2012届高考数学考前回归基础训练题——圆锥曲线

您身边的志愿填报指导专家 第 1 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 1 1 F Q R P x y o 2012 届高考数学考前回归基础训练题届高考数学考前回归基础训练题 圆锥曲线圆锥曲线 1 平面直角坐标系xoy中 设点F 1 0 直线l 1x 点P在直线l上移动 R是线 段PF与y轴的交点 RQFP PQl 求动点Q的轨迹的方程 记Q的轨迹的方程为E 过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB CD 设AB CD 的中点分别为NM 求证 直线MN必过定点 0 3 R 2 过点 0 aA作直线交圆 M 1 2 22 yx于点 B C 在 BC 上取一点 P 使 P 点满 足 ACAB RPCBP 1 求点 P 的轨迹方程 2 若 1 的轨迹交圆 M 于点 R S 求MRS 面积的最大值 3 抛物线 2 2ypx 的准线的方程为2 x 该抛物线上的每个点到准线2 x的距离都 与到定点 N 的距离相等 圆 N 是以 N 为圆心 同时与直线xylxyl 21 和 相切的圆 求定点 N 的坐标 是否存在一条直线l同时满足下列条件 l分别与直线 21 ll和交于 A B 两点 且 AB 中点为 1 4 E 您身边的志愿填报指导专家 第 2 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 l被圆 N 截得的弦长为2 4 如图椭圆 C 的方程为 22 22 1 0 yx ab ab A 是椭圆 C 的短轴左顶点 过 A 点作斜 率为 1 的直线交椭圆于 B 点 点 P 1 0 且 BP y 轴 APB 的面积为 9 2 1 求椭圆 C 的方程 2 在直线 AB 上求一点 M 使得以椭圆 C 的焦点为焦点 且过 M 的双曲线 E 的 实轴最长 并求此双曲线 E 的方程 5 已知中心在原点 其中一个焦点为 F 1 0 的椭圆 经过点 2 6 2 P 椭圆的 右顶点为 A 经过点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 B C 求椭圆的方程 若 ABC 的面积为2 7 18 求直线 l 的方程 A B P x y O 您身边的志愿填报指导专家 第 3 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 6 在平面直角坐标系中 已知点 A 1 0 向量 e 0 1 点 B 为直线1 x 上的动点 点 C 满足OBOAOC 2 点 M 满足0 eBM 0 ABCM 1 试求动点 M 的轨迹 E 的方程 2 试证直线 CM 为轨迹 E 的切线 7 无论 m 为任何实数 直线mxyl 与双曲线 0 1 2 2 22 b b yx C恒有公共点 1 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 2 若直线 l 过双曲线 C 的右焦点 F 与双曲线交于 P Q 两点 并且满足 1 5 FPFQ 求双曲线 C 的方程 8 在直角坐标系中 O 为坐标原点 设直线l经过点 2 3 P 且与x轴交于点 0 2 F I 求直线l的方程 II 如果一个椭圆经过点P 且以点F为它的一个焦点 求椭圆的标准方程 III 若在 I II 情形下 设直线l与椭圆的另一个交点为Q 且 PMPQ 当 OM 最小时 求 对应的值 您身边的志愿填报指导专家 第 4 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 9 已知双曲线1 98 22 yx 求以双曲线的顶点为焦点的抛物线的标准方程 10 如图 点 A 是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 短轴的下端 点 过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 P 点 B 在 y 轴上 且 BP x轴 9AB AP 1 若 B 点坐标为 0 1 求椭圆方程 2 若 B 点坐标为 0 t 求 t 的取范围 11 已知圆C 22 4xy 1 直线l过点 1 2P 且与圆C交于A B两点 若 2 3AB 求直线l的方程 2 过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m 设m与y轴的交点为N 若向量 OQOMON 