高等数学下册试卷及答案5份

高等数学 下册 考试试卷 一 高等数学 下册 考试试卷 一 一 填空题 每小题 3 分 共计 24 分 1 的定义域为 D z 0 log 22 ayx a 2 二重积分的符号为 1 22 ln yx dxdyyx 3 由曲线及直线 所围图形的面积用二重积分表示为 xyln 1 eyx1 y 其值为 4 设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 x ty tx ds 5 设曲面 为介于及间的部分的外侧 则9 22 yx0 z3 z dsyx 1 22 6 微分方程的通解为 x y x y dx dy tan 7 方程的通解为 04 4 yy 8 级数的和为 1 1 1 n nn 二 选择题 每小题 2 分 共计 16 分 1 二元函数在处可微的充分条件是 yxfz 00 yx A 在处连续 yxf 00 yx B 在的某邻域内存在 yxfx yxfy 00 yx C 当时 是无穷小 yyxfxyxfz yx 0000 0 22 yx D 0 lim 22 0000 0 0 yx yyxfxyxfz yx y x 2 设其中具有二阶连续导数 则等于 x y xf y x yfu f 2 2 2 2 y u y x u x A B C D 0 yx xy 3 设 则三重积分等于 0 1 222 zzyx zdVI A 4 2 0 2 0 1 0 3 cossin drrdd B 2 00 1 0 2 sin drrdd C 2 0 2 0 1 0 3 cossindrrdd D 2 00 1 0 3 cossindrrdd 4 球面与柱面所围成的立体体积 V 2222 4azyx axyx2 22 A 2 0 cos2 0 22 44 a drrad B 2 0 cos2 0 22 44 a drrard C 2 0 cos2 0 22 48 a drrard D 2 2 cos2 0 22 4 a drrard 5 设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成 L 取正向 函数在 D yxQyxP 上具有一阶连续偏导数 则 L QdyPdx A B D dxdy x Q y P D dxdy x P y Q C D D dxdy y Q x P D dxdy y P x Q 6 下列说法中错误的是 A 方程是三阶微分方程 02 2 yxyyx B 方程是一阶微分方程 xy dx dy x dx dy ysin C 方程是全微分方程 0 3 2 22232 dyyxydxxyx D 方程是伯努利方程 x y x dx dy2 2 1 7 已知曲线经过原点 且在原点处的切线与直线平行 而 xyy 062 yx 满足微分方程 则曲线的方程为 xy052 yyy y A B xe x 2sin 2cos2 sinxxe x C D 2sin2 cosxxe x xe x 2sin 8 设 则 0lim n n nu 1n n u A 收敛 B 发散 C 不一定 D 绝对收敛 三 求解下列问题 共计 15 分 1 7 分 设均为连续可微函数 gf xyxgvxyxfu 求 y u x u 2 8 分 设 求 tx tx dzzftxu t u x u 四 求解下列问题 共计 15 分 1 计算 7 分 I 2 0 2 2 x y dyedx 2 计算 其中是由所围成的空间 dVyxI 22 x21 2 22 zzzy及 闭区域 8 分 五 13 分 计算 其中 L 是面上的任一条无重点且分段光滑不经 L yx ydxxdy I 22 xoy 过原点的封闭曲线的逆时针方向 0 0 O 六 9 分 设对任意满足方程 且存在 求 xfyx 1 yfxf yfxf yxf 0 f xf 七 8 分 求级数的收敛区间 1 12 12 2 1 n n n n x 高等数学 下册 考试试卷 二 高等数学 下册 考试试卷 二 一 填空题 每小题 3 分 共计 24 分 1 设 则 zyxzyx32 32sin 2 y z x z 2 xy xy y x 93 lim 0 0 3 设 交换积分次序后 2 0 2 x x dyyxfdxI I 4 设为可微函数 且则 uf 0 0 f 222 1 lim 22 3 0 tyx t dyxf t 5 设 L 为取正向的圆周 则曲线积分4 22 yx L xx dyxyedxyey 2 1 6 设 则 kxyzjxzyiyzxA 222 Adiv 7 通解为的微分方程是 xx ececy 2 21 8 设 则它的 Fourier 展开式中的 x x xf 0 1 0 1 n a 二 选择题 每小题 2 分 共计 16 分 1 设函数 则在点 0 0 处 0 0 0 22 22 42 2 yx yx yx xy yxf A 连续且偏导数存在 B 连续但偏导数不存在 C 不连续但偏导数存在 D 不连续且偏导数不存在 2 设在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数 