第2章习题解答

17 第二章 正弦交流电路 2 1 两同频率的正弦电压 求出它们的有V 60cos 4 V 30sin 10 21 tutu 效值和相位差 解 将两正弦电压写成标准形式 V 18030sin 10 1 tu V 9060sin 4 2 tu 其有效值为 V07 7 2 10 1 UV83 2 2 4 2 U 150 150210 21 或 60 21 2 2 已知相量 试写出它 21421321 32 j2 2 j32AAAAAAAA 们的极坐标表示式 解 304e4 2 1 j 2 3 4 30j 1 A 604 2 3 j 2 1 4 2 A 312 2 32j 22 3 2 31 1j 2 2 13 45AAA 412 4 4 306016 90j16AAA 2 3 已知两电流 若 求 i 并画A 45314cos 5 A 30314sin 2 21 titi 21 iii 出相图 解 两电流的幅值相量为A 9045314sin 5 2 ti 1m 2 30 AI A1355 m2 I 总电流幅值相量为 135sinj135 cos5 30sinj30 cos2 m21mm III 18 11285 4 53 4 j80 1 2 25 1 j 2 25 3 A 112314sin 85 4 tti 相量图如右图所示 2 4 某二端元件 已知其两端的电压相量为 电流相量为V120220 U f 50HZ 试确定元件的种类 并确定参数值 A305 I 解 元件的阻抗为 44j9044 305 120220 I U Z 元件是电感 44 L H14 0 50 2 4444 L 2 5 有一 10 F 的电容 其端电压为 求流过电容的电流V 60314sin 2220 tu i 无功功率 Q 和平均储能 WC 画出电压 电流的相量图 解 60220U 6 11 318 314 10 10 c X C A15069 0 318j 60220 j C X U I A 150314sin 269 0 tti 电流超前电压 90 相量图如右图所示 QC UI 220 0 69 152var 262 11 10 102200 242J 22 C WCU 2 6 一线圈接在 120V 的直流电源上 流过的电流为 20A 若接在 220V 50HZ的交 流电源上 流过的电流为 22A 求线圈的电阻 R 和电感 L 解 线圈可看作是电感 L 与电阻 R 的串联 对直流电 电感的感抗等 于 0 故电阻为 6 20 120 I U R 通以 50Hz 的交流电时 电路的相量模型如右图所示 IXRIXIRUUU LLLR j j IXRU L 22 R U L U U I R jXL I U 60 1 1 112 m I1 m I2 m I 19 86 22 220 2222 R I U XL 8 0 025H25 5mH 314 L X L 2 7 在题 2 7 图所示的电路中 电流表 A1和 A2的读数分别为 I1 3A I2 4A 1 设 Z1 R Z2 jXC 则电流表 A0的读数为多少 2 设 Z1 R 则 Z2为何种元件 取何值时 才能使 A0的读数最大 最大值是多少 3 设 Z1 jXL 则 Z2为何种元件时 才能使 A0的读数为最小 最小值是多少 解 Z1 Z2并联 其上电压相同 1 由于 Z1是电阻 Z2是电容 所以 Z1与 Z2中的电流 相位相差 90 故总电流为 A0读数为 5A A543 22 2 Z1 Z2中电流同相时 总电流最大 因此 Z2为电 阻 R2时 A0读数最大 最大电流是 7A 且满足 RI1 R2I2 因 此 RR I I R 4 3 2 1 2 3 Z1 Z2中电流反相时 总电流最小 现 Z1为电感 则 Z2为容抗为 XC的电容时 A0读数最小 最小电流是 1A 且满足 3XL 4XC 因此 LC XX 4 3 2 8 在题 2 8 图所示的电路中 I1 5A I2 5A U 220V R XL 求 XC XL R2 和 I 解 由于 R XL 故滞后 各电压电流的相量图如图所示 由于 I1 I2sin45 2 I 45U 所以 I1 I2和 I 构成直角三角形 与同U I 相 且 I I1 5A A1 A0 A2 Z2Z1 题2 7图 R jXL jXC 题2 8图 I 1 I 2 I U 45 1 I I 1 I 2 I 1 U U 20 44 5 220 1 I U XC 2 44 25 220 2 22 I U XR L 22 2 44 L XR 2 9 在题 2 9 图所示的电路中 已知 R1 R2 10 L 31 8mH C 318 f 50HZ U 10V F 求各支路电流 总电流及电容电压 解 XL L 314 31 8 