湘教版九年级上册数学教案(全册)

第第 1 章章 反比例函数反比例函数 1 1 反比例函数反比例函数 教学目标教学目标 知识与技能 理解反比例函数的概念 根据实际问题能列出反比例函数关系式 过程与方法 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程 发展学生的抽象思维能力 情感态度 培养观察 推理 分析能力 体会由实际问题转化为数学模型 认识反比例函数的应用价 值 教学重点 理解反比例函数的概念 能根据已知条件写出函数解析式 教学难点 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 体会函数的模型思想 教学过程教学过程 一 情景导入 初步认知 1 复习小学已学过的反比例关系 例如 1 当路程 s 一定 时间 t 与速度 v 成反比例 即 vt s s 是常数 2 当矩形面积一定时 长 a 和宽 b 成反比例 即 ab S S 是常数 2 电流 I 电阻 R 电压 U 之间满足关系式 U IR 当 U 220V 时 请你用含 R 的代数式 表示 I 吗 教学说明 对相关知识的复习 为本节课的学习打下基础 二 思考探究 获取新知 探究 1 反比例函数的概念 1 一群选手在进行全程为 3000 米的赛马比赛时 各选手的平均速度 v m s 与所用时间 t s 之间有怎样的关系 并写出它们之间的关系式 2 利用 1 的关系式完成下表 3 随着时间 t 的变化 平均速度 v 发生了怎样的变化 4 平均速度 v 是所用时间 t 的函数吗 为什么 5 观察上述函数解析式 与前面学的一次函数有什么不同 这种函数有什么特点 归纳结论 一般地 如果两个变量 x y 之间可以表示成 y k 为常数且 k 0 的形式 k x 那么称 y 是 x 的反比例函数 其中 x 是自变量 常数 k 称为反比例函数的比例系数 教学说明 先让学生进行小组合作交流 再进行全班性的问答或交流 学生用自己的语言 说明两个变量间的关系为什么可以看作函数 了解所讨论的函数的表达形式 探究 2 反比例 函数的自变量的取值范围思考 在上面的问题中 对于反比例函数 v 3000 t 其中自变量 t 可 以取哪些值呢 分析 反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数 但是在实际问题中 应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围 由于 t 代表的是时间 且时间不能为 负数 所有 t 的取值范围为 t 0 教学说明 教师组织学生讨论 提问学生 师生互动 三 运用新知 深化理解 1 见教材 P3 例题 2 下列函数关系中 哪些是反比例函数 1 已知平行四边形的面积是 12cm2 它的一边是 acm 这边上的高是 hcm 则 a 与 h 的函 数关系 2 压强 p 一定时 压力 F 与受力面积 S 的关系 3 功是常数 W 时 力 F 与物体在力的方向上通过的距离 s 的函数关系 4 某乡粮食总产量为 m 吨 那么该乡每人平均拥有粮食 y 吨 与该乡人口数 x 的函数关系 式 分析 确定函数是否为反比例函数 就是看它们的解析式经过整理后是否符合 y k 是 k x 常数 k 0 所以此题必须先写出函数解析式 后解答 解 1 a 12 h 是反比例函数 2 F pS 是正比例函数 3 F W s 是反比例函数 4 y m x 是反比例函数 3 当 m 为何值时 函数 y 是反比例函数 并求出其函数解析式 分析 由反比例函 22 4 m x 数的定义易求出 m 的值 解 由反比例函数的定义可知 2m 2 1 m 3 2 所以反比例函数 的解析式为 y 4 x 4 当质量一定时 二氧化碳的体积 V 与密度 成反比例 且 V 5m3时 1 98kg m3 1 求 p 与 V 的函数关系式 并指出自变量的取值范围 2 求 V 9m3时 二氧化碳的密度 解 略 5 已知 y y1 y2 y1与 x 成正比例 y2与 x2成反比例 且 x 2 与 x 3 时 y 的值都等于 19 求 y 与 x 间的函数关系式 分析 y1 与 x 成正比例 则 y1 k1x y2 与 x2 成反比例 则 y2 k2x2 又由 y y1 y2 可知 y k1x k2x2 只要求出 k1 和 k2 即可求出 y 与 x 间的函数关系式 解 因为 y1与 x 成正比例 所以 y1 k1x 因为 y2与 x2成反比例 所以 y2 而 2 2 k x y y1 y2 所以 y k1x 当 x 2 与 x 3 时 y 的值都等于 19 2 2 k x 教学说明 加深对反比例函数概念的理解 及掌握如何求反比例函数的解析式 四 师生互动 课堂小结 先小组内交流收获和感想 而后以小组为单位派代表进行总结 教师作以补充 课后作业课后作业 布置作业 教材 习题 1 1 中第 1 3 5 题 教学反思教学反思 学生对于反比例函数的概念理解的都很好 但在求函数解析式时 解题不够灵活 如解答 第 5 题时 不知如何设未知数 在这方面应多加练习 1 2 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质 第第 1 课时课时 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 1 教学目标教学目标 知识与技能 1 会用描点法画反比例函数图象 2 理解反比例函数的性质 过程与方法 观察 比较 合作 交流 探索 情感态度 通过对反比例函数的图象的分析 探索并掌握反比例函数的图象的性质 教学重点 画反比例函数的图象 理解反比例函数的性质 教学难点 理解反比例函数的性质 并能灵活应用 教学过程教学过程 一 情景导入 初步认知 你还记得一次函数的图象吗 一次函数的图象怎样画呢 一次函数有什么性 质呢 反比例函数的图象又会是什么样子呢 