还原问题知识讲解及练习

精品文档 1欢迎下载 还原问题知识讲解及练习 含答案 还原问题知识讲解及练习 含答案 已知一个数 经过某些运算之后 得到了一个新数 求原来的数是多少的应用问题 它的解法它的解法 常常是以新数为基础 按运算顺序倒推回去 解出原数常常是以新数为基础 按运算顺序倒推回去 解出原数 这种方法叫做逆推法或还原法 这种问题 就是还原问题 还原问题又叫做逆推运算问题 解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理 根据 题意的叙述顺序由后向前逆推计算 在计算过程中采用相反的运算 逐步逆推 在解题过程中注意两个相反 一是运算次序与原来相反运算次序与原来相反 二是运算方法与原来相反运算方法与原来相反 板块一 单个变量的还原问题板块一 单个变量的还原问题 例例 1 某数先加上某数先加上 3 3 再乘以 再乘以 3 3 然后除以 然后除以 2 2 最后减去 最后减去 2 2 结果是 结果是 1010 问 原数是多少 问 原数是多少 解析解析 分析时可以从最后的结果是 10 逐步倒着推 这个数没减去 2 时应该是多少 没除以 2 时应该是多少 没 乘以 3 时应该是多少 没加上 3 时应该是多少 这样依次逆推 就可以推出某数 如果没减去 2 此数是 10212 如果没除以 2 此数是 12224 如果没乘以 3 此数是 2438 如果没加上 3 此数是 835 综合算式 1022335 巩固巩固 1 1 2008 2008 年年 陈省身杯陈省身杯 国际青少年数学邀请赛国际青少年数学邀请赛 有一个数 如果用它加上有一个数 如果用它加上 然后乘以 然后乘以 再减去 再减去 最后 最后666 除以除以 所得的商还是 所得的商还是 那么这个数是 那么这个数是 66 巩固巩固 2 2 一个数减 一个数减 16 加上加上 24 再除以 再除以 7 得得 36 求这个数 你知道这个数是几吗 求这个数 你知道这个数是几吗 巩固巩固 3 3 少先队员采集树种子 采得的个数是一个有趣的数 把这个数除以 少先队员采集树种子 采得的个数是一个有趣的数 把这个数除以 5 再减去 再减去 25 还剩 还剩 25 你算一 你算一 算 共采集了多少个树种子算 共采集了多少个树种子 例例 2 牛老师带着牛老师带着 37 名同学到野外春游 休息时 小强问 名同学到野外春游 休息时 小强问 牛老师您今年多少岁啦牛老师您今年多少岁啦 牛老师有趣地回答 牛老师有趣地回答 我的年龄乘以我的年龄乘以 2 减去 减去 16 后 再除以后 再除以 2 加上 加上 8 结果恰好是我们今天参加活动的总人数 结果恰好是我们今天参加活动的总人数 小朋友小朋友 们 你知道牛老师今年多少岁吗们 你知道牛老师今年多少岁吗 解析解析 采用倒推法 我们可以从最后的结果 参加活动的总人数 即 38 倒着往前推 这个数没加上 8 时应是多 少 没除以 2 时应是多少 没减去 16 时应是多少 没乘以 2 时应是多少 这样依次逆推 就可以求出牛老师今年的岁数 没加上 8 时应是 没除以 2 时应是 38830 没减去 16 时应是 没乘以 2 时应是 30260 601676 76238 即 岁 388216 238 精品文档 2欢迎下载 巩固巩固 1 1 小智问小康 小智问小康 你今年几岁 你今年几岁 小康回答说 小康回答说 用我的年龄数减去用我的年龄数减去 8 8 乘以 乘以 7 7 加上 加上 6 6 除以 除以 5 5 正 正 好等于好等于 4 4 请你算一算 我今年几岁 请你算一算 我今年几岁 巩固巩固 2 2 学学做了这样一道题 某数加上 学学做了这样一道题 某数加上 10 乘以 乘以 10 减去 减去 10 除以 除以 10 其结果等于 其结果等于 10 求这个数 求这个数 根据题意 一个数 经过加法 乘法 减法 除法的变化 得到结果 10 应用逆推法 由结果 10 根据 加 减法与乘 除法的互逆运算 倒着往前计算 10 10100 10010110 1101011 11 101 解这种还原问题的关键是从最后结果出发 逐步向前一步一步推理 每一步运算都是原来运算的逆运算 即变加为减 变减为加 变乘为除 变除为乘 列式时还要注意运算顺序 正确使用括号 这种逆向思 维的方法是数学中常用的思维方法 综合算式为 巩固巩固 3 3 学学做了这样一道题 一个数加上 