步步高大一轮复习讲义高三数学5.1平面向量的概念及线性运算

5 1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 1 向量的有关概念 名称定义备注 向量 既有 又有 的量 向 量的大小叫做向量的 或 称 平面向量是自由向量 零向量 长度为 的向量 其方向是任 意的 记作 单位向量长度等于 的向量 非零向量 a 的单位向量为 a a 平行向量方向 或 的非零向量 共线向量 的非零向量又叫 做共线向量 0 与任一向量 或共线 相等向量长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等 不能比 较大小 相反向量长度 且方向 的向量0 的相反向量为 0 2 向量的线性运算 向量运算定义法则 或几何意义 运算律 加法 求两个向量和的运 算 1 交换律 a b 2 结合律 a b c 减法 求 a 与 b 的相反向 量 b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 法则 a b a b 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 1 a 2 当 0 时 a 的 方向与 a 的方向 当 b 则 a b 2 若 a b 则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反 3 若 a b 且 a 与 b 方向相同 则 a b 4 由于零向量的方向不确定 故零向量不与任意向量平行 5 若向量 a 与向量 b 平行 则向量 a 与 b 的方向相同或相反 6 若向量与向量是共线向量 则 A B C D 四点在一条直线上 AB CD 7 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 8 任一向量与它的相反向量不相等 题型二 向量的线性运算 例 2 如图 在 ABC 中 D E 分别为 BC AC 边上的中点 G 为 BE 上一点 且 GB 2GE 设 a b 试用 a AB AC b 表示 AD AG 探究提高 1 解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系 能熟练地找出 图形中的相等向量 并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 2 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 观察各向量的位置 寻找相应的 三角形或多边形 运用法则找关系 化简结果 如图 在 ABC 中 E F 分别为 AC AB 的 中点 BE 与 CF 相交于 G 点 设 a b 试用 a AB AC b 表示 AG 题型三 平面向量的共线问题 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线 1 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 A B D 三点共线 AB BC CD 2 试确定实数 k 使 ka b 和 a kb 共线 探究提高 1 证明三点共线问题 可用向量共线解决 但应注意向量共线与三点共线的 区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 向量 a b 共线是指存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b 0 成立 若 1a 2b 0 当且仅当 1 2 0 时成立 则向量 a b 不共线 如图所示 ABC 中 在 AC 上取一点 N 使得 AN AC 1 3 在 AB 上取一点 M 使得 AM AB 在 BN 的延长线上取点 P 使得 1 3 NP BN 在 CM 的延长线上取点 Q 使得 时 试确定 的值 1 2 MQ CM AP QA 11 用方程思想解决平面向量的线 性运算问题 试题 13 分 如图所示 在 ABO 中 OC 1 4 OA OD 1 2 OB AD 与 BC 相交于点 M 设 a b 试用 a 和 b 表示向量 OA OB OM 审题视角 1 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领 要尽可能地转化 到平行四边形或三角形中去 2 既然能用 a b 表示 那我们不妨设出 ma nb OM OM 3 利用共线定理建立方程 用方程的思想求解 规范解答 解 设 ma nb OM 则 ma nb a m 1 a nb AM OM OA a b 3 分 AD OD OA 1 2 OB OA 1 2 又 A M D 三点共线 与共线 AM AD 存在实数 t 使得 t AM AD 即 m 1 a nb t 5 分 a 1 2b m 1 a nb ta tb 1 2 Error 消去 t 得 m 1 2n 即 m 2n 1 7 分 又 ma nb a a nb CM OM OC 1 4 m 1 4 b a a b CB OB OC 1 4 1 4 又 C M B 三点共线 与共线 10 分 CM CB 存在实数 t1 使得 t1 CM CB a nb t1 m 1 4 1 4a b Error 消去 t1得 4m n 1 12 分 由 得 m n a b 13 分 1 7 3 7 OM 1 7 3 7 批阅笔记 1 本题考查了向量的线性运算 知识要点清楚 但解题过程复杂 有一定的难 度 2 学生的易错点是 找不到问题的切入口 亦即想不到利用待定系数法求解 3 数 形结合思想是向量加法 减法运算的核心 向量是一个几何量 是有 形 的量 因此 在解决向量有关问题时 多数习题要结合图形进行分析判断求解 这是研究平面向量最 重要的方法与技巧 如本题学生易忽视 A M D 共线和 B M C 共线这个几何特 征 4 方程思想是解决本题的关键 要注意体会 方法与技巧 1 将向量用其它向量 特别是基向量 线性表示 是十分重要的技能 也是向量坐标形式的基 础 2 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题 如 且 AB 与 CD 不共线 则 AB CD AB CD 若 则 A B C 三点共线 AB BC 失误与防范 1 解决向量的概念问题要注意两点 一是不仅要考虑向量的大小 