第三章习题答案

3 3 电场中有一个半径为 a 的圆柱体 已知圆柱体内 外的电位函 数分别为 求圆柱体内 外的电场强度 1 2 2 0 cos a a Aa 解 由 可以得到 E 时 a 0 E 时 a 22 22 1 cos 1 sin aa AA Eee 3 5 一半径为 R0的介质球 介电常数为 其内均匀分布自由电 0r 荷 试证明该介质球中心点的电位为 2 0 0 21 23 r r R 证 根据高斯定律 得到 s dq A A DS 时 0 rR 3 2 1 4 4 3 r r D 即 1 3 r D 1 0 3 r r E 时 0 rR 3 2 0 2 4 4 3 R r D 即 3 0 2 2 3 R D r 3 0 2 2 0 3 R E r 则得到中心点的电位为 00 00 3 0 12 2 00 00 2 0 0 0 33 21 23 RR RR r r r Rr E drE drdrdr r R 3 9 有一个半径为 a 带电荷量 q 的导体球 其球心位于两种介质 的分界面上 此两种介质的介电常数分别为和 分界面可视为 1 2 无限大平面 求 1 球的电容 2 总静电能 a q o 1 2 解 1 根据边界条件 在两种介质的分界面上 故有 12tt EE 由于 由高斯定律得到 11 EEE 111222 DEDE 即 1122 D SD Sq 22 12 22rErEq 所以 2 12 2 q E r 导体球的电位 2 1212 2 2 aa qq Edrdr ra 因此 导体球的电容为 12 2 q Ca 2 总的静电能量为 2 12 1 24 e q Wq a 3 11 填充有两层介质的同轴电缆 内导体半径为 a 外导体半径 为 c 介质的分界面半径为 b 两层介质的介电常数为 1 和 2 电导率为 1 和 2 设内导体的电压为 U0 外导体接地 求 1 两导体之间的电流密度和电场强度分布 2 同轴电缆单位 长度的电容及漏电阻 J 1 2 1 2 I 外导体外导体 内导体内导体 介质介质2 2 介质介质1 a b c 11 22 0 U 解 1 设同轴电缆中单位长度的径向电流为 I 则由 可得电流密度 S d JSI 2 I Jeac 介质中的电场 1 11 2 JI Eeab 2 22 2 JI Eebc 由于 012 12 ddln ln 2 2 bc ab IbIc UEE ab 得到 120 21 2 ln ln U I b ac b 则得到两种介质中的电流密度和电场强度为 120 21 ln ln U Jeac b ac b 20 1 21 ln ln U Eeab b ac b 10 2 21 ln ln U Eebc b ac b 2 同轴电缆单位长度的漏电阻为 021 12 ln ln 2 Ub ac b R I 单位长度的电容为 12 21 2 ln ln C b ac b 3 19 同轴线的内导体是半径为 a 的圆柱 外导体是半径为 b 的圆 柱面 其厚度可忽略不计 内 外导体间填充有磁导率分别为和 1 的两种不同的磁介质 如图所示 设同轴线中通过的电流为 I 2 求 1 同轴线中单位长度所储存的磁场能量 2 单位长度的 自感 b a I 2 1 e 解 同轴线的内外导体之间的磁场沿方向 如图红线所示 在两 e 种磁介质的分界面上 磁场只有法向分量 根据边界调节可知 两 种磁介质中的磁感应强度 但磁场强度 12 BBB 12 HH 1 利用安培环路定律 当时 有 所以 ra 2 0 0 2 2 I rBr a 0 0 2 r a 2 I Br a 当时 有 arb 12 r HHI 由于以及 所以得到 12 12 12 BB HH 12 BBB 12 12 a r b I B r 因此 同轴线中单位长度储存的磁场能量为 222 0 0 012 22 012 2 0 01212 22 012 12 111 2 222 11111 2 222 ln 162 abb m aa ab a