学学做了这样一道题 一个数加上 3 减去 减去 5 乘以 乘以 4 除以 除以 6 得得 16 求这个数 小朋友 你知道答 求这个数 小朋友 你知道答 案吗 案吗 解析解析 根据题意 一个数 经过加法 减法 乘法 除法的变化 得到结果 16 应用逆推法 由结果 10 根据 加 减法与乘 除法的互逆运算 倒着往前计算 16 6 4 5 3 某数 综合算式为 例例 3 一次数学竞赛颁奖会上 小刚问老师 一次数学竞赛颁奖会上 小刚问老师 我得了多少分 我得了多少分 老师说 老师说 你的得分减去你的得分减去后 缩小后 缩小倍 再加倍 再加62 上上后 扩大后 扩大倍 恰好是倍 恰好是分分 小刚这次竞赛得了多少分 小刚这次竞赛得了多少分 102100 解析解析 从最后一个条件 恰好是分 向前推算 扩大倍是分 没有扩大倍之前应是 分 10021002100250 加上后是分 没有加上前应是 分 缩小倍是分 那么没有缩小倍前应是105010501040 2402 分 减去后是分 没有减去前应是 分 40280 680680686 综合列式为 分 100210 26402686 巩固巩固 1 1 在小新爷爷今年的年龄数减去 在小新爷爷今年的年龄数减去 1515 后后 除以除以 4 4 再减去再减去 6 6 之后之后 乘以乘以 10 10 恰好是恰好是 100 100 问问 小新爷爷今年多少小新爷爷今年多少 岁数岁数 巩固巩固 2 2 学学和思思在游玩时 遇到一位小神仙 他们问这位神仙 学学和思思在游玩时 遇到一位小神仙 他们问这位神仙 你一定不到你一定不到 100 岁吧 岁吧 谁知这位神仙谁知这位神仙 摇摇头说 摇摇头说 你们算算吧 把我的年龄加上你们算算吧 把我的年龄加上 75 再除以 再除以 5 然后减去 然后减去 15 再乘以 再乘以 10 恰好是 恰好是 2000 岁 岁 精品文档 3欢迎下载 小朋友 你知道这位神仙现在有多少岁吗 小朋友 你知道这位神仙现在有多少岁吗 例例 4 哪吒是个小马虎 他在做一道减法题时 把被减数十位上的哪吒是个小马虎 他在做一道减法题时 把被减数十位上的 6 错写成错写成 9 减数个位上的 减数个位上的 9 错写成错写成 6 最 最 后所得的差是后所得的差是 577 那么这道题的正确答案应该是多少呢 那么这道题的正确答案应该是多少呢 解析解析 被减数十位上的 6 变成 9 使被减数增加 差也增加了 30 减数个位上的 9 错写成 6 使减906030 数减少了 这样又使差增加了 3 这道题可以说成 正确的差加上 30 后又加上 3 得 577 求正确963 差 所以列式得 577969060544 巩固巩固 1 1 小马虎在做一道加法题时 把一个加数个位上的 小马虎在做一道加法题时 把一个加数个位上的看作看作 十位上的 十位上的看作看作 结果和是 结果和是 那么 那么9669174 正确的结果应该是多少呢 正确的结果应该是多少呢 巩固巩固 2 2 淘气在做一道减法时 把减数个位上的 淘气在做一道减法时 把减数个位上的 9 看成了看成了 3 把十位上的 把十位上的 4 看成了看成了 7 得到的结果是 得到的结果是 164 请 请 你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢 巩固巩固 3 3 小新在做一道加法题 由于粗心 将个位上的 小新在做一道加法题 由于粗心 将个位上的 5 看作看作 9 把十位上的 把十位上的 8 看作看作 3 结果所得的和是 结果所得的和是 123 正确的答案是多少 正确的答案是多少 例例 5 三只猴子分一堆桃 大猴子先拿了这堆桃的一半少 1 个 第二只猴子拿了余下的桃子的一半多 1 个 小 猴子分得余下的 8 个桃 桃子就被全分完了 问 这堆桃子共多少个 分析与解 此题条件较复杂 我们可以通过画图进行分析 你能从图中发现哪个部分是大猴子拿的桃子吗 其 实解决这类问题我们关键是要找到 一半 所对应的数量 从最后进行推算 剩下的一半 8 1 9 个 剩下多少个 9 2 18 个 一半是多少个 18 1 17 个 一共有多少个桃子 17 2 34 个 算式 8 1 2 1 2 巩固 1 学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦 第一次用去全长的一半还多学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦 第一次用去全长的一半还多 2 米 第二次用去余下的一米 第二次用去余下的一 半少半少 10 米 第三次用去米 第三次用去 15 米 最后还剩米 最后还剩 9 米 那么这根绳子原来有多少米呢 米 那么这根绳子原来有多少米呢 解析解析 根据题意 画图倒推分析 米 15924 说明 多拿 多吃 多做 多用 在还原问题算式中表现为 少拿 少吃 少做 少用 在还原问题算式中表现为 精品文档 4欢迎下载 米 2410228 米 282260 综合算式 巩固巩固 2 2 一捆电线 第一次用去全长的一半多 一捆电线 第一次用去全长的一半多 3 3 米 第二次用去余下的一半少米 第二次用去余下的一半少 1010 米 第三次用去米 第三次用去 1515 米 最米 最 后还剩后还剩 7 7 米 这捆电线原来有多少米 米 这捆电线原来有多少米 解析 可依照题意画出右图 从线段图上可以看出 余下的一半余下的一半 第一次用去的第一次用去的 3 3 米米 图图 2 2 1010 米米第二次用去的第二次用去的 全长的一半全长的一半 7 7 米米第三次用去的第三次用去的 1515 米米 全长 米全长 米 巩固巩固 3 3 甲在加工一堆零件 第一天加工了这堆零件的一半又 甲在加工一堆零件 第一天加工了这堆零件的一半又 1010 个 第二天又加工了剩下的一半又个 第二天又加工了剩下的一半又 1010 个 个 还剩下还剩下 2525 个没有加工 问 这批零件有多少个 个没有加工 问 这批零件有多少个 解析解析 如右图所示 按照图与题目的条件 剩下的一半剩下的一半 图图 3 3 零件的一半零件的一半 1010 个 1010 个个 2525 个个 列综合算式 例例 6 货场原有煤若干吨 第一次运出原有煤的一半 第二次运进货场原有煤若干吨 第一次运出原有煤的一半 第二次运进 450450 吨 第三次又运出现有煤的一半吨 第三次又运出现有煤的一半 又又 5050 吨 结果剩余煤的吨 结果剩余煤的 2 2 倍是倍是 12001200 吨 货场原有煤多少吨 吨 货场原有煤多少吨 精品文档 5欢迎下载 第二次运进第二次运进 450450 吨吨 现有煤的一半现有煤的一半 第一次用去原有煤的一半第一次用去原有煤的一半 图 4 1 1 倍倍 第三次运出的第三次运出的 原有煤 吨原有煤 吨 12001200 吨吨 2 2 倍倍 5050 吨吨 结合上面的线段图 用倒推法进行分析 题中的数量关系就可以跃然纸上 使学生们一目了然 根据 剩余煤的 2 倍是 1200 吨 就可以求剩余煤的吨数 根据 第三次运出现有煤的一半又 50 吨 和剩余煤的吨数 就可以求出现有煤的一半是多少吨 进而可求出现有煤的吨数 用现有煤的吨数 减去第二次运进的 450 吨 就可以求出原有煤的一半是多少 最后再求出原有煤多少吨 1 剩余煤的吨数是 12002600 吨 2 现有煤的一半是 60050650 吨 3 现有煤的吨数是 65021300 吨 4 原有煤的一半是 1300450850 吨 5 原有煤的吨数是 85021700 吨 算式 算式 600 50600 50 2 2 450450 2 2 巩固 1 食堂买进一批大米 第一天吃了全部的一半少食堂买进一批大米 第一天吃了全部的一半少千克 第二天吃了余下的一半少千克 第二天吃了余下的一半少千克 最后剩下千克 最后剩下288122 千克 这批大米共有多少千克 千克 这批大米共有多少千克 巩固巩固 2 2 山顶上有棵桃数 一只猴子偷吃桃子 第一天偷吃了总数的一半多 山顶上有棵桃数 一只猴子偷吃桃子 第一天偷吃了总数的一半多 2 个 第二天又偷吃了剩下的一半个 第二天又偷吃了剩下的一半 多多 2 个 这时还剩个 这时还剩 1 个 问 树上原来有多少个桃子 个 问 树上原来有多少个桃子 巩固巩固 3 3 修建一条下水道 第一周修了全长的一半多 修建一条下水道 第一周修了全长的一半多米 第二周修了剩下的一半少米 第二周修了剩下的一半少米 第三周修了米 第三周修了1212 米 最后还剩米 最后还剩米 这条下水道长多少米 米 这条下水道长多少米 3018 解析解析 如下图 从图中可知是第一周修后余下的一半 米是下水道全长的一半 30181236 3621284 例例 7 小丽用小丽用 4 4 元买了一本元买了一本 童话大王童话大王 