教学说明 在回忆与交流中 进一步认识函数 图象的直观有助于理解 函数的性质 二 思考探究 获取新知 探究 1 反比例函数图象的画法画出反比例函数 y 的图象 分析 画出 6 x 函数图象一般分为列表 描点 连线三个步骤 1 列表 取自变量 x 的哪些值 x 是不为零的任何实数 所以不能取 x 的值为零 但仍可以以零为基准 左右均匀 对称地取值 2 描点 用表里各组对应值作为点的坐标 在直角坐标系中描出各点 6 1 3 2 2 3 等 3 连线 用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来 得到图象的第一个 分支 用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来 得到图象的另一个分支 这 两个分支合起来 就是反比例函数的图象 思考 1 观察上图 y 轴右边的各点 当横坐标 x 逐渐增大时 纵坐标 y 如何 变化 y 轴左边的各点是否也有相同的规律 2 这两条曲线会与 x 轴 y 轴相交吗 为什么 探究 2 反比例函数所 在的象限画出函数 y 的图形 并思考下列问题 3 x 1 函数图形的两个分支分别位于哪些象限 2 在每一象限内 函数值 y 随自变量 x 的变化是如何变化的 归纳结论 一般地 当 k 0 时 反比例函数 y 的图象由分别在第一 k x 三象限内的两支曲线组成 它们与 x 轴 y 轴都不相交 在每个象限内 函数 值 y 随自变量 x 的增大而减小 探究 3 反比例函数 y 的图象 可以引导学生采用多种方式进行自主 6 x 探索活动 1 可以用画反比例函数 y 的图象的方式与步骤进行自主探索其图象 6 x 2 可以通过探索函数 y 与 y 之间的关系 画出 y 的图象 6 x 6 x 6 x 归纳结论 一般地 当 k0 k x 时 图象在一 三象限 当 k0 所以双曲线的两支分别位于第一 三象限 答案 C 6 下列反比例函数图象一定在第一 三象限的是 答案 C 7 已知函数为反比例函数 2 3 2 m ymx 1 求 m 的值 2 它的图象在第几象限内 在各象限内 y 随 x 的增大如何变化 3 当 3 x 时 求此函数的最大值和最小值 1 2 8 作出反比例函数 y 的图象 并根据图象解答下列问题 12 x 1 当 x 4 时 求 y 的值 2 当 y 2 时 求 x 的值 3 当 y 2 时 求 x 的范围 解 列表 由图知 1 y 3 2 x 6 3 0 x 6 9 作出反比例函数 y 的图象 结合图象回答 4 x 1 当 x 2 时 y 的值 2 当 1 x 4 时 y 的取值范围 3 当 1 y 4 时 x 的取值范围 解 列表 由图知 1 y 2 2 4 y 1 3 4 x 1 教学说明 为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题 在研究每 一题时 要紧扣性质进行分析 达到理解性质的目的 四 师生互动 课堂小结 先小组内交流收获和感想 而后以小组为单位派代表进行总结 教师作以补 充 课后作业课后作业 布置作业 教材 习题 1 2 中第 1 2 4 题 教学反思教学反思 通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质 并掌握了用描 点法画函数图象的方法 同时也为后面的学习奠定基础 从练习上来看 学生掌握 的不够好 应多加练习 第第 2 课时课时 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 2 教学目标教学目标 知识与技能 1 会求反比例函数的解析式 2 巩固反比例函数图象和性质 通过对图象的 分析 进一步探究反比例函数的增减性 过程与方法 经历观察 分析 交流的过程 逐步提高运用知识的能力 情感态度 提高学生的观察 分析能力和对图形的感知水平 教学重点 会求反比例函数的解析式 教学难点 反比例函数图象和性质的运用 教学过程教学过程 一 情景导入 初步认知 1 反比例函数有哪些性质 2 我们学会了根据函数解析式画函数图象 那么 你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗 教学说明 复习上节课的内容 同时引入新课 二 思考探究 获取新知 1 思考 已知反比例函数 y 的图象经过点 P 2 4 k x 1 求 k 的值 并写出该函数的表达式 2 判断点 A 2 4 B 3 5 是否在这个函数的图象上 3 这个函数的图象位于哪些象限 在每个象限内 函数值 y 随自变量 x 的增大如何变化 分析 1 题中已知图象经过点 P 2 4 即表明把 P 点坐标代入解析式成立 这 样能求出 k 解析式也就确定了 2 要判断 A B 是否在这条函数图象上 就是把 A B 的坐标代入函数解 析式中 如能使解析式成立 则这个点就在函数图象上 否则不在 3 根据 k 的正负性 利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限 y 随 x 的值的变化情况 归纳结论 这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式 2 下图是反比例函数 y 的图象 根据图象 回答下列问题 k x 1 k 的取值范围是 k 0 还是 k0 2 因为点 A 3 y1 B 2 y2 是该函数图象上的两点且 3 0 2 0 所以点 A B 都位于第三象限 又因为 3y2 教学说明 通过观察图象 使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的 方法 三 运用新知 深化理解 1 若点 A 7 y1 B 5 y2 在双曲线 y 上 则 y1 y2中较小的是 3 x 答案 y2 2 已知点 A x1 y1 B x2 y2 