求动点Q的轨迹方程 并说明此轨迹是什么曲线 您身边的志愿填报指导专家 第 5 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 12 已知圆 C 22 1 y2 2x 2 1 PPC 点坐标为 过点做圆的切线 切点为 A B 1 求直线 PA PB 的方程 2 求过 P 点的圆的切线长 13 已知ABC 在第一象限 1 1 5 1 34 ABAB 求 1 AC 和 BC 所在直线方程 2 AC BC 分别与 y 轴交点之间的距离 14 已知椭圆 22 1 32 xy 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 过 1 F的直线交椭圆于 B D 两点 过 2 F的直线交椭圆于 A C 两点 且ACBD 垂足为 P 设 P 点的坐标为 00 xy 证明 22 00 1 32 xy 求四边形 ABCD 的面积的最小值 您身边的志愿填报指导专家 第 6 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 15 过点 0 aA作直线交圆 M 1 2 22 yx于点 B C 在 BC 上取一点 P 使 P 点满足 ACAB RPCBP 1 求点 P 的轨迹方程 2 若 1 的轨迹交圆 M 于点 R S 求MRS 面积 的最大值 16 设动点 0 P x yy 到定点F 0 1 的距离比它到x轴的距离大 1 记点P的轨迹 为曲线C 1 求点P的轨迹方程 2 设圆M过A 0 2 且圆心M在曲线C上 EG是圆M在x轴上截得的弦 试 探究当M运动时 弦长EG是否为定值 为什么 17 已知 M 4 0 N 1 0 若动点 P 满足 6 PNMPMN 1 求动点 P 的轨迹 C 的方程 2 设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A B 两点 若 5 12 7 18 NBNA 求直线 l X Y B M O A C P 您身边的志愿填报指导专家 第 7 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 的斜率的取值范围 18 椭圆 G 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 F1 F2 短轴两端点 B1 B2 已知 F1 F2 B1 B2四点共圆 且点 N 0 3 到椭圆上的点的最远距离为 25 1 求此时椭圆 G 的方程 2 设斜率为 k k 0 的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E F Q 为 EF 的中点 问 E F 两点能否关于过点QP 3 3 0 的直线对称 若能 求出 k 的取值范围 若不能 请说明理由 19 已知点 A B的坐标分别是 0 1 0 1 直线 AM BM相交于点 M 且它们的斜率 之积为 1 2 1 求点 M 轨迹C的方程 2 若过点 2 0D的直线l与 1 中的轨迹C交于不同的两点E F E在D F之间 试求ODE 与ODF 面积之比的取值范围 O为坐标原点 20 已知曲线 上任意一点P到两个定点 1 3 0F 和 2 3 0F的距离之和为 4 1 求曲线 的方程 您身边的志愿填报指导专家 第 8 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 1 1 F Q R P x y o 2 设过 0 2 的直线l与曲线 交于C D两点 且0OC OD O为坐标原 点 求直线l的方程 答案 1 解 解 依题意知 直线l的方程为 1x 点R是线段FP的中点 且 RQ FP RQ是线段FP的垂直平分线 PQ是点Q到直线l的距离 点Q在线段FP的垂直平分线 PQQF 故动点Q的轨迹E是以F为焦点 l为准线的抛物线 其方程为 2 4 0 yx x 设 BBAA yxByxA NNMM yxNyxM 直线 AB 的方程为 1 xky 则 2 4 1 4 2 2 BB AA xy xy 1 2 得 k yy BA 4 即 k yM 2 代入方程 1 xky 解得1 2 2 k xM 所以点 的坐标为 2 22 1 kk 同理可得 N的坐标为 2 21 2 kk 直线MN的斜率为 2 1k k xx yy k NM NM MN 方程为 12 1 2 2 2 kx k k ky 整理得 3 1 2 xkky 显然 不论k为何值 3 0 均满足方程 所以直线MN恒过定点R 3 0 2 解 解 