又用剩下的钱的一半买了一本 又用剩下的钱的一半买了一本 儿童时代儿童时代 买钢笔又用去第二次剩 买钢笔又用去第二次剩 精品文档 6欢迎下载 下的钱的一半多下的钱的一半多 1 1 元 最后还剩元 最后还剩 4 4 元 问 小丽原有多少钱 元 问 小丽原有多少钱 4 元第一次剩下的一半第一次剩下的一半 第二次剩下的一半第二次剩下的一半 1 元 4 元 解析解析 用倒推法 第二次剩下的一半是415 元 第二次剩下5 210 元 第一次剩下 10220 元 原来有20424 元 列综合算式 4 12 2424 巩固巩固 1 1 有一筐苹果 甲取出一半又 有一筐苹果 甲取出一半又 1 1 个 乙取出余下的一半又个 乙取出余下的一半又 1 1 个 丙取出再余下的一半又个 丙取出再余下的一半又 1 1 个 这时筐个 这时筐 里只剩下里只剩下 1 1 个苹果 这筐苹果共值个苹果 这筐苹果共值 6 6 元元 6 6 角 问每个苹果平均值多少钱 角 问每个苹果平均值多少钱 甲取出的甲取出的 余下的一半余下的一半 一半一半 再余下的一半再余下的一半 乙取出的乙取出的 1 个1 1 个个 1 1 个个1 个 丙取出的丙取出的 例例 8 2008 2008 年年 陈省身杯陈省身杯 国际青少年数学邀请赛国际青少年数学邀请赛 工程队要修一条小路 第一天修了全长的一半多工程队要修一条小路 第一天修了全长的一半多米 第二米 第二6 天修了余下的一半少天修了余下的一半少米 第三天修了米 第三天修了米 此时还剩下米 此时还剩下米没有修 则这条小路长米没有修 则这条小路长 米 米 203014 分析分析 如图 所示 先根据线段图理清数量关系 可得全长为 1 米 143020262108 一 1 14 一 一 一 30 20 6 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 巩固巩固 1 1 一个人沿着公园马路走了全长的一半后 又走了剩下路程的一半 还剩下 一个人沿着公园马路走了全长的一半后 又走了剩下路程的一半 还剩下 1 1 千米 问 公园马路全千米 问 公园马路全 长多少千米 长多少千米 解析解析 如图 剩下的一半剩下的一半全长的一半全长的一半 1 1 千米千米 精品文档 7欢迎下载 例例 9 思思看到织女在织布 她把一段五彩布第一次剪去一半 第二次又剪去余下的一半 这时还剩下思思看到织女在织布 她把一段五彩布第一次剪去一半 第二次又剪去余下的一半 这时还剩下 8 米 米 你知道这段五彩布原来长多少米吗 你知道这段五彩布原来长多少米吗 解析解析 根据题意 画出线段图 倒推分析 米 8216 米 16232 算式 8 2 2 巩固巩固 1 1 一群蚂蚁搬家 原存一堆食物 第一天运出总数的一半少 一群蚂蚁搬家 原存一堆食物 第一天运出总数的一半少 12 克 第二天运出剩下的一半少克 第二天运出剩下的一半少 12 克 结克 结 果窝里还剩下果窝里还剩下 43 克 问蚂蚁家原有食物多少克克 问蚂蚁家原有食物多少克 解析解析 采用倒推法 教师可画线段图帮助学生理解 如果第二天再多运出 12 克 就是剩下的一半 所以第一天 运出后 剩下的一半重量是 克 这样 第一天运出后剩下的重 克 那么同理 431231 31 262 一半的重量是 克 原有食物 克 即621250 502100 巩固巩固 2 2 一捆电线 第一次用去全长的一半多 一捆电线 第一次用去全长的一半多 3 米 第二次用去余下的一半少米 第二次用去余下的一半少 10 米 第三次用去米 第三次用去 15 米 最后米 最后 还剩还剩 7 米 这捆电线原有多少米 米 这捆电线原有多少米 巩固巩固 3 3 修建一条下水道 第一周修了全长的一半多 修建一条下水道 第一周修了全长的一半多米 第二周修了剩下的一半少米 第二周修了剩下的一半少米 第三周修了米 第三周修了1212 米 最后还剩米 最后还剩米 这条下水道长多少米 米 这条下水道长多少米 3018 解析解析 如下图 从图中可知是第一周修后余下的一半 米是下水道全长的一半 30181236 3621284 例例 10 桃园里来了第一群猴子 吃去桃子总数的一半又半个 第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个 第桃园里来了第一群猴子 吃去桃子总数的一半又半个 