是反比例函数 y k 0 的图象上的两点 k x 若 x1 0 x2 则有 A y1 0 y2 B y2 0 y1 C y1 y2 0 D y2 y1 0 答案 A 3 若 A a1 b1 B a2 b2 是反比例函数图象上的两个点 且 a1 a2 则 b1 与 b2的大小关系是 A b1 b2 B b1 b2 C b1 b2 D 大小不确定 答案 D 4 函数 y 的图象上有两点 A x1 y1 B x2 y2 若 0 x1 x2 则 1 x A y1 y2 B y1 y2 C y1 y2 D y1 y2的大小不确定 答案 A 5 已知点 P 2 2 在反比例函数 y k 0 的图象上 k x 1 当 x 3 时 求 y 的值 2 当 1 x 3 时 求 y 的取值范围 6 已知 y k 0 k 为常数 过三个点 A 2 8 B 4 b C a 2 k x 1 求反比例函数的表达式 2 求 a 与 b 的值 解 1 将 A 2 8 代入反比例解析式得 k 16 则反比例解析式为 y 16 x 2 将 B 4 b 代入反比例解析式得 b 4 将 C a 2 代入反比例 解析式得 2 即 a 8 16 a 7 已知反比例函数的图象过点 1 2 1 求这个函数的解析式 并画出图象 2 若点 A 5 m 在图象上 则点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在 图象上 分析 1 反比例函数的图象过点 1 2 即当 x 1 时 y 2 由待定系数法可 求出反比例函数解析式 再根据解析式 通过列表 描点 连线可画出反比例 函数的图象 2 由点 A 在反比例函数的图象上 易求出 m 的值 再验证点 A 关于两坐 标轴和原点的对称点是否在图象上 解 1 设 反比例函数的解析式为 y k 0 而反比例函数的图象过点 k x 1 2 即当 x 1 时 y 2 所以 2 k 2 即反比例函数的解析式 1 k 为 y 2 x 2 点 A 5 m 在反比例函数 y 图象上 所以 m 点 A 的 2 x 2 5 2 5 坐标为 5 点 A 关于 x 轴的对称点 5 不在这个图象上 点 A 关于 2 5 2 5 y 轴的对称点 5 不在这个图象上 点 A 关于原点的对称点 5 在这个图 2 5 2 5 象上 教学说明 通过练习 巩固本节课数学内容 四 师生互动 课堂小结 先小组内交流收获和感想 而后以小组为单位派代表进行总结 教师作以补充 课后作业课后作业 布置作业 教材 习题 1 2 中第 7 题 教学反思教学反思 教学中 我深深地体会到 要想让学生真正掌握求函数解析式的方法 教 师应在给出相应的典型例题的条件下 让学生自己去寻找答案 自己去发现规 律 最后 教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围 以及一般应告 知的条件 在信息社会飞速发展的今天 教师要从以前的教师教 学生学的观念 中解放出来 教会学生如何学 让学生自己去探究 自己去学习 去获取知识 在 中学数学课程标准 中明确规定 教师不仅是学生的引导者 也是学生的 合作者 教学中 要让学生通过自主讨论 交流 来探究学习中碰到的问题 难 题 教师从中点拨 引导 并和学生一起学习 探讨 才能真正做到教学相长 也才能真正让每一个学生都学有所获 第第 3 课时课时 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 3 教学目标教学目标 知识与技能 1 综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题 2 借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题 过程与方法 经历观察 分析 交流的过程 逐步提高运用知识的能力 情感态度 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 培养学生看图 象 识图 象 能力 体会用 数 形 结合思想解答函数题 教学重点 理解并掌握一次函数 反比例函数的图象和性质 并能利用它们解决一些 综合问题 教学难点 学会从图象上分析 解决问题 理解反比例函数的性质 教学过程教学过程 一 情景导入 初步认知 1 正比例函数有哪些性质 2 一次函数有哪些性质 3 反比例函数有哪些性质 教学说明 对所学的三种函数的性质教学复习 让学生对它们的性质有 系统的了解 二 思考探究 获取新知 1 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于 P 3 4 试求出它 们的表达式 并在同一坐标系内画出这两个函数的图象 解 设正比例函数 反 比例函数的表达式分别为 y k1x y 其中 k1 k2是常数 且均不为 0 2 k x 由于这两个函数的图象交于 P 3 4 则 P 3 4 是这两个函数图象上的 点 即点 P 的坐标分别满足这两个表达式 因此 4 k1 3 4 解得 k1 2 3 k k2 12 所以 正比例函数解析式为 y x 反比例函数解析式为 y 函 4 3 4 3 12 x 数图象如下图 教学说明 通过图象 让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用 2 在反比例函数 y 的图象上取两点 1 6 6 1 过点 分别作 x 轴 6 x y 轴的平行线 与坐标轴围成的矩形面积为 S1 过点 分别作 x 轴 y 轴的平行线 与坐标轴围成的矩形面积为 S2 S1与 S2有什么关系 为什么 归纳结论 反比例函数 y k 0 中比例系数 k 的几何意义 过双曲 k x 线 y k 0 上任意一点引 x 轴 y 轴的平行线 与坐标轴围成的矩形面积 k x 为 k 的绝对值 教学说明 