10 3 10 6 11 10 314 318 10 C X C 电路的总阻抗 Z R1 jXL R2 jXC 10 10j1010j10 10j10 10j10 设 则V010 U A01 Z U I A45 2 2 10j10 010 j 1 1 L XR U I A45 2 2 10j10 010 j 2 2 C XR U I V452545 2 2 10jj 2 IXU CC 2 10 阻抗 Z1 1 j Z2 3 j 并联后与 Z3 1 j0 5 串联 求整个电 路的等效阻抗和等效导纳 若接在的电源上 求各支路电流 并画出相量图 V3010 U 解 等效阻抗 25 0 j1 j3j1 j3 j1 321 ZZZZ 等效导纳 S5 0 1 Z Y R2R1 L C 题2 9图 U 1 I I 2 I C U 21 接上电源后 305 2 3010 Z U I A 6 1195 3 305 4 j3 21 2 1 I ZZ Z I A7577 1 305 4 j1 21 1 2 I ZZ Z I 电压 电流相量图如图所示 2 11 在题 2 11 图所示的移相电路中 若 C 0 318 输入电压为 F 欲使输出电压超前输入电压 求 R 的 V 314sin24 1 tu 30 值并求出 2 U 解 4 6 11 10 314 0 318 10 C X C 由分压公式得 112 10000jj U R R U XR R U C 欲使超前 复数 R j10000 的辐角应为 30 即 2 U 30 1 U 30 10000 arctan R k 3 17310 30tan 10000 4 R V303204 10j310 310 44 4 2 U 2 12 题 2 12 图所示电路中 U 120V 求 1 各支路电流及总电流 2 电路的 平均功率 无功功率 视在功率和功率因数 解 设 则V0120 U 1 A8 15 1 U I A901212j 10j 2 U I 1 I I 2 I U 30 75 题2 11图 C R 1 U 2 U 题2 12 图 U I 1 I 3 I 2 I 15 j10 j20 22 A9066 j 20j 3 U I 123 8j12j68j610 36 9 AIIII 电流超前电压 36 9 电路呈容性 2 W960 9 36cos 10120cos UIP var720 9 36sin 10120sin UIQ AV120010120 UIS 8 0 9 36cos 2 13 题 2 13 图所示电路中 C 20 求总电路和二端电路 N 的有功V 45314sin 2220 tuA 30314sin 25 ti F 功率 无功功率和功率因素 解 V45220 U A305 I 153045 由于电容的有功功率等于 0 无功功率 var304 1020314 1 220 6 22 C C X U Q 故 W106215 cos5220cos N UIPP var28515sin5220sin UIQ var589 304 285 N C QQQ cos150 966 875 0 2 N 2 N N N QP P 2 14 三个负载并接在 220V 的正弦电源上 其功率和电流分别为 P1 4 4kW I1 44 7A 感性 P2 8 8kW I2 50A 感性 P3 6 6kW I 66A 容性 求各负 载的功率因数 整个电路的功率因数及电源输出的电流 解 设各负载的视在功率为 S1 S2和 S3 则 4470 744220 1044 3 1 1 1 1 1 UI P S P 4 63447 0 arccos 1 800 50220 1088 3 2 2 2 2 2 UI P S P 9 368 0arccos 2 N uC i 题2 13图 23 4540 66220 1066 3 3 3 3 3 3 UI P S P 负载为容性 故 63454 0arccos 3 各负载的无功功率为 var108 8tan 3 111 PQvar106 6tan 3 222 PQ var1013tan 3 333 PQ 根据有功功率守恒和无功功率守恒 得 var104 2 3 321 QQQQW10 8 19 3 321 PPPP 9930 22 QP P 总电流即电源电流为 A 6 90 993 0220 10 8 19 cos 3 U P I 2 15 一额定容量为 10kA V 额定电压为 220V 额定频率为 50HZ的交流电源 如 向功率为 8kW 功率因数数为 0 6 的感性负载供电 电源电流是否超过额定电流值 如 要将功率因数提高到 0 95 需并联多大的电容 并联电容后 电源电流是多少 还可以 接多少只 220V 40W 的灯泡 解 