第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个 第 三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个 这时桃园里还只有这时桃园里还只有 100 个桃了个桃了 那么园中原有多少桃 那么园中原有多少桃 解析解析 第三群猴没吃 相应有桃 个 1000 5 2201 第二群猴没吃 相应有桃 个 2010 5 2403 第一群猴没吃 相应有桃 即桃园中原有桃 个 4030 5 2807 算式 100 0 5 2 0 5 2 0 5 2 精品文档 8欢迎下载 巩固巩固 1 1 山顶上有棵桃数 一只猴子偷吃桃子 第一天偷吃了总数的一半多 山顶上有棵桃数 一只猴子偷吃桃子 第一天偷吃了总数的一半多 2 个 第二天又偷吃了剩下的一半个 第二天又偷吃了剩下的一半 多多 2 个 这时还剩个 这时还剩 1 个 问 树上原来有多少个桃子 个 问 树上原来有多少个桃子 例例 11 刚打完篮球 冬冬觉得非常渴 就拿起一大瓶矿泉水狂喝刚打完篮球 冬冬觉得非常渴 就拿起一大瓶矿泉水狂喝 他第一口就喝了整瓶水的一半 第二口又喝他第一口就喝了整瓶水的一半 第二口又喝 了剩下的了剩下的 第三口则喝了剩下的 第三口则喝了剩下的 第四口再喝剩下的 第四口再喝剩下的 第五口喝了剩下的 第五口喝了剩下的 此时瓶子里还剩此时瓶子里还剩 1 3 1 4 1 5 1 6 0 5 升矿泉水 那么最开始瓶子里有几升矿泉水 升矿泉水 那么最开始瓶子里有几升矿泉水 解析解析 最开始瓶子里有矿泉水 0 5 1 1 1 1 1 1 2 1 6 1 5 1 4 1 3 即 升 11111 0 5111113 23456 巩固巩固 1 1 有一堆棋子 把它四等分后剩下一枚 取走三份又一枚 剩下的再四等分又剩一枚 再取走三份又一 有一堆棋子 把它四等分后剩下一枚 取走三份又一枚 剩下的再四等分又剩一枚 再取走三份又一 枚 剩下的再四等分又剩一枚 每份一枚枚 剩下的再四等分又剩一枚 每份一枚 问 原来至少有多少枚棋子 问 原来至少有多少枚棋子 详解详解 棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为 1 枚 由此逆推 得到 第三次分之前有 枚 1 415 第二次分之前有 枚 54 121 第一次分之前有 枚 21 4 1 85 巩固巩固 2 2 有一堆棋子 把它四等分后剩下一枚 取走三份又一枚 剩下的再四等分又剩一枚 再取走三份又一 有一堆棋子 把它四等分后剩下一枚 取走三份又一枚 剩下的再四等分又剩一枚 再取走三份又一 枚 剩下的再四等分又剩一枚 每份两枚枚 剩下的再四等分又剩一枚 每份两枚 问 原来至少有多少枚棋子 问 原来至少有多少枚棋子 板块二 多个变量的还原问题板块二 多个变量的还原问题 例例 12 三人有不等的存款 只知如果甲给乙三人有不等的存款 只知如果甲给乙 4040 元 乙再给丙元 乙再给丙 3030 元 丙再给甲元 丙再给甲 2020 元 给乙元 给乙 7070 元 这样三人各元 这样三人各 有有 240240 元 三人原来各有存款多少元 元 三人原来各有存款多少元 解析解析 甲 元 2404020260 乙 元 240403070160 丙 240302070300 巩固巩固 1 1 小巧 小亚 小红共有 小巧 小亚 小红共有个玻璃球 小巧给小亚个玻璃球 小巧给小亚个 小亚给小红个 小亚给小红个 小红给小巧个 小红给小巧个 他们的玻个 他们的玻90658 璃球个数正好相等 小巧 小亚 小红原来各有多少个玻璃球 璃球个数正好相等 小巧 小亚 小红原来各有多少个玻璃球 精品文档 9欢迎下载 巩固巩固 2 2 三棵树上共有 三棵树上共有 3636 只鸟 有只鸟 有 4 4 只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上 有只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上 有 8 8 只鸟从第二棵树上飞到第三棵只鸟从第二棵树上飞到第三棵 树树 上 有上 有 1010 只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上 这时 三棵树上的鸟同样多 