引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质 同时 鼓励学生用自己的语言进行表述 从而提高学生的表达能力与数学语言的组织 能力 三 运用新知 深化理解 1 已知如图 A 是反比例函数 y kx 的图象上的一点 AB 丄 x 轴于点 B 且 ABO 的面积是 3 则 k 的值是 A 3 B 3 C 6 D 6 分析 过双曲线上任意一点与原点所连的线段 坐标轴 向坐标轴作垂线 所围成的直角三角形面积 S 是个定值 即 S k 1 2 解 根据题意可知 S AOB k 3 又反比例函数的图象位于第一象 1 2 限 k 0 则 k 6 答案 C 2 反比例函数 y 与 y 在第一象限的图象如图所示 作一条平行于 x 轴 6 x 2 x 的直线分别交双曲线于 A B 两点 连接 OA OB 则 AOB 的面积为 A B 2 C 3 D 1 1 2 分析 分别过 A B 作 x 轴的垂线 垂足分别为 D E 过 B 作 BC y 轴 点 C 为垂足 再根据反比例函数系数 k 的几何意义分别求出四边形 OEAC AOE BOC 的面积 进而可得出结论 解 分别过 A B 作 x 轴的垂线 垂足分别为 D E 过 B 作 BC y 轴 点 C 为垂足 由反比例函数系数 k 的几何意义可知 S四边形 OEAC 6 S AOE 3 S BOC 1 S AOB S四边形 OEAC S AOE S BOC 6 3 1 2 答案 B 3 已知直线 y x b 经过点 A 3 0 并与双曲线 y 的交点为 B 2 m k x 和 C 求 k b 的值 解 点 A 3 0 在直线 y x b 上 所以 0 3 b b 3 一次函数的解 析式为 y x 3 又因为点 B 2 m 也在直线 y x 3 上 所以 m 2 3 5 即 B 2 5 而点 B 2 5 又在反比例函数 y 上 所 k x 以 k 2 5 10 4 已知反比例函数 y 的图象与一次函数 y k2x 1 的图象交于 A 2 1 1 k x 1 分别求出这两个函数的解析式 2 试判断 A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系 分析 1 因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上 把 A 点的坐标代入这两 个解析式即可求出 k1 k2的值 2 把点 A 关于坐标原点的对称点 A 坐标代入一次函数和反比例函数解析 式中 可知 A 是否在这两个函数图象上 解 1 因为点 A 2 1 在反比例函数和一次函数的图象上 所以 k1 2 1 2 1 2k2 1 k2 1 所以反比例函数的解析式为 y 一次函数解析式为 2 x y x 1 2 点 A 2 1 关于坐标原点的对称点是 A 2 1 把 A 点的横坐标代 入反比例函数解析式得 y 1 所以点 A 在反比例函数图象上 把 A 2 2 点的横坐标代入一次函数解析式得 y 2 1 3 所以点 A 不在一次函 数图象上 5 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A 0 1 和点 B a 3a a 0 且点 B 在反比例函数的 y 的图象上 3 x 1 求 a 的值 2 求一次函数的解析式 并画出它的图象 3 利用画出的图象 求当这个一次函数 y 的值在 1 y 3 范围内时 相 应的 x 的取值范围 4 如果 P m y1 Q m 1 y2 是这个一次函数图象上的两点 试比较 y1 与 y2 的大小 分析 1 由于点 A 点 B 在一次函数图象上 点 B 在反比例函数图象上 把这些 点的坐标代入相应的函数解析式中 可求出 k b 和 a 的值 2 由 1 求出的 k b a 的值 求出函数的解析式 通过列表 描点 连 线画出函数图象 3 和 4 都是利用函数的图象进行解题 一次函数和反比例函数的图象为 3 从图象上可知 当一次函数 y 的值在 1 y 3 范围内时 相应的 x 的 值为 1 x 1 4 从图象可知 y 随 x 的增大而减小 又 m 1 m 所以 y1 y2 或解 当 x1 m 时 y1 2m 1 当 x2 m 1 时 y2 2 m 1 1 2m 1 所以 y1 y2 2m 1 2m 1 2 0 即 y1 y2 6 如图 一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 A B m x 两点 1 利用图象中的条件 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的 x 的取值范围 分析 1 把 A B 两点坐标代入两解析式 即可求得一次函数和反比例函数解析 式 2 因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的 一次函数值大于反比 例函数值 反映在图象上 自变量取相同的值时 一次函数图象上点的纵坐标 大于反比例函数图象上点的纵坐标 教学说明 检测题采取多种形式呈现 增加了灵活性 以基础题为主 也有少量综合问题 可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验 四 师生互动 课堂小结 先小组内交流收获和感想 而后以小组为单位派代表进行总结 教师作以补 充 课后作业课后作业 布置作业 教材 习题 1 2 中第 6 题 通过本节课的学习 发现了一些问题 因此必须强调 教学反思教学反思 1 综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式 往往用待定系数 法 2 观察图象 把图象中提供 展现的信息转化为与两函数有关的知识来解 题 1 3 反比例函数的应用反比例函数的应用 教学目标教学目标 知识与技能 经历通过实验获得数据 