更重要的是要考虑向量的 方向 二是考虑零向量是否也满足条件 要特别注意零向量的特殊性 2 在利用向量减法时 易弄错两向量的顺序 从而求得所求向量的相反向量 导致错误 课时规范训练 时间 60 分钟 A 组 专项基础训练题组 一 选择题 1 给出下列命题 两个具有公共终点的向量 一定是共线向量 两个向量不能比较大小 但它们的模能比较大小 a 0 为实数 则 必为零 为实数 若 a b 则 a 与 b 共线 其中错误命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 2 设 P 是 ABC 所在平面内的一点 2 则 BC BA BP A 0 B 0 PA PB PC PA C 0 D 0 PB PC PA PB PC 3 已知向量 a b 不共线 c ka b k R d a b 如果 c d 那么 A k 1 且 c 与 d 同向 B k 1 且 c 与 d 反向 C k 1 且 c 与 d 同向 D k 1 且 c 与 d 反向 二 填空题 4 设 a b 是两个不共线向量 2a pb a b a 2b 若 A B D 三点 AB BC CD 共线 则实数 p 的值为 5 在平行四边形 ABCD 中 E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点 若 其 AC AE AF 中 R 则 6 如图 在 ABC 中 P 是 BN 上的一点 若 m AN 1 3 NC AP AB 则实数 m 的值为 2 11 AC 三 解答题 7 如图 以向量 a b 为边作 OADB OA OB BM 1 3 BC CN 1 3 CD 用 a b 表示 OM ON MN 8 若 a b 是两个不共线的非零向量 a 与 b 起点相同 则当 t 为何值时 a tb a b 1 3 三向量的终点在同一条直线上 B 组 专项能力提升题组 一 选择题 1 已知 P 是 ABC 所在平面内的一点 若 其中 R 则点 P 一定在 CB PA PB A ABC 的内部 B AC 边所在直线上 C AB 边所在直线上 D BC 边所在直线上 2 已知 ABC 和点 M 满足 0 若存在实数 m 使得 m成立 MA MB MC AB AC AM 则 m 等于 A 2 B 3 C 4 D 5 3 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 OP OA 0 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的 AB AB AC AC A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 二 填空题 4 已知向量 a b 是两个非零向量 则在下列四个条件中 能使 a b 共线的条件是 将正确的序号填在横线上 2a 3b 4e 且 a 2b 3e 存在相异实数 使 a b 0 x a y b 0 实数 x y 满足 x y 0 若四边形 ABCD 是梯形 则与共线 AB CD 5 如图所示 在 ABC 中 点 O 是 BC 的中点 过点 O 的直线分别交 直线 AB AC 于不同的两点 M N 若 m n 则 AB AM AC AN m n 的值为 6 在 ABC 中 已知 D 是 AB 边上一点 若 2 AD DB CD 1 3 CA CB 则 7 已知直线 x y a 与圆 x2 y2 4 交于 A B 两点 且 其中 O OA OB OA OB 为坐标原点 则实数 a 的值为 三 解答题 8 已知点 G 是 ABO 的重心 M 是 AB 边的中点 1 求 GA GB GO 2 若PQ过 ABO的重心G 且 a a b b ma a nb b 求证 3 OA OB OP OQ 1 m 1 n 答案 要点梳理 1 大小 方向 长度 模 零 0 1 个单位 相同 相反 方向相同或相反 平行 相 等 相同 相等 相反 2 三角形 平行四边形 1 b a 2 a b c 三角形 1 a 2 相同 相反 0 a a a a b 基础自测 1 2 b a 3 4 2 5 A OS 1 2 题型分类 深度剖析 例 1 变式训练 1 解 1 不正确 因为向量只讨论相等和不等 而不能比较大小 2 不正确 因为向量模相等与向量的方向无关 3 正确 4 不正确 因为规定零向量与任意向量平 行 5 不正确 因为两者中若有零向量 零向量的方向是任意的 6 不正确 因为与 AB 共线 而 AB 与 CD 可以不共线即 AB CD 7 正确 8 不正确 因为零向量可以与它 CD 的相反向量相等 例 2 解 a b AD 1 2 AB AC 1 2 1 2 AG AB BG AB 2 3 BE AB 1 3 BA BC 2 3 AB 1 3 AC AB a b 1 3 AB 1 3 AC 1 3 1 3 变式训练 2 解 AG AB BG AB BE AB 2 BA BC 1 2 AB 2 AC AB 1 1 a b AB 2 AC 2 又 m AG AC CG AC CF AC m 2 CA CB 1 m a 1 m b AC m 2 AB m 2 Error 解得 m 2 3 a b AG 1 3 1 3 例 3 1 证明 a b 2a 8b 3 a b AB BC CD 2a 8b 3 a b BD BC CD 2a 8b 3a 3b 5 a b 5 AB 共线 又 它们有公共点 B AB BD A B D 三点共线 2 解 ka b 与 a kb 共线 存在实数 使 ka b a kb 即 ka b a kb k a k 1 b a b 是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 变式训练 3 1 2 课时规范训练 A 组 1 C 2 B 3 D 4 1 5 4 3 6 3 11 7 a b a b a b OM 1 6 5 6 ON 2 3 2 3 MN 1 2 1 6 8 解 设 a tb a b OA OB OC 1 3 a b AC OC OA 2 3 1 3 tb a AB OB OA 要使 A B C 三点共线 只需 AC AB 即 a b tb a 2 3 1 3 有Error Error 当 t 时 三向量终点在同一直线上 1 2 B 组 1 B 2 B 3 B 4 5 2 6 2 3 7 2 8 1 解 2 GA GB GM 又 2 GM GO 0