椭圆于5 3 2 e 1 F 2 F 1 F A B 两点 则的周长为 2 ABF 2 2 设 P 是等轴双曲线右支上一点 F1 F2是左右焦点 若 0 222 aayx PF1 6 则该双曲线的方程为 0 212 FFPF 3 3 椭圆的焦点为 F1 F2 点 P 为椭圆上的动点 当 0 时 点 P 22 1 94 xy PF2 PF1 的横坐标的取值范围是 4 4 双曲线的虚轴长为 4 离心率 e F1 F2是它的左右焦点 若过 F1的直线 2 6 与双曲线的左支交于 A B 两点 且是与等差中项 则AB 2 AF 2 BF AB 5 5 已知双曲线的离心率为 2 F1 F2是左右焦点 P 为双曲线上一点 且 求该双曲线的标准方程 60 21 PFF312 21 FPF S 9 9 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1 以过焦点的弦为直径的 圆和准线相切 2 设 AB 为焦点弦 M 为准线与 x 轴的交点 则 AMF BMF 3 设 AB 为焦点弦 A B 在准线上的射影分别为 A B 若 P 为 11 6 A B 的中点 则 PA PB 4 若 AO 的延长线交准线于 C 则 BC 平行于 x 轴 反之 11 若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点 则 A O C 三点共线 1010 弦长公式 弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点 A B 且分别为ykxb 12 x x A B 的横坐标 则 若分别为 A B 的纵坐标 则 AB 2 12 1kxx 12 y yAB 若弦 AB 所在直线方程设为 则 特别 21 2 1 1yy k xkyb AB 2 12 1kyy 地 焦点弦 过焦点的弦 焦点弦的弦长的计算 一般不用弦长公式计算 而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后 利用第二定义求解 如 如 1 1 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 若 x1 x2 6 那么 AB 等于 2 2 过抛物线焦点的直线交抛物线于 A B 两点 已知 AB 10 O 为坐标原点 xy2 2 则 ABC 重心的横坐标为 1111 圆锥曲线的中点弦问题 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求 解 在椭圆中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在双曲1 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 线中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在抛物线 22 22 1 xy ab 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 2 2 0 ypx p 00 P xy 0 p y 如 如 1 1 如果椭圆弦被点 A 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程是 22 1 369 xy 2 2 已知直线 y x 1 与椭圆相交于 A B 两点 且线段 AB 的中 22 22 1 0 xy ab ab 点在直线 L x 2y 0 上 则此椭圆的离心率为 3 3 试确定 m 的取值范围 使得椭圆上有不同的两点关于直线对1 34 22 yx mxy 4 称 特别提醒特别提醒 因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦0 长 对称问题时 务必别忘了检验 0 1212 你了解下列结论吗 你了解下列结论吗 1 双曲线的渐近线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 2 以为渐近线 即与双曲线共渐近线 的双曲线方程为x a b y 1 2 2 2 2 b y a x 为参数 0 2 2 2 2 b y a x 如如与双曲线有共同的渐近线 且过点的双曲线方程为 1 169 22 yx 32 3 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1mxny 7 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 为 焦准距 焦点 2 2b a 到相应准线的距离 为 抛物线的通径为 焦准距为 2 b c 2pp 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 6 若抛物线的焦点弦为 AB 则 2 2 0 ypx p 1122 A x yB xy 12 ABxxp 2 2 1212 4 p x xy yp 7 若 OA OB 是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦 则直线 2 2 0 ypx p AB 恒经过定点 2 0 p 1313 动点轨迹方程 动点轨迹方程 1 求轨迹方程的步骤 建系 设点 列式 化简 确定点的范围 2 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接利用条件建立之间的关系 x y 0F x y 如如已知动点 