然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程 体会建模思想 过程与方法 观察 比较 合作 交流 探索 情感态度 体验数形结合的思想 教学重点 建立反比例函数的模型 进而解决实际问题 教学难点 经历探索的过程 培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力 教学过程教学过程 一 情景导入 初步认知 复习回顾 1 什么是反比例函数 2 反比例函数的图象是什么 3 反比例函数图象有哪些性质 4 反比例函数的图象对称性如何 教学说明 通过提出问题 引发学生思考 培养学生解决问题的能力 二 思考探究 获取新知 1 某校科技小组进行野外考察 途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地 为了 安全 迅速通过这片湿地 他们沿着前进路线铺垫了若干块木板 构筑成一条 临时通道 从而顺利完成了任务 你能解释他们这样做的道理吗 1 根据压力 F N 压强 p Pa 与受力面积 S m2 之间的关系式 p 请你 F S 判断 当 F 一定时 p 是 S 的反比例函数吗 2 如人对地面的压力 F 450N 完成下表 3 当 F 450N 时 试画出该函数的图象 并结合图象分析当受力面积 S 增大时 地面所受压强 p 是如何变化的 据此 请说出它们铺垫木板通过湿地 的道理 解 1 对于 p 当 F 一定时 根据反比例函数的定义可知 p 是 S 的反 F S 比例函数 2 因为 F 450N 所以当 S 0 005m2时 由 p 得 F S p 450 0 005 90000 Pa 类似的 当 S 0 01m2时 p 45000Pa 当 S 0 02m2时 p 22500Pa 当 S 0 04m2时 p 11250Pa 3 当 F 450N 时 该反比例函数的表达式为 p 450 S 它的图象如下图所示 由图象的性质可知 当受力面积 S 增大时 地面所受压强 p 会越来越小 因此 该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积 以减小地面所受压强 从而可 以顺利地通过湿地 2 你能根据玻意耳定律 在温度不变的情况下 气体的压强 p 与它的体积 V 的乘积是一个常数 K K 0 即 pV K 来解释 为什么使劲踩气球时 气体会 爆炸 教学说明 逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力 提高感知水平 此外 在解决实际问题时 要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用 三 运用新知 深化理解 1 教材 P15 例题 2 一个水池装水 12m3 如果从水管中每小时流出 xm3的水 经过 yh 可以 把水放完 那么 y 与 x 的函数关系式是 自变量 x 的取值范 围是 答案 y x 0 12 x 3 若梯形的下底长为 x 上底长为下底长的 高为 y 面积为 60 则 y 1 3 与 x 的函数关系是 不考虑 x 的取值范围 答案 y 90 x 4 某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为 200cm2的矩形学具进 行展示 设矩形的宽为 xcm 长为 ycm 那么这些同学所制作的矩形的长 y cm 与宽 x cm 之间的函数关系的图象大致是 答案 A 5 下列各问题中两个变量之间的关系 不是反比例函数的是 A 小明完成百米赛跑时 所用时间 t s 与他的平均速度 v m s 之间的关系 B 长方形的面积为 24 它的长 y 与宽 x 之间的关系 C 压力为 600N 时 压强 p Pa 与受力面积 S m2 之间的关系 D 一个容积为 25L 的容器中 所盛水的质量 m kg 与所盛水的体积 V L 之 间的关系 答案 D 6 在温度不变的条件下 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压 测出 每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强 如下表 则可以反映 y 与 x 之间的关系的式子是 A y 3000 x B y 6000 x C y D y 3000 x 6000 x 答案 D 7 一张正方形的纸片 剪去两个一样的小矩形得到一个 E 图案 如图所 示 设小矩形的长和宽分别为 x y 剪去部分的面积为 20 若 2 x 10 则 y 与 x 的函数图象是 答案 A 8 一个长方体的体积是 100cm3 它的长是 y cm 宽是 5cm 高是 x cm 1 写出长 y cm 关于高 x cm 的函数关系式 以及自变量 x 的取值范围 2 画出 1 中函数的图象 3 当高是 3cm 时 求长 解 1 y x 0 20 x 2 图象略 3 长为 cm 20 3 教学说明 用函数观点来处理实际问题的应用 加深对函数的认识 四 师生互动 课堂小结 先小组内交流收获和感想 而后以小组为单位派代表进行总结 教师作以补 充 课后作业课后作业 布置作业 教材 习题 1 3 中第 1 2 4 题 教学反思教学反思 本节课通过学生自主探索 合作交流 以认知规律为主线 以发展能力为目标 以从直观感受到分析归纳为手段 培养学生的合情推理能力和积极的情感态度 促 进良好的数学观的形成 在教学手段上 本节课大量使用多媒体辅助教学 既能体 现知识的背景材料 又能一下子引起学生的注意力 有效地节省了时间 增大了课 堂容量 生动形象的动画演示 动感强 直观性好 既加深了学生的理解 又培养了学 生的抽象思维能力 同时也向学生渗透了归纳类比 数形结合的数学思想方法 第第 2 章章 一元二次方程一元二次方程 2 1 一元二次方程一元二次方程 教学目标教学目标 知识与技能 探索一元二次方程及其相关概念 