1 由于 QNQPQM 得 10 QNQM 定值 所以得动点 Q 的 轨迹是以 M N 为焦点的椭圆 由 M 3 0 N 3 0 知3 4 5 cba且中心 在原点对称轴为坐标轴 得 Q 点的轨迹方程是 1 1625 22 yx 2 假设存在这样的直线l 当斜率不存在时 A O B 共线 显然不满足条件 从而知直 线l的斜率存在 设为 k 得直线l的方程为 10 kxy即 10 2 kxy与 您身边的志愿填报指导专家 第 9 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 椭圆联立有 2 22 1 1625 10kxy yx 整理得 0 5 2 2 8 3 222 xkkxyy 两边同时除以 2 x 得 0 5 2 2 8 3 22 k x y k x y A 设直线l交曲线 C 的坐标为 A 11 yx B 22 yx由于0 OBOA得 0 2121 yyxx从而有 1 2 2 1 1 x y x y 又因为 1 1 x y 和 2 2 x y 是方程 A 的两个实根 由根与系数的关系得 1 3 8 5 2 2 2 2 1 1 k x y x y 得 40 1 2 k 20 10 40 1 k 故 存在这样的直线l 其方程是 10 20 10 xy 3 解 1 因为抛物线pxy2 2 的准线的方程为2 x 所以4 p 根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点 所以定点 N 的坐标为 0 2 2 假设存在直线l满足两个条件 显然l斜率存在 设l的方程为 4 1 xky 1 k 以 N 为圆心 同时与直线xylxyl 21 和 相切的圆 N 的半径为2 方法 1 因为l被圆 N 截得的弦长为 2 所以圆心到直线的距离等于 1 即1 1 12 2 k k d 解得 3 4 0或 k 当0 k时 显然不合 AB 中点为 1 4 E的条件 矛盾 当 3 4 k时 l的方程为01334 yx 由 xy yx01334 解得点 A 坐标为 13 13 您身边的志愿填报指导专家 第 10 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 由 xy yx01334 解得点 B 坐标为 7 13 7 13 显然 AB 中点不是 1 4 E 矛盾 所以不存在满足条件的直线l 方法 2 由 xy xky 4 1 解得点 A 坐标为 1 14 1 14 k k k k 由 xy xky 4 1 解得点 B 坐标为 k k k k 1 14 1 14 因为 AB 中点为 1 4 E 所以8 1 14 1 14 k k k k 解得4 k 所以l的方程为0154 yx 圆心 N 到直线l的距离 17 177 因为l被圆 N 截得的弦长为 2 所以圆心到直线的距离等于 1 矛盾 所以不存在满足条件的直线l 方法 3 假设 A 点的坐标为 aa 因为 AB 中点为 1 4 E 所以 B 点的坐标为 2 8 aa 又点 B 在直线xy 上 所以5 a 所以 A 点的坐标为 5 5 直线l的斜率为 4 所以l的方程为0154 yx 圆心 N 到直线l的距离 17 177 因为l被圆 N 截得的弦长为 2 所以圆心到直线的距离等于 1 矛盾 所以不存在满足条件的直线l 4 1 2 9 2 1 PBAPS APB 又 PAB 45 AP PB 故 AP BP 3 P 1 0 A 2 0 B 1 3 b 2 将 B 1 3 代入椭圆得 22 2 19 1 b ba 得 2 12a 您身边的志愿填报指导专家 第 11 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 所求椭圆方程为 22 1 124 yx 2 设椭圆 C 的焦点为 F1 F2 则易知 F1 0 2 2 F2 0 2 2 直线AB的方程为 20 xy 因为 M 在双曲线 E 上 要双曲线 E 的实轴最大 只须 MF1 MF2 最大 设 F1 0 2 2 关于直线AB的对称点为 1 F 2 2 2 2 则直线 12F F与直线的交点为所求 M 因为 12F F的方程为 32 2 2 20yx 联立 32 2 2 20 20 yx xy 得 M 1 3 12 分 又 2a MF1 MF2 M 1 F MF2 21 F F 22 2 220 22 2 26 故2 6 max ba 故所求双曲线方程为 22 1 62 yx 5 解 设椭圆的方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由题设知 