P 到定点 F 1 0 和直线的距离之和等于 4 求 P 的轨迹方程 3 x 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线 的方程 再由条件确定其待定系数 如如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M m 0 端点 A B 到 x 轴距离之积为 0 m 2m 以 x 轴为对称轴 过 A O B 三点作抛物线 则此抛物线方程为 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程 如如 1 1 由动点 P 向圆作两条切线 PA PB 切点分别为 A B APB 600 则动 22 1xy 点 P 的轨迹方程为 2 2 点 M 与点 F 4 0 的距离比它到直线的距离小于 1 则点 M 的轨迹方程是05 xl且 3 3 一动圆与两圆 M 和 N 都外切 则动圆圆心的1 22 yx0128 22 xyx 轨迹为 代入转移法 动点依赖于另一动点的变化而变化 并且 P x y 00 Q xy 又在某已知曲线上 则可先用的代数式表示 再将代入已知曲 00 Q xy x y 00 xy 00 xy 线得要求的轨迹方程 如如动点 P 是抛物线上任一点 定点为 点 M 分所成的比为 2 则 M12 2 xy 1 0 A PA 的轨迹方程为 参数法 当动点坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 P x y 可考虑将均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 x y 如 如 1 1 AB 是圆 O 的直径 且 AB 2a M 为圆上一动点 作 MN AB 垂足为 N 在 OM 上取点 使 求点的轨迹 P OPMN P 2 2 若点在圆上运动 则点的轨迹方程是 11 yxP1 22 yx 1111 yxyxQ 3 3 过抛物线的焦点 F 作直线 交抛物线于 A B 两点 则弦 AB 的中点 M 的轨yx4 2 l 迹方程是 注意注意 如果问题中涉及到平面向量知识 那么应从已知向量的特点出发 考虑 8 选择向量的几何形式进行 摘帽子或脱靴子 转化 还是选择向量的代数形式进行 摘帽子或脱靴子 转化 如如已知椭圆的左 右焦点分别是 F1 c 0 F2 c 0 Q 是 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 椭圆外的动点 满足点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 点 T 在线段 F2Q 上 2 1 aQF 并且满足 0 0 22 TFTFPT 1 设为点 P 的横坐标 证明 xx a c aPF 1 2 求点 T 的轨迹 C 的方程 3 试问 在点 T 的轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2 的面积 S 若存在 求 F1MF2的正切值 若不存在 请说 2 b 明理由 曲线与曲线方程 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 寻求轨迹或轨迹方程时 应注意轨迹上特殊点特殊点对轨迹的 完备性与纯粹性 的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中 常借助于常借助于 平面几何性质 数形结合 如角平分 线的双重身份 对称性 利用到角公式 方程与函数性质 化解析几何问题为代 数问题 分类讨论思想 化整为零分化处理 求值构造等式 求变量范围构造不等 关系 等等 如果在一条直线上出现出现 三个或三个以上的点三个或三个以上的点 那么可选择应用可选择应用 斜率或向量斜率或向量 为桥梁为桥梁转化 1414 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 1 1 给出直线的方向向量或 ku 1 nmu 2 2 给出与相交 等于已知过的中点 OBOA ABOBOA AB 3 3 给出 等于已知是的中点 0 PNPMPMN 4 4 给出 等于已知与的中点三点共线 BQBPAQAP QP AB 5 5 给出以下情形之一 存在实数 若存在实ACAB ABAC 且 数 等于已知三点共线 1 OCOAOB 且且CBA 6 6 给出 等于已知是的定比分点 为定比 即 1 OBOA OPPAB PBAP 7 7 给出 等于已知 即是直角 给出0 MBMAMBMA AMB 等于已知是钝角 给出 等于已知是锐0 mMBMAAMB 0 mMBMAAMB 角 9 8 8 给出 等于已知是的平分线 MP MB MB MA MA MPAMB 9 9 在平行四边形中 给出 等于已知是ABCD0 ADABADABABCD 菱形 1010 在平行四边形中 给出 等于已知是ABCD ABADABAD ABCD 矩形 1111 在中 给出 等于已知是的外心 三角形ABC 222 OCOBOA OABC 外接圆的圆心 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 1212 在中 给出 等于已知是的重心 三角ABC 0 OCOBOAOABC 形的重心是三角形三条中线的交点 1313 在中 给出 等于已知是的垂ABC OAOCOCOBOBOA OABC 心 三角形的垂心是三角形三条高的交点 1414 在中 给出等于已知通过ABC OAOP ABAC ABAC R AP 的内心 