能够辨别各项系数 能够从实际问题中 抽象出方程知识 过程与方法 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型 体会方 程与实际生活的联系 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题 体会数学知识应用的价值 提高学 生学习数学的兴趣 了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用 教学重点 一元二次方程的概念 教学难点 如何把实际问题转化为数学方程 教学过程教学过程 一 情景导入 初步认知 问题 1 已知一矩形的长为 200cm 宽 150cm 在它的中间挖一个圆 使剩 余部分的面积为原矩形面积的 34 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程 取 3 问题 2 据某市交通部门统计 前年该市汽车拥有量为 75 万辆 两年后 增加到 108 万辆 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 你 能列出相应的方程吗 教学说明 为学生创设了一个回忆 思考的情境 又是本课一种很自然 的引入 为本课的探究活动做好铺垫 二 思考探究 获取新知 1 对于问题 1 找等量关系 矩形的面积 圆的面积 矩形的面积 3 4 列出方程 200 150 3x2 200 150 3 4 对于问题 2 等量关系 两年后的汽车拥有量 前年的汽车拥有量 1 年平均增长率 2 列出方程 75 1 x 2 1082 2 能把 化成右边为 0 而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形 式吗 让学生展开讨论 并引导学生把 化成下列形式 化简 整理得 x2 2500 0 化简 整理得 25x2 50 x 11 0 3 讨论 方程 中的未知数的个数和次数各是多少 教学说明 分组合作 小组讨论 经过讨论后交流小组的结论 可以发 现上述方程都不是所学过的方程 特点是两边都是整式 且整式的最高次数是 2 次 归纳结论 如果一个方程通过移项可以使右边为 0 而左边是只含有一 个未知数的二次多项式 那么这样的方程叫作一元二次方程 它的一般形式是 ax2 bx c 0 a b c 是常数且 a 0 其中 a b c 分别叫作二次项系数 一 次项系数 常数项 4 让学生指出方程 中的二次项系数 一次项系数和常数项 教学说明 让学生充分感受所列方程的特点 再通过类比的方法得到定 义 从而达到真正理解定义的目的 三 运用新知 深化理解 1 见教材 P27 例题 2 下列方程是一元二次方程的有 答案 5 3 已知 m 3 x2 3mx 1 0 是一元二方程 则 m 的取值范围是 分析 一元二次方程二次项的系数不等于零 故 m 3 答案 m 3 4 把方程 1 3x x 3 2x2 1 化为一元二次方程的一般形式 并写出二次项 二次项系数 一次项 一次项系数及常数项 解 原方程化为一般形式是 5x2 8x 2 0 若写成 5x2 8x 2 0 则不符 合人们的习惯 其中二次项是 5x2 二次项系数是 5 一次项是 8x 一次项系数是 8 常数项是 2 因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和 所以不能漏写单 项式系数的负号 5 关于 x 方程 mx2 3x x2 mx 2 是一元二次方程 m 应满足什么条件 分析 先把这个方程变为一般形式 只要二次项的系数不为 0 即可 解 由 mx2 3x x2 mx 2 得到 m 1 x2 m 3 x 2 0 所以 m 1 0 即 m 1 所以关于 x 的方程 mx2 3x x2 mx 2 是一元二次方程 m 应满 足 m 1 6 一元二次方程 x 1 2 x 3 x2 2 化成一般形式是 分析 一元二次方程一般形式是 ax2 bx c 0 a 0 对照一般形式可先 去括号 再移项 合并同类项 得 2x2 x 7 0 答案 2x2 x 7 0 7 把方程 5x2 6x 3 0 的二次项系数化为 1 方程可变为 A x2 6 5x 3 5 0 B x2 6x 3 0 C x2 6 5x 3 5 0 D x2 6 5x 3 5 0 答案 C 注意方程两边除以 5 另两项的符号同时发生变化 8 已知方程 m 2 x2 m 1 x m 0 当 m 满足 时 它是一元一次方 程 当 m 满足 时 它是二元一次方程 分析 当 m 2 0 m 2 时 方程是一元一次方程 当 m 2 0 m 2 时 方程是二元一次方程 答案 m 2m 2 9 某型号的手机连续两次降价 每个售价由原来的 1185 元降到了 580 元 设平均每次降价的百分率为 x 则列出方程为 答案 1185 1 x 2 580 10 当常数 a b c 满足什么条件时 方程 a 1 x2 bx c 0 是一元二次方程 这时方程的二次项系数 一次项系数分别是什么 当常数 a b c 满足什么条件 时 方程 a 1 x2 bx c 0 是一元一次方程 解 当 a 1 时是一元二次方程 这时方程的二次项系数是 a 1 一次项系 数是 b 当 a 1 b 0 时是一元一次方程 教学说明 这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中几个特征 的理解 进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念 四 师生互动 课堂小结 先小组内交流收获和感想 而后以小组为单位派代表进行总结 教师作以补 充 课后作业课后作业 布置作业 教材 习题 2 1 中第 1 2 6 题 教学反思教学反思 本节课是一元二次方程的第一课时 通过对本节课的学习 学生将掌握一 