3 2 1 2 3 2 1 22 22 b a ba ba 解得 因此 椭圆的方程为 1 34 22 yx 若直线xl 轴 则 l 的方程为 x 1 此时 B C 的坐标为 2 3 1 2 3 1 由于点 A 的坐标为 2 0 则 ABC 的面积为 2 9 不合题意 舍去 若直线 l 不与 x 轴垂直 可设 l 的方程为 1 xky 由 1 34 1 22 yx xky 得 01248 43 2222 kxkxk 您身边的志愿填报指导专家 第 12 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 记 11 yxB 22 yxC 则有 2 2 21 2 2 21 43 124 43 8 k k xx k k xx 由于 2 2 21 2 21 2 43 1 12 4 1 k k xxxxkBC 点 A 到直线 l 的距离为 2 1 3 k k 将上面两式代入 ABC 的面积公式可得 2 7 18 1 3 43 1 12 2 1 2 2 2 k k k k 整理得 01817 24 kk 解得 7 18 2 k 舍去 k2 1 故1 k 从而 直线 l 的方程为 1 xy 6 1 解 设 B 1 m C x1 y1 由OBOAOC 2 得 2 x1 y1 1 0 1 m 解得 x1 0 2 1 m y 设 M x y 由 0 0 ABCM BMe 得 my m x m m yx myx 4 0 2 2 0 10 1 2 消去 m 得 E 的轨迹方程xy4 2 2 解 由题设知 C 为 AB 中点 MC AB 故 MC 为 AB 的中垂线 MB x 轴 设 M 0 0 4 y y 则 B 1 y0 C 0 2 0 y 当 y0 0 时 0 2 y kMC MC 的方程 2 2 0 0 y x y y 8 分 将 MC 方程与xy4 2 联立消 x 整理得 02 2 00 2 yyyy 它有唯一解 0 yy 即 MC 与xy4 2 只有一个公共点 又0 MC k 所以 MC 为xy4 2 的切线 11 分 当 y0 0 时 显然 MC 方程 x 0 为轨迹 E 的切线 综上知 MC 为轨迹 E 的切线 7 1 联立 2 1 2 1 2 22 b yx mxy 得02 2 2222 bmxxb 0 24 2 2222 bmmxxb 您身边的志愿填报指导专家 第 13 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 当2 2 b时 0 m 直线与双曲线无交点 矛盾2 2 2 eb 直线与双曲线恒有交点 0 2 816 22 bm恒成立 22 2mb 2 eRm 2 e 2 0 cF 则直线 l 的方程cxy 1 2 2 22 b yx cxy 联立得022 2 222222 bcbycbyb 2 2 2 2 2 222 21 2 2 21 b bcb yy b cb yy FQFP 5 1 21 5 1 yy 整理得 5 2 2 9 222 2 42 bcb b bc 0 2 b 22 2bc 5 1 2 9 2 2 2 b b 7 2 b所求的双曲线方程为 1 72 22 yx 8 1 0 2 2 3 FP 根据两点式得 所求直线l的方程为 23 2 02 0 xy 即 2 2 xy 直线l的方程是 2 2 xy 2 解 设所求椭圆的标准方程为1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 一个焦点为 0 2 F 2 c 即 4 22 ba 点 2 3 P在椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 ba上 您身边的志愿填报指导专家 第 14 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 1 29 22 ba 由 解得 8 12 22 ba 所以所求椭圆的标准方程为 1 812 22 yx 3 由题意得方程组 1 812 2 2 22 yx xy 解得 2 3 y x 或 22 0 y x 22 0 Q 23 3 OP 23 3 QPMP 232 33 MPPOMO 3 8 9 5 27113027 232 33 2222 MO 当 9 5 时 MO 最小 9 解 由 1 98 22 yx 得 8 2 a 22 a 022022 或顶点为 24 22 2 022 p p 则为焦点若以 所求的抛物线方程为 xy28 2 24 22 2 022 