ABC 1515 在中 给出等于已知是的内心ABC 0 OCcOBbOAaOABC 三角形内切圆的圆心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 1616 在中 给出 等于已知是中边的中ABC 1 2 ADABAC ADABC BC 线 圆锥曲线的解题技巧 一 高考考点 1 准确理解基本概念 如直线的倾斜角 斜率 距离 截距等 2 熟练掌握基本公式 如两点间距离公式 点到直线的距离公式 斜率公式 定 比分点的坐标公式 到角公式 夹角公式等 3 熟练掌握求直线方程的方法 如根据条件灵活选用各种形式 讨论斜率存在和 不存在的各种情况 截距是否为 0 等等 4 在解决直线与圆的位置关系问题中 要善于运用圆的几何性质以减少运算 5 了解线性规划的意义及简单应用 6 熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法 如 定义法 直接法 相关点法 参数法 交轨法 几何法 待定系数法等 8 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法 能应用直线与圆锥曲线的位 置关系解决一些常见问题 A A 常规题型方面常规题型方面 1 1 中点弦问题 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题 常用设而不求法 点差法 设曲线上两点为 代入方程 然后两方程相减 再应用中点关系及斜率公式 消去四 xy 11 xy 22 个参数 10 典型例题典型例题 给定双曲线 过 A 2 1 的直线与双曲线交于两点 x y 2 2 2 1 P1 及 求线段的中点 P 的轨迹方程 P2P1P2 2 2 焦点三角形问题 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P 与两个焦点 构成的三角形问题 常用正 余弦定F1F2 理搭桥 典型例题典型例题 设 P x y 为椭圆上任一点 为焦点 x a y b 2 2 2 2 1 Fc 1 0 F c 2 0 PF F 12 PF F 21 1 求证离心率 sinsin sin e 2 求的最值 PFPF 1 3 2 3 3 3 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组 进而转化为一元二次方程后利 用判别式 应特别注意数形结合的办法 典型例题典型例题 抛物线方程 直线与 轴的交点在抛物线准线的右边 yp xpxytx 2 10 1 求证 直线与抛物线总有两个不同交点 2 设直线与抛物线的交点为 A B 且 OA OB 求 p 关于 t 的函数 f t 的表达 式 4 4 圆锥曲线的有关最值 范围 问题圆锥曲线的有关最值 范围 问题 圆锥曲线中的有关最值 范围 问题 常用代数法和几何法解决 若命题的条件和结论具有明显的几何意义 一般可用图形性质来解决 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式 则可建立目标函数 通常利用二 次函数 三角函数 均值不等式 求最值 1 可以设法得到关于 a 的不等式 通过解不等式求出 a 的范围 即 求范围 求范围 找不等式找不等式 或者将 a 表示为另一个变量的函数 利用求函数的值域求出 a 的范围 对 于 2 首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数 然后再求它的最大值 即 最最 11 值问题 函数思想值问题 函数思想 典型例题典型例题 已知抛物线 y2 2px p 0 过 M a 0 且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两 点 A B AB 2p 1 求 a 的取值范围 2 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N 求 NAB 面积的 最大值 5 5 求曲线的方程问题 求曲线的方程问题 1 曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决 典型例题典型例题 已知直线 L 过原点 抛物线 C 的顶点在原点 焦点在 x 轴正半轴上 若点 A 1 0 和点 B 0 8 关于 L 的对称点都在 C 上 求直线 L 和抛物线 C 的方程 2 曲线的形状未知 求轨迹方程 典型例题典型例题 已知直角坐标平面上点 Q 2 0 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数 0 求 动点 M 的轨迹方程 并说明它是什么曲线 6 6 存在两点关于直线对称问题存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题 可以按如下方 式分三步解决 求两点所在的直线 求这两直线的交点 使这交点在圆锥曲线形内 当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决 典型例题典型例题 已知椭圆 C 的方程 试确定 m 的取值范围 使得对于直线 xy 22 43 1 椭圆 C 上有不同两点关于直线对称yxm 4 M N QO 12 7 7 两线段垂直问题 两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题 常用来处理或用向量的坐kk yy xx 12 12 12 1 标运算来处理 典型例题典型例题 已知直线 的斜率为 且过点