元二次方程的定义 一般形式 及有关概念 并学会利用方程解决实际问题 在 教学过程中 注重重难点的体现 本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习 有着重大的意义 能否学好关系到日后学习的成败 因此必须要让学生吃透内 容并且要真正能消化 2 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 2 2 1 配方法配方法 教学目标教学目标 知识与技能 1 知道解一元二次方程的基本思路是 降次 化一元二次方程为一元一次方 程 2 学会用直接开平方法解形如 ax b 2 k 0 k 0 的方程 3 理解 配方 是一种常用的数学方法 在用配方法将一元二次方程变形的 过程中 让学生进一步体会化归的思想方法 过程与方法 通过探索配方法的过程 让学生体会转化的数学思想方法 情感态度 学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦 并体验数学的价值 增强 学生学习数学的兴趣 教学重点 运用配方法解一元二次方程 教学难点 把一元二次方程转化为形如 x n 2 d d 0 的过程 教学过程教学过程 一 情景导入 初步认知 1 根据完全平方公式填空 1 x2 6x 9 2 2 x2 8x 16 2 3 x2 10 x 2 2 4 x2 3x 2 2 2 前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法 解二元一次 方程组的基本思路是什么 消元 化二元一次方程组为一元一次方程 由解二 元一次方程组的基本思路 你能想出解一元二次方程的基本思路吗 3 你会解方程 x2 6x 16 0 吗 你会将它变成 x m 2 n n 为非负数 的 形式吗 试试看 如果是方程 2x2 1 3x 呢 教学说明 学会利用完全平方知识填空 初步配方为后面学习打下基础 二 思考探究 获取新知 1 解方程 x2 2500 0 问 怎样将这个方程 降次 为一元一次方程 把方程写成 x2 2500 这表明 x 是 2500 的平方根 根据平方根的意义 得 x 或 x 25002500 因此 原方程的解为 x1 50 x2 50 归纳结论 一元二次方程的解也是一元二次方程的根 2 解方程 2x 1 2 2 解 根据平方根的有意义 得 2x 1 或 2x 1 22 因此 原方程的根为 x1 x2 2 1 2 2 1 2 3 通过上面的两个例题 你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方 程呢 归纳结论 对于形如 x n 2 d d 0 的方程 可直接用开平方法解 直接开平方法的步骤是 把方程变形成 x n 2 d d 0 然后直接开平方 得 x n 和 x n 分别解这两个一元一次方程 得到的解就是原一元二dd 次方程的解 4 解方程 x2 4x 12 我们已知 如果把方程 x2 4x 12 写成 x n 2 d 的形式 那么就可以根 据平方根的意义来求解 那么 如何将左边写成 x n 2的形式呢 我们学过完全平方式 你能否将左边 x2 4x 添上一项使它成为一个完全平 方式 请相互交流 写出解题过程 归纳结论 一般地 像上面这样 在方程 x2 4x 12 的左边加上一次项系 数的一半的平方 在减去这个数 使得含未知数的项在一个完全平方式里 这 种做法叫作配方 配方 整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了 这种解一 元二次方程的方法叫作配方法 5 如何用配方法解方程 25x2 50 x 11 0 呢 如果二次项系数为 1 那就好办了 那么怎样将二次项的系数化为 1 呢 同伴之间可以相互交流 试着写出解题过程 6 通过上面配方法解一元二次方程的过程 你能总结用配方法解一元二次 方程的步骤吗 归纳结论 用配方法解一元二次方程的步骤 1 把方程化为一般形式 ax2 bx c 0 2 把方程的常数项通过移项移到方程的右边 3 若方程的二次项系数不为 1 时 方程两边同时除以二次项系数 a 4 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 5 此时方程的左边是一个完全平方式 然后利用平方根的定义把一元二 次方程化为两个一元一次方程来解 教学说明 通过这一过程 学生发现能用直接开平方法求解的方程都可 以转化成一般形式 一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形 式 所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为 x n 2 d d 0 的形式 三 运用新知 深化理解 1 见教材 P33 例 3 P34 例 4 2 列方程 注 学生练习 教师巡视 适当辅导 1 x2 10 x 24 0 2 2x 1 x 3 5 3 3x2 6x 4 0 解 1 移项 得 x2 10 x 24 配方 得 x2 10 x 25 24 25 由此可得 x 5 2 1 x 5 1 x1 6 x2 4 2 整理 得 2x2 5x 8 0 移项 得 2x2 5x 8 二次项系数化为 1 得 x2 5 2x 4 配方 得 x2 5 2x 5 4 2 4 5 4 2 x 5 4 2 89 16 由此可得 x 5 4 4 89 x1 x2 589 4 589 4 3 移项 得 3x2 6x 4 二次项系数化为 1 得 x2 2x 4 3 配方 得 x2 2x 12 4 3 12 x 1 2 1 3 因为实数的平方不会是负数 所以 x 取任何实数时 x 1 2都是非负数 上 式都不成立 即原方程无实数根 3 解方程 x2 8x 1 0 分析 显然这个方程的左边不是一个完全平方式 因此 要按前面的方法 