立体几何中的向量方法教学设计

3 2 立体几何中的向量方法教学设计 端氏中学 张淑芬 课题 3 2 1 空间点 线 面及 其位置关系的向量表示 课型新授第几课时 1 教 学 目 标 知识与技能 1 理解并能求平面的法向量 2 利用平面的法向量 直线的方向向量 判定直线与直线 直线与平面 平面与平面的关系 过程与方法 经历用向量解决某些问题 体会向量是一 种处理几何问题的工具 情感 态度与价值观 通过本节课的学习 体验创造的 激情 培养学生发现 提出 解决问题的能力 教学 重 点 与 难 点 重点 空间线线 线面 面面关系的判定 难点 在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转 化与恰当的运算方式 教 学 方 法 与 手 段 借助导学案引导学生运用类比的方法理解空间线 面位 置及其关系可以由向量来确定 通过合作 交流 展示实现 教学环节 运用多媒体呈现空间向量表示空间线面的位置关系的结 论和课堂巩固与小结 教学流程 教师行为学生行为 一 导入 平面向量 空间向量 向量渐渐成为重要工具 立体几何问题 回顾 前期所学 的空间向 量已经解 决了的部 分立体几 何问题 推广到 研究 研究的对象是点 线 面以及由它们所组成的空间图 形 从今天开始 我们将进一步体会向量这一工具在立 体几何中的应用 感知向量 这一工具 在解决立 体几何方 面的优势 二 新课探究 1 思考 1 如何确定一个点在空间的位置 位置向量 2 如何确定一条直线在空间的位置 一点及方向向量 3 如何确定一个平面在空间的位置 有几种方法 两种方法 一点及两个定方向 一定点及一个定方向 引入直线的方向向量和平面的法向量这两个重要的概念 2 概念生成 a 点的位置向量 学生可以 首先回忆 平面内一 点及一条 直线的位 置是如何 用向量来 确定的 进而类比 得到空间 中点 线 面位置的 确定 1 思考 直线的方 向向量可 以唯一确 定其在空 间的位置 吗 它是 唯一的吗 2 平面 的法向量 可以唯一 确定其在 空间的位 O P b 直线的方向向量 c 平面的法向量 置吗 它 是唯一的 吗 它可 以为 吗 0 3 例题讲解 例 1 如图所示 正方体的棱长为 1 直线 OA 的一个方向向量坐标为 1 0 0 平面 OABC 的一个法向量坐标为 0 0 1 例 2 在空间直角坐标系中 已知 A 3 0 0 B 0 4 0 C 0 0 2 试求平面 ABC 的一个法向量 练习 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD 底面 ABCD PD DC 1 E 是 PC 的中点 求平 面 EDB 的一个法向量 1 会求直 线的方向 向量和平 面的法向 量 2 自己总 结求平面 法向量的 步骤 X P A Z Y D C B E 4 方法总结 如何求平面的法向量 a 设平面的法向量为 nx y z b 找出 求出 平面内的两个不共线的向量的坐标 111222 aa b cba b c c 根据法向量的定义建立关于的方程组 x y z 0 0 n a n b d 解方程组 取其中的一个解 即得法向量 5 思考 2 1 空间中的线线 线面 面面有哪些位置关系 2 你能写出这些位置关系相应的向量表示吗 设直线的方向向量分别为 平面的法向 l m a b 量分别为 则 u v 线线平行 babaml 线面平行 0 uaual 面面平行 vuvu 线线垂直 0 babaml 线面垂直 uaual 面面垂直 0 vuvu 类比平面 向量的相 应知识 自主归纳 空间中线 面平行 垂直及空 间角对应 的向量关 系 并请 同学展示 其在导学 案上完成 的情况 三 巩固性训练 1 设平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法 向量为 2 4 k 若 则 k 4 若 则 k 5 2 已知 l 且 的方向向量为 2 m 1 平面的法向量为 1 1 2 2 则 m 8 3 若 l 的方向向量为 2 1 m 平面 的法向 量为 1 1 2 2 且 l 则 m 4 学生独立 完成 四 反思小结 1 直线的方向向量 2 平面的法向量 3 利用直线的方向向量和平面的法向量来表示线 线 线面 面面之间的位置关系 通过学习 同学们是否觉得直线的方向向量和平面 的法向量对于应用向量法解决立体几何问题是非常重要 的呢 学生反思 本节课所 学内容 5 课后探究 试vubaml 的法向量分别为 的方向向量分别为设直线 用两向量的夹角来表示 直线 l m 的夹角 直线 l 平面 的夹角 平面 的夹角 结合图形 判断这些 角和向量 夹角的关