p p 则为焦点若以 所求的抛物线方程为 xy28 2 10 解 1 直线 AP yxb 由 1y yxb 得 1 1 P b 所以 0 1 1 1 9AB APbbb AA 即 2 1 92bb 将 P 3 1 代入椭圆方程得 2 2 91 112 4 a a 您身边的志愿填报指导专家 第 15 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 故椭圆方程为 22 1 124 xy 6 分 2 由 yt yxb 得 P tb t 又 0 0 Ab Bt 所以 0 ABtb APtb tb 由9AB AP A得3 0 0 tbtb 所以 P 的坐标为 3 t 将 P 3 t代入椭圆方程得 2 22 9 1 t ab 即 2 2 22 9b a bt 因为 22 ab 所以 2 2 2222 99 1 b b btbt 又3tb 所以 93 100 962 t t 11 解 当直线l垂直于x轴时 则此时直线方程为1 x l与圆的两个交点坐标为 3 1和 3 1 其距离为32 满足题意 若直线l不垂直于x轴 设其方程为 12 xky 即02 kykx 设圆心到此直线的距离为d 则 2 4232d 得1 d 1 2 1 2 k k 3 4 k 故所求直线方程为3450 xy 综上所述 所求直线为3450 xy 或1 x 设点M的坐标为 00 y x Q点坐标为 yx 则N点坐标是 0 0 y OQOMON 00 2x yxy 即xx 0 2 0 y y 又 4 2 0 2 0 yx 4 4 2 2 y x 由已知 直线 m ox 轴 所以 0y 您身边的志愿填报指导专家 第 16 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 Q点的轨迹方程是 22 1 0 164 yx y 轨迹是焦点坐标为 12 0 2 3 0 2 3 FF 长轴为 8 的椭圆 并去掉 2 0 两点 12 解 11 2 210Pyk xkxyk 设过点的切线方程为即 2 3 1222 1 k k 圆心 到直线的距离为 即 2 670 71kkkk 解得或 715010 xyxy 所求的切线方程为或 222 2 82 2PCA PAPCCAPA A在R t P 过点的圆的切线长为2 2 13 解 1 AB xABC 轴且在第一象限 tan3tan1 34 ACBC KK 1313310ACyxxy 直线的方程为即 11560BCyxxy 直线的方程为即 331060 xyxy 2 在方程和中 0 0130 6xAC BCy 令得与轴的交点为 和 61353ACBCy 和与轴的交点距离为 14 证明 椭圆的半焦距321c 由ACBD 知点P在以线段 12 FF为直径的圆上 故 22 00 1xy 您身边的志愿填报指导专家 第 17 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 所以 2222 0000 1 1 32222 xyxy 当BD的斜率k存在且0k 时 BD的方程为 1 yk x 代入椭圆方程 22 1 32 xy 并化简得 2222 32 6360kxk xk 设 11 B xy 22 D xy 则 2 12 2 6 32 k xx k 2 12 2 36 32 k x x k 2 222 122212 2 4 3 1 1 1 4 32 k BDkxxkxxx x k AA 因为AC与BC相交于点p 且AC的斜率为 1 k 所以 2 2 2 2 1 4 31 4 3 1 1 23 32 kk AC k k 四边形ABCD的面积 2222 222 22 124 1 1 96 2 32 23 25 32 23 2 kk SBD AC kk kk AA 当 2 1k 时 上式取等号 当BD的斜率0k 或斜率不存在时 四边形ABCD的面积4S 综上 四边形ABCD的面积的最小值为 96 25 15 解 1 令 yxP 因为ACAB RPCBP 所以 xxxxxx CBCB CB CB C B C B xx xx x x x xx xx 2 设过 A 所作的直线方程为akxy 显然k存在 您身边的志愿填报指导专家 第 18 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 又由 22 2 1 ykxa xy 得 222 1 24 30kxakxa 2 4223 12 BCBC akak xxx x kak 代入 得 2 323 22 aak xykxa akak 消去 k 