电源额定电流为 负载电流为 超过电源额定电 A45 45 220 1010 3 A 6 60 6 0220 108 3 流 将负载的功率因数从 0 6 提高到 0 95 需并联的电容容量为 F528 95 0 tan arccos 6 0s tan arcco 220314 108 tantan 2 3 0 2 U P C 并联电容后 电源电流为 A3 38 95 0 220 108 95 0 3 U P I 24 设并联电容后还可接入 n 只 40W 灯泡 接入 n 只灯泡后的功率因数角为 则 有功功率 8000 40n 104cos 无功功率 8000sin arccos0 95 104sin 解得 14 5 n 42 07 故还可接 42 只灯泡 2 16 有一 RLC 串联电路 与 10V 50HZ的正弦交流电源相连接 已知 R 5 L 0 2H 电容 C 可调 今调节电容 使电路产生谐振 求 1 产生谐振时的电 容值 2 电路的品质因数 3 谐振时的电容电压 解 1 由得 1 0 LC F 7 50F 2 0314 11 22 0 L C 2 5612 5 20314 0 R L Q 3 V 6 1251056 12 0 QUUC 2 17 一个电感为 0 25mH 电阻为 13 7 的线圈与 85pF 的电容并联 求该并联电 路的谐振频率 品质因数及谐振时的阻抗 解 由于 故谐振频率为 713 1085 10250 12 3 R C L MHz09 1 10851025 0 32 1 2 1 123 0 LC f 品质因数 125 7 13 1025 0 1009 1 14 3 2 36 0 R L Q 谐振时 等效电导为 22 0 2 0 L R R G 等效阻抗为 22222 220 0 2 0 1 1 13 7 1 125 214k RLL RRRRQ GRR 25 2 18 题 2 18 图电路中 电源电压为 110V 频率为 50HZ 与 4522ZI 同相 求 1 各支路电流及电路的平均功率 画出相量图 2 电容的容量 C U 解 由于 Z 的阻抗角为 45 故滞后45 各支路 2 I U 电流及电压的相量图如图所示 1 A5 22 110 Z U IZA5 3 2 2 545cos Z II A5 3 IIC W385 2 2 511045cos 2 UIPP Z 2 由得 CUIC F102F 110314 5 3 U I C C 2 19 对称星形联结的三相负载 Z 6 j8 接到线电压为 380V 的三相电源上 设 求各相电流 相电压 用相量表示 V0380 AB U 解 线电压为 380V 相电压为 220V 各相电压为 V90220 V150220 V30220 WVU UUU 各相电流为 A 1 8322 8 j6 30220 U U Z U I A9 1562210 20322 V I A 9 3622 W I 2 20 对称三角形联结的三相负载 Z 20 j34 6 接到线电压为 380V 的三相电 源上 设 求各相电流和线电流 用相量表示 V30380 UV U 解 6040 6 34j20Z 各相电流为 A305 9 6040 30380 UV UV Z U I A1505 9 VW I 45 C I I Z I U C I I U CZ C I Z I 题2 18图 26 A905 9 WU I 各线电流为 A60 5 16303 UVU II A180 5 16 V I A60 5 16 W I 2 21 两组三相对称负载 Z1 10 星形联结 Z2 10 j17 3 三角形联结 接到相电压为 220V 的三相电源上 求各负载电流和线电流 解 设 则V0220 U U V30380 UV U 连接 Z1的线电流为 亦为 Z1中的电流 A022 1 U 1U Z U I 三角形联结负载 Z2中的电流为 A3019 6020 30380 3 17j10 30380 2 UV 2UV Z U I 连接 Z2的线电流 A60319303 UV22U II 总线电流 A 5 36 9 4760319022 2U1UU III 2 22 题 2 22 所示电路中 三相对称电源相电压为 220V 白炽灯的额定功率为 60W 日光灯的额定功率为 40W 功率因数为 0 5 日光灯和白炽灯的额定电压均为 220V 设 求各线电流和中性线电流 V0220 U U 解 为简便计 设中性线上压降可忽略 这样 各相负载电压仍对称 故三个灯炮 中的电流相等 均为 因此A27 0 220 60 A027 0 U I A12027 0 V I W 相灯泡电流 A12027 0 W I 日光灯中电流 V U N W 日 光 灯 白 炽 灯 题2 22图 27 A36 