原来每棵树上各有几只鸟只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上 这时 三棵树上的鸟同样多 原来每棵树上各有几只鸟 巩固巩固 3 3 三棵树上共有 三棵树上共有 2727 只鸟 从第一棵飞到第二棵只鸟 从第一棵飞到第二棵 2 2 只 从第二棵飞到第三棵只 从第二棵飞到第三棵 3 3 只 从第三棵飞到第一棵只 从第三棵飞到第一棵 4 4 只 这时 三棵树上的鸟同样多 原来每棵树上各有几只鸟 只 这时 三棵树上的鸟同样多 原来每棵树上各有几只鸟 巩固巩固 4 4 三个笼子里共养了 三个笼子里共养了 7878 只鹦鹉 如果从第只鹦鹉 如果从第 1 1 个笼子里取出个笼子里取出 8 8 只放到第只放到第 2 2 个笼子里 再从第个笼子里 再从第 2 2 个笼子里取出个笼子里取出 6 6 只放到第只放到第 3 3 个笼子里 那么个笼子里 那么 3 3 个笼子里的鹦鹉一样多 求个笼子里的鹦鹉一样多 求 3 3 个笼子里原来各养了多少只鹦鹉个笼子里原来各养了多少只鹦鹉 巩固巩固 5 5 解放军某部参加抗震救灾 从第一队抽调一半人支援第二队 抽调 解放军某部参加抗震救灾 从第一队抽调一半人支援第二队 抽调 3535 人支援第三队 又抽调剩下的一人支援第三队 又抽调剩下的一 半支援第四队 后来又调进半支援第四队 后来又调进 8 8 人 这时第一队还有人 这时第一队还有 3030 人 求第一队原有多少人 人 求第一队原有多少人 例例 13 甲 乙两班各要种若干棵树 如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班 乙班再从现有的树中也拿出与甲甲 乙两班各要种若干棵树 如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班 乙班再从现有的树中也拿出与甲 班同样多的树给甲班 这时两班恰好都有班同样多的树给甲班 这时两班恰好都有 28 棵树 问甲 乙两班原来各有树多少棵 棵树 问甲 乙两班原来各有树多少棵 解析解析 如果后来乙班不给与甲班同样多的树 甲班应有树 棵 乙班有 棵 如果开28214 281442 始不从甲班拿出与乙班同样多的树 乙班原有树 棵 甲班原有树 棵 列表42221 142135 倒推如下 甲班乙班 原来 3521 第一次后 35 21 1421 14 42 第二次后 14 14 2842 14 28 巩固巩固 1 1 一班 二班 三班各有不同数目的图书 如果一班拿出本班的一部分图书分给二班 三班 使这两个 一班 二班 三班各有不同数目的图书 如果一班拿出本班的一部分图书分给二班 三班 使这两个 班的图书各增加一倍 然后二班也拿出一部分图书分给一班 三班 使这两个班的图书各增加一倍 接班的图书各增加一倍 然后二班也拿出一部分图书分给一班 三班 使这两个班的图书各增加一倍 接 着三班也拿出一部分图书分给一班 二班 使这两个班的图书各增加一倍 这时 三个班的图书数目都着三班也拿出一部分图书分给一班 二班 使这两个班的图书各增加一倍 这时 三个班的图书数目都 是是 48 本 求三个班原来各有图书多少本 本 求三个班原来各有图书多少本 解析解析 我们可采用倒推法 再结合列举法进行分析推理 在每一次重新变化后 三个班的图书总数目是一个不 变的数 由此 可从最后三个班的图书数目都是 48 本出发进行倒推 求每一次重新变化以前三个班各自 的图书数目 逐步倒推出原有的图书数目 依据题意可知 一班 二班的图书数目各增加一倍才是 48 本 因此增加前各应有 24 本 所以一班 二班的图书数目各应减半 还给三班 其余各次 以此类推 把倒 推解答的过程用下表表示 一班 二班 三班 结果 48 48 48 精品文档 10欢迎下载 第三次 第二次 第一次 巩固巩固 2 2 甲 乙 丙 甲 乙 丙 3 3 人共有人共有 192192 张邮票 从甲的邮票中取出乙那么多给乙后 再从乙的邮票中取出丙那么多张邮票 从甲的邮票中取出乙那么多给乙后 再从乙的邮票中取出丙那么多 给丙 最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲 这时甲 乙 丙给丙 最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲 这时甲 乙 丙 3 3 人邮票数相同 甲 乙 