且满足 yxu 及 0 2 yx u 2 2 x u 0 2 2 y u 则 A 最大值点和最小值点必定都在 D 的内部 B 最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C 最大值点在 D 的内部 最小值点在 D 的边界上 D 最小值点在 D 的内部 最大值点在 D 的边界上 3 设平面区域 D 若 1 1 2 22 yx D dyxI 2 1 D dyxI 3 2 则有 A B C D 不能比较 21 II 21 II 21 II 4 设是由曲面及 所围成的空间区域 则 1 xxyxyz0 z dxdydzzxy 32 A B C D 361 1 362 1 363 1 364 1 5 设在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为 yxf ty tx 其中在上具有一阶连续导数 且 t tt 则曲线积分 0 22 tt L dsyxf A B dtttf dtttttf 22 C D dtttttf 22 dtttf 6 设是取外侧的单位球面 则曲面积分 1 222 zyx zdxdyydzdxxdydz A 0 B C D 2 4 7 下列方程中 设是它的解 可以推知也是它的解的方程是 21 y y 21 yy A B 0 xqyxpy0 yxqyxpy C D xfyxqyxpy 0 xqyxpy 8 设级数为一交错级数 则 1n n a A 该级数必收敛 B 该级数必发散 C 该级数可能收敛也可能发散 D 若 则必收敛 0 0 nan 三 求解下列问题 共计 15 分 1 8 分 求函数在点 A 0 1 0 沿 A 指向点 B 3 2 2 ln 22 zyxu 的方向的方向导数 2 7 分 求函数在由直线所围成的 4 2 yxyxyxf 0 0 6 xyyx 闭区域 D 上的最大值和最小值 四 求解下列问题 共计 15 分 1 7 分 计算 其中是由及 3 1 zyx dv I 0 0 0 zyx 所围成的立体域 1 zyx 2 8 分 设为连续函数 定义 xf dvyxfztF 222 其中 求 222 0 tyxhzzyx dt dF 五 求解下列问题 15 分 1 8 分 求 其中 L 是从 A a 0 经 L xx dymyedxmyyeI cos sin 到 O 0 0 的弧 2 xaxy 2 7 分 计算 其中是 dxdyzdzdxydydzxI 222 的外侧 0 222 azzyx 六 15 分 设函数具有连续的二阶导数 并使曲线积分 x 与路径无关 求函数 L x dyxydxxexx 2 3 2 x 高等数学 下册 考试试卷 三 高等数学 下册 考试试卷 三 一 填空题 每小题 3 分 共计 24 分 1 设 则 yz xz t dteu 2 z u 2 函数在点 0 0 处沿的方向导数 2sin yxxyyxf 2 1 l 0 0 l f 3 设为曲面所围成的立体 如果将三重积分 0 1 22 zyxz 化为先对再对最后对三次积分 则 I dvzyxfI zyx 4 设为连续函数 则 其中 yxf I D t dyxf t 1 lim 2 0 222 tyxD 5 其中 L dsyx 22222 ayxL 6 设是一空间有界区域 其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成 如果 函数 在上具有一阶连续偏导数 则三重积分 zyxP zyxQ zyxR 与第二型曲面积分之间有关系式 该关 系式称为 公式 7 微分方程的特解可设为 9696 2 xxyyy y 8 若级数发散 则 1 1 1 n p n n p 二 选择题 每小题 2 分 共计 16 分 1 设存在 则 bafx x bxafbaxf x lim 0 A B 0 C 2 D bafx bafx 2 1 bafx 2 设 结论正确的是 2 y xz A B 0 22 xy z yx z 0 22 xy z yx z C D 0 22 xy z yx z 0 22 xy z yx z 3 若为关于的奇函数 积分域 D 关于轴对称 对称部分记为 yxfxy 21 D D 在 D 上连续 则 yxf D dyxf A 0 B 2 C 4 D 2 1 D dyxf 1 D dyxf 2 D dyxf 4 设 则 2222 Rzyx dxdydzyx 22 A B C D 5 3 8 R 5 3 4 R 5 15 8 R 5 15 16 R 5 设在面内有一分布着质量的曲线 L 在点处的线密度为 则曲线xoy yx yx 弧 的重心的坐标为 xx B x L dsyxx M 1 x L dxyxx M 1 C D 其中 M 为曲线弧 的质x L dsyxx x L xds M 1 量 设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧 则 1 22 yx1 0 0 zyx 曲面积分 ydxdzxxzdydzzdxdyy 22 A 0 B C D 4 24 5 4 方程的特解