得所求轨迹为230 xay 在圆 M 内部 2 上述轨迹过为定点 3 0 2 的直线在圆 M 内部分 由 22 230 2 1 xay xy 得 22 4 230ayay 则 2 2 121212 22 3 44 4 a yyyyy y a 22 2222 2 2 11331 4 1 22 4 4 3 2 3 MRS aa S aa a a A 令 2 3ta 则3t 而函数 1 f tt t 在3t 时递增 13 1 4 32 3 MRS S A max 3 4 MRS S A 此时0 3 at 1 中 P 的轨迹为 2 3 x 16 解 1 依题意知 动点P到定点F 0 1 的距离等于P到直线1y 的距离 曲 线C是以原点为顶点 F 0 1 为焦点的抛物线 1 2 p 2p 曲线C方程是 2 4xy 4 分 2 设圆的圆心为 M a b 圆M过A 0 2 圆的方程为 2222 2 xaybab 您身边的志愿填报指导专家 第 19 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 令0y 得 2 2440 xaxb 设圆与x轴的两交点分别为 1 0 x 2 0 x 方法 1 不妨设 12 xx 由求根公式得 2 1 241616 2 aab x 2 2 241616 2 aab x 2 12 41616xxab 又 点 M a b在抛物线 2 4xy 上 2 4ab 12 164xx 即EG 4 当M运动时 弦长EG为定值 4 方法 2 12 2xxa 12 44xxb 22 121212 4xxxxxx 22 2 4 44 41616abab 又 点 M a b在抛物线 2 4xy 上 2 4ab 2 12 16xx 12 4xx 当M运动时 弦长EG为定值 4 17 解答 1 设动点 P x y 则 1 0 3 4 yxPNMNyxMP 由已知得 22 1 6 4 3yxx 化简得 1 34 1243 22 22 yx yx即 点 P 的轨迹是椭圆 1 34 22 yx 设过 N 的直线 l 的方程为 1 2211 yxByxAxky 由 01248 42 1 34 1 2222 22 kxkxk yx xky 得 您身边的志愿填报指导专家 第 20 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 2 2 21 2 2 21 43 124 43 8 0 k k xx k k xx N在椭圆内 1 1 1 1 1 21 2 2121 xxkyyxxNBNA 1 1 2121 2 xxxxk 2 2 2 222 2 43 1 9 43 438124 1 k k k kkk k 31 5 12 43 1 9 7 18 2 2 2 k k k 得 3113 kk或 18 解 1 根据椭圆的几何性质 线段 F1F2与线段 B1B2互相垂直平分 故椭圆中心即为 该四点外接圆的圆心 故该椭圆中 a 2b 2c 即椭圆方程可为 x2 2y2 2b2 设 H x y 为椭圆上一点 则 bybbyyxHN 其中 182 3 3 22222 若 096 3 22 bbHNbyb有最大值时 则当 由2535096 2 bbb得 舍去 若 b 3 当 y 3 时 HN 2有最大值 2b2 18 由 2b2 18 50 得 b2 16 所求椭圆方程为1 1632 22 yx ii 设 E x1 y1 F x2 y2 Q x0 y0 则由 02 1 1632 1 1632 00 2 2 2 2 2 1 2 1 kyx yx yx 两式相减得 又直线 PQ 直线 m 直线 PQ 方程为 3 31 x k y 您身边的志愿填报指导专家 第 21 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 将点 Q x0 y0 代入上式得 3 31 00 x k y 由 得 Q 3 3 3 32 k 而 Q 点必在椭圆内部 1 1632 2 0 2 0 yx 由此得0 2 47 2 kk又 2 94 00 2 94 kk或 故当 2 94 0 0 2 94 k时 E F 两点关于点 P Q 的直线对称 19 解 1 设点M的坐标为 x y 1 2 AMBM kk 111 2 yy xx 整理 得 2 2 1 2 x y 0 x 这就是动点 M 的轨迹方程 2 方法方法 1 如图 由题意知直线l的斜率存在 设l的方程为 2yk x 1 2 k 将 代入1 2 2 2 y x 得0 28 8 12 2222 kxkxk 由0 解得 2 1 0 2 k