化为完全平方式 解 x2 8x 1 0 移项得 x2 8x 1 配方得 x2 8x 16 1 16 即 x 4 2 15 两边开平方得 x 4 15 x1 4 15 x2 4 15 4 用配方法将下列各式化为 a x h 2 k 的形式 1 3x2 6x 1 2 2 3y2 1 3y 2 3 0 4x2 0 8x 1 解 1 3x2 6x 1 3 x2 2x 1 3 3 x2 2x 12 12 1 3 3 x 1 2 4 3 3 x 1 2 4 2 2 3y2 1 3y 2 2 3 y2 1 2y 3 2 3 y2 1 2y 1 4 2 1 4 2 3 2 3 y 1 4 2 49 16 2 3 y 1 4 2 49 24 3 0 4x2 0 8x 1 0 4 x2 2x 2 5 0 4 x2 2x 12 12 2 5 0 4 x 1 2 1 4 教学说明 通过练习 使学生能灵活运用 配方法 并强化学生对一元 二次方程解的认识 四 师生互动 课堂小结 先小组内交流收获和感想 而后以小组为单位派代表进行总结 教师作以补 充 课后作业课后作业 布置作业 教材 习题 2 2 中第 1 2 3 题 教学反思教学反思 在教学过程中 坚持由简单到复杂 由特殊到一般的原则 采用了观察对 比 合作探究等不同的学习方式 充分发挥学生的主体作用 让学生主动探究 发现结论 教师做学生学习的引导者 合作者 促进者 要适时鼓励学生 实 现师生互动 同时 我认识到教师不仅仅要教给学生知识 更要在教学中渗透数 学中的思想方法 培养学生良好的数学素养和学习能力 让学生学会学习 2 2 2 公式法公式法 教学目标教学目标 知识与技能 1 经历推导求根公式的过程 加强推理技能的训练 2 会用公式法解简单系数的一元二次方程 过程与方法 通过由配方法推导求根公式 培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想 情感态度 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解 形成全面解决问题 的积极情感 感受公式的对称美 简洁美 产生热爱数学的情感 教学重点 求根公式的推导和公式法的应用 教学难点 理解求根公式的推导过程 教学过程教学过程 一 情景导入 初步认知 1 用配方法解方程 1 x2 3x 2 0 2 2x2 3x 5 0 2 由用配方法解一元二次方程的基本步骤知 对于每个具体的一元二次方 程 都使用了相同的一些计算步骤 这启发我们思考 能不能对一般形式的一 元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 使用这些步骤 然后求出解 x 的公式 教学说明 这样做了以后 我们可以运用这个公式来求每一个具体的一 元二次方程的解 取得一通百通的效果 二 思考探究 获取新知 1 用配方法解方程 ax2 bx c 0 a 0 分析 前面具体数字已做了很多 我们现在不妨把 a b c 也当成一个具 体数字 根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解 移项 得 ax2 bx c 归纳结论 由上可知 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的 系数 a b c 而定 因此 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时 将 a b c 代入式子 就可求出方程的根 2 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 强调 用公式法解一元二次方程时 必须注意两点 1 将 a b c 的 值代入公式时 一定要注意符号不能出错 2 式子 b2 4ac 0 是公式的一部分 教学说明 让学生思考对于一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 能否用配方法求出它的解 通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式 2 展示课本 P36 例 5 1 2 按课本方式引导学生用公式法解一元二次方 程 并提醒学生在确定 a b c 的值时 先要将一元二次方程式化为一般形式 注意 a b c 的符号 3 引导学生完成 P37 例 6 4 你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗 归纳结论 首先要把原方程化为一般形式 从而正确地确定 a b c 的 值 其次要计算 b2 4ac 的值 当 b2 4ac 0 时 再用求根公式求解 三 运用新知 深化理解 1 用公式法解下列方程 2x2 3 7x 分析 用公式法解一元二次方程 需先确定 a b c 的值 再算出 b2 4ac 的值 最后代入求根公式求解 解 2x2 7x 3 0 a 2 b 7 c 3 b2 4ac 7 2 4 2 3 25 0 2 某数学兴趣小组对关于 x 的方程 m 1 xm2 1 m 2 x 1 0 提出了下 列问题 1 若使方程为一元二次方程 m 是否存在 若存在 求出 m 并解此方 程 2 若使方程为一元一次方程 m 是否存在 若存在 请求出 你能解决这个问题吗 分析 1 要使它为一元二次方程 必须满足 m2 1 2 同时还要满足 m 1 0 2 要使它为一元一次方程 必须满足 解 1 存在 根据题意 得 m2 1 2 m2 1m 1 当 m 1 时 m 1 1 1 2 0 当 m 1 时 m 1 1 1 0 不合题意 舍去 当 m 1 时 方程为 2x2 1 x 0 a 2 b 1 c 1 b2 4ac 1 2 4 2 1 1 8 9 因此 该方程是一元二次方程时 m 1 两根 x1 1 x2 12 2 存在 根据题意 得 m2 1 1 m2