丙原来各有多人邮票数相同 甲 乙 丙原来各有多 少张 少张 解析解析 甲 乙 丙原共有 192 张邮票 经过三次交换后 甲乙丙三人仍有邮票 192 张 而且三人邮票数相同 即 3 人各有邮票 张 第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲 说明这次交换前甲有192364 邮票 张 丙有邮票 张 依此类推 就可以推出答案了 最后相等时各有64232 643296 张 列表倒推如下 192364 甲 张 乙 张 丙 张 最后 646464 前次 再前次 原来 巩固巩固 3 3 有甲 乙两堆棋子 其中甲堆棋子多于乙堆 现在按如下方法移动棋子 第一次从甲堆中拿出和乙堆 有甲 乙两堆棋子 其中甲堆棋子多于乙堆 现在按如下方法移动棋子 第一次从甲堆中拿出和乙堆 一样多的棋子放到乙堆 第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆 第三次又从甲堆一样多的棋子放到乙堆 第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆 第三次又从甲堆 中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆 照此移法 移动三次后 甲 乙两堆棋子数恰好都是中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆 照此移法 移动三次后 甲 乙两堆棋子数恰好都是 3232 个 问个 问 甲 乙两堆棋子原来各有多少个 甲 乙两堆棋子原来各有多少个 甲乙 结果 第三次交换前 第二次交换前 第一次交换前 巩固巩固 4 4 甲 乙 丙三人各有铜板若干枚 开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙 丙 使乙 丙的铜板数各增 甲 乙 丙三人各有铜板若干枚 开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙 丙 使乙 丙的铜板数各增 加了加了 1 倍 乙把自己的铜板拿出一部分给甲 丙 使甲 丙的铜板数各增加了倍 乙把自己的铜板拿出一部分给甲 丙 使甲 丙的铜板数各增加了 1 倍 丙把自己的铜板拿出一部分倍 丙把自己的铜板拿出一部分 给乙 甲 使乙 甲的铜板数各增加了给乙 甲 使乙 甲的铜板数各增加了 1 倍 这时三人铜板数都是倍 这时三人铜板数都是 8 枚 原来每人各有几枚 枚 原来每人各有几枚 甲乙丙 结果 第三次交换前 第二次交换前 第一次交换前 精品文档 11欢迎下载 例例 14 3 3 个探险家结伴去原始森林探险 路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌 第一局 甲输给了乙和丙 使他们每个探险家结伴去原始森林探险 路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌 第一局 甲输给了乙和丙 使他们每 人的钱数都翻了一番 第二局 甲和乙一起赢了 这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍 第三局 甲和丙又人的钱数都翻了一番 第二局 甲和乙一起赢了 这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍 第三局 甲和丙又 赢了 这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍 结果 这赢了 这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍 结果 这 3 3 位探险家每人都赢了两局而输掉了一局 最后位探险家每人都赢了两局而输掉了一局 最后 3 3 人手人手 中的钱是完全一样的 细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了中的钱是完全一样的 细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了 100100 元 你能推算出来甲 乙 丙元 你能推算出来甲 乙 丙 3 3 人刚开始各有多少钱吗 人刚开始各有多少钱吗 