相似三角形辅助线

相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时 所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形 或得到成比 例的线段或出等角 等边 从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系 主 要的辅助线有以下几种 作平行线 1 例题 如图 D 是 ABC 的 BC 边上的点 BD DC 2 1 E 是 AD 的 中点 求 BE EF 的值 解法一 过点 D 作 CA 的平行线交 BF 于点 P 则 PE EF BP 2PF 4EF 所以 BE 5EF BE EF 5 1 解法二 过点 D 作 BF 的平行线交 AC 于点 Q BE EF 5 1 解法三 过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S 解法四 过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 T BD 2DC BE EF 5 1 练习 如图 D 是 ABC 的 BC 边上的点 BD DC 2 1 E 是 AD 的中点 连结 BE 并 延长交 AC 于 F 求 AF CF 的值 答案 2 3 解法一 过点 D 作 CA 的平行线交 BF 于点 P 解法二 过点 D 作 BF 的平行线交 AC 于点 Q 解法三 过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S 解法四 过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 T 1 AE DE FE PE 2 DC BD PF BP 则2 EA DA EF DQ 3 DC BC DQ BF EFEFEFEFDQ EFBFBE 563 则DCCTDT 2 1 TC BT EF BE DCBT 2 5 例题 1 如图 在 ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E 且使 AD AE DE 延长线与 BC 延长线相交于 F 求证 证明 过点 C 作 CG FD 交 AB 于 G 该题关键在于 AD AE 这个条件怎样使用 由这道题还可以增加一种证 明线段相等的方法 相似 成比例 例题 2 如图 ABC 中 AB AC 在 AB AC 上分别截取 BD CE DE BC 的延长线相交 于点 F 证明 AB DF AC EF 分析 分析 证明等积式问题常常化为比例式 再通过相似三角形对应边成比例来证明 不相 似 因而要通过两组三角形相似 运用中间比代换得到 为构造相似三角形 需添加平 行线 方法一 过 E 作 EM AB 交 BC 于点 M 则 EMC ABC 两角对应相等 两三角形相 似 方法二 过 D 作 DN EC 交 BC 于 N 例题 3 在 ABC 中 D 为 AC 上的一点 E 为 CB 延长线上的一 点 BE AD DE 交 AB 于 F 求证 EF BC AC DF 证明 过 D 作 DG BC 交 AB 于 G 则 DFG 和 EFB 相似 BE AD 由 DG BC 可得 ADG 和 ACB 相似 即 EF BC AC DF 例题 4 已知点 D 是 BC 的中点 过 D 点的直线交 AC 于 E 交 BA 的延 长线于 F 求证 分析 分析 利用比例式够造平行线 通过中间比得结论 或利用中点 倍长中线 的思想平移线段 EC 使得所得四条线段分 别构成两个三角形 例题 5 已知 在等腰三角形 ABC 中 AB AC BD 是高 求证 BC2 2AC CD 分析 分析 本题的 重点在于如何解决 2 倍的 问题 让它归属一条线段 找到这一线段 2 倍是哪一线段 CE BD CF BF DGDF BEEF DGDF ADEF DGAD BCAC DGBC ADAC EC AE BF AF 例题 6 已知 从直角三角形 ABC 的 直角顶点 A 向斜边 BC 引垂线 垂足为 D 边 AC 的中点为 E 直线 ED 与边 AB 的延长线交于 F 求 证 AB AC DF AF 分析 分析 利用前两题的 思想方法 借助中点构造中位线 利用平行 与 2 倍关系的 结论 证明所得结论 找到后以比例式所在三角 形与哪个三角形相似 例题 7 如图 ABC 中 AD 是 BC 边上中线 E 是 AC 上一点 连接 ED 且交 AB 的延长线于 F 点 求证 AE EC AF BF 分析 分析 注意观察图形的 特殊性 有些像全等中 旋转的基本图形 因 此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段 通过全等找相等的线段 关键是要把成比例线段放在两个三角形中 例题 8 如图 平行四边形 ABCD 中 E 为 AB 边中点 点 F 在 AD 边上 且 AF FD 1 2 EF 交 AC 于 G 求 AG GC 的值 构造线段相等转化比例式构造线段相等转化比例式 例题 9 在 ABC 中 AB AC AD 是中线 P 是 AD 上一点 过 C 作 CF AB 延长 BP 交 AC 于 E 交 CF 于 F 求证 BP PE PF 分析 分析 在同一直线上的三条线段成比例 可以通过中间比转化 也可 以通过线段相等 把共线的线段转化为两个三角形中的线段 通过相 似证明 另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系 有利于 证明 例题 10 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AC BD 交于 O 点 BA CD 的 延长线交于 E 点 连结 EO 并延长分别交 AD BC 于 N M 求证 BM CM 证明线段相等的又一方法 作垂线 2 例题 1 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF 垂足分别为 E F 求证 证明 过 B 作 BM AC 于 M 过 D 作 DN AC 于 N BM AN EB EA BC AD OC AO MC AN 2 ACAFADAEAB AMACAEAB AM AE AB AC 1 1 2 得 例题 2 ABC 中 AC BC P 是 AB 上一点 Q 是 PC 上一点 不是中点 MN 过 Q 且 MN CP 交 AC BC 于 M N 求证 证明 过 P 作 PE AC 于 E PF CB 于 F 则 CEPF 为矩形 PF EC A B 45 Rt AEP Rt PFB EC PF 1 在 ECP 和 CNM 中 CP MN 于 Q QCN QNC 90 又 QCN QCM 90 MCQ CNQ Rt PEC Rt MCN 即 2 由 1 2 得 作延长线 3 例 1 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 若 BCD 的平分线 CH AB 于点 H BH 3AH 且四边形 AHCD 的面积为 21 求 HBC 的面积 分析 分析 因为问题涉及四边形 AHCD 所以可构造相似三角形 把问题转化 为相似三角形的面积比而加以解决 解 解 延长 BA CD 交于点 P CH AB CD 平分 BCD CB CP 且 BH PH BH 3AH PA AB 1 2 PA PB 1 3 AD BC PAD PBC 例 2 如图 RtABC 中 CD 为斜边 AB 上的高 E 为 CD 的中点 AE 的 延长线交 BC 于 F FGAB 于 G 求证 FG CF BF 分析 分析 欲证式即 由 三点定形 BFG 与 CFG 会相似 吗 显然不可能 因为 BFG 为 Rt 但由 E 为 CD 的中点 可设法 构造一个与 BFG 相似的三角形来求解 不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H 则 又 ED EC FG FH 又易证 Rt CFH Rt GFB FG FH CF BF FG FH FG2 CF BF ANAMACANACAMACAFADAEAB BCMADN CNCMPBPA PFPEPBAP EC PE PF PE PB PA CN EC CM EP CN CM EC EP CN CM PB PA 91 PBCPAD SS PBCPCH SS 2 1 72 四边形 AHCDPAD SS21 AHCD S四边形 6 PAD S 54 PBC S 27 2 1 PBCHBC SS FG CF BF FG EC FH ED FG AE AF EC FH ED FG BF FH FG CF 作中线 4 例题 1 如图 中 AB AC AE BC 于 E D 在 AC 边上 若 BD DC EC 1 求 AC 解 解 取 BC 的中点 M 连 AM AB AC AM CM 1 C 又 BD DC DBC DCB CAM C