0 5 020 40 cos W U P I 由于是感性负载 电流滞后 W 相电压 即 605 0arccos A6036 0 6012036 0 W I W 相线电流 A 3 8555 0 6036 0 12027 0 WWW III 中性线电流 A6036 0 6036 0 12027 012027 0 027 0 WVUN IIII 2 23 阻抗均为 10 的电阻 电容 电感 分别接在三相对称电源的 U 相 V 相和 W 相中 电源相电压为 220V 求 1 各相电流和中性线电流 2 三相平均功率 解 由题意知 负载是星形联结 设V0220 U U 1 U U 22 0 A 10 U I A3022 10j 120220 j V V C X U I A3022 10j 120220 j W W L X U I 3030122 WVUN IIII A06030sinj30cos30sinj30cos122 2 由于电容 电感不消耗功率 故三相平均功率等于电阻的功率 即 2 220 4 84kW 10 R PP 2 24 功率为 3kW 功率因数为 0 8 感性 的三相对称负载 三角形联结在线电压 为 380V 的电源上 求线电流和相电流 解 由得3cos ll PU I 28 A68 5 8 03803 3000 cos3 l l U P I 3 28A 3 l P I I 2 25 求题 2 21 电路的总功率和功率因数 解 由 2 21 题知 时 即阻抗角为 V0220 U U A 5 36 9 47 U I 5 36 线电流为 47 9A 因此 总功率 3cos347 9 380cos 36 5 25 4kW ll PI U 功率因数 8 0 5 36cos 2 26 验证图 2 8 1 b 所示三角波电压的傅里叶级 数展开式 并求出当 Um 123V 时的有效值 解 三角波电压在一个周期 内的表示式为 mm 2 2 UtU 2 t tu tU m 2 2 2 t mm 2 2 UtU 2 t 由于是奇函数 故其傅里叶级数展开式中 系数 A0 0 Ckm 0 tu m dsin 1 ttktuBk mm 22 2 2211 sind sind UU tk tttk tt m 2 21 sind U tk tt 对第一个积分式作变量变换后 与第三个积分式相同 故 2 2 2 2 2 m m dsin 2 dsin 4 ttkt U ttkt U B m k mm 22 22 2 222 42 coscosd coscosd UU tk tk tttk tk tt kk mm 22 42 1 1 cossin sin2cossin2 222222 UU kkkkk kkkk 2 O Um Um 图2 8 1 b t u 29 m 22 8 sin 2 Uk k 0 12 1 8 2 1 2 m l U l lk l lk 2 12 为自然数 tl l ttt U tu l 12sin 12 1 5sin 25 1 3sin 9 1 sin 8 2 1 2 m Um 123V 时 V sin 25 1 3sin 9 1 sin100 ttttu 各谐波分量有效值为 2 100 1 U 29 100 3 U 225 100 5 U 总有效值 V2 71 25 1 9 1 1 2 100 22 2 3 2 1 UUU 2 27 求题 2 27 图所示半波整流电压的平均值和有效值 解 半波整流电压在一个周期内可表示为 m 2 sin0 2 0 2 T Utt T u t T tT 电压平均值 2 om 00 112 dsind T T Uu ttUt t TTT 0 mm m 2 2 cos0 32 2 UUT tU TT 电压有效值 222 2 m 00 112 dsind T T UuttUt t TTT 2 mm 2 m 0 4 1 cos d0 5 22 T UU ttU TT u t T 2T O 题2 27图 30 2 28 在题 2 28 图所示电路中 L 1H R 100 ui 20 100sin t 70sin3 t 基波 频率为 50Hz 求输出电压 uO及电路消耗的功率 解 电感对直流相当于短路 故输出电压中直流分量 UO 20V 由分压公式得 uO 中基波分量为 V 3 72 3 30 1314j100 100100 0100 j m1 LR R U 电流中基波分量为 A 3 72 2 303 0 2 1 m1 1 R U I 三次谐波分量为 V 9 834 7 3314j100 70100 070 3 j m3 LR R U A 9 83 2 074 0 3 I V 9 833sin 4 7 3 72sin 3 3020 O ttu 电路消耗的功率