解析解析 假设最后每个人手中的钱是 8 份 三人总共 24 份 利用倒推法 甲乙丙 第三局后 888 第二局后4 164 第一局后 2814 开始 1347 从开始到最后甲的份数少了份 说明每份是元 138 10013820 所以刚开始时 甲有 元 乙有 元 丙有 元 1320260 42080 720140 巩固巩固 1 1 甲乙丙三人各有糖豆若干粒 甲从乙处取来一些 使自己的糖豆增加了一倍 接着乙从丙处取来一些 使 甲乙丙三人各有糖豆若干粒 甲从乙处取来一些 使自己的糖豆增加了一倍 接着乙从丙处取来一些 使 自己的糖豆也增加了一倍 丙再从甲处取来一些 也使自己的糖豆增加了一倍 现在三人的糖豆一样多 如果开始时甲自己的糖豆也增加了一倍 丙再从甲处取来一些 也使自己的糖豆增加了一倍 现在三人的糖豆一样多 如果开始时甲 有有 5151 粒糖豆 那么乙最开始有多少粒糖豆 粒糖豆 那么乙最开始有多少粒糖豆 解析解析 先假设后来三个人都是 4 份 甲乙丙 丙取后 444 乙取后 甲取后 开始 例例 15 有甲 乙 丙三个油桶 各盛油若干千克有甲 乙 丙三个油桶 各盛油若干千克 先将甲桶油倒入乙 丙两桶 使它们各增加原有油的一倍 再将乙先将甲桶油倒入乙 丙两桶 使它们各增加原有油的一倍 再将乙 桶油倒入丙 甲两桶 使它们的油各增加一倍 最后按同样的规律将丙桶油倒入甲 乙两桶桶油倒入丙 甲两桶 使它们的油各增加一倍 最后按同样的规律将丙桶油倒入甲 乙两桶 这时 各桶油都这时 各桶油都 是是 1616 千克千克 问 各桶原有油多少千克 问 各桶原有油多少千克 解析解析 列表逆推如下 甲 桶乙 桶丙 桶 初始状态414826 28214 1628 第一次变化824 841628 32216 第二次变化1628 1628 168832 第三次变化 161616 原来甲 乙 丙桶分别有油 26 14 8 千克 逆推时注意 每次变化时 有两桶各增加了一倍 逆推时应分别除以 2 另一桶减少了上述两桶增加的数 逆推时应使用加法 巩固巩固 1 1 第四届 第四届 小数报小数报 数学竞赛决赛试题 数学竞赛决赛试题 A B C三个油桶各盛油若干千克 第一次把三个油桶各盛油若干千克 第一次把A桶的一部分桶的一部分 油倒入油倒入B C两桶 使两桶 使B C两桶内的油分别增加到原来的两桶内的油分别增加到原来的 2 倍 第二次从倍 第二次从B桶把油倒入桶把油倒入C A两桶 使两桶 使 C A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的 2 倍 第三次从倍 第三次从C桶把油倒入桶把油倒入A B两桶 使两桶 使A B两两 桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的 2 倍 这样 各桶的油都为倍 这样 各桶的油都为 16 千克 问千克 问A B C三个油桶原三个油桶原 来各有油多少千克 来各有油多少千克 解析解析 用 倒推法 列出下表 ABC 精品文档 12欢迎下载 结果 第三次倒之前 第二次倒之前 第一次倒之前 巩固巩固 2 2 三个容器各放一些水 第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器 使得它们的水分别增加到原来的 三个容器各放一些水 第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器 使得它们的水分别增加到原来的 2 2 倍与倍与 3 3 倍 第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中 使它们的水分别增加到倍 第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中 使它们的水分别增加到 3 3 倍与倍与 2 2 倍 第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中 使它们的水都增加到倍 第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中 使它们的水都增加到 2 2 倍 这时三个容倍 这时三个容 器中的水都为器中的水都为 9696 毫升 原来三个容器中各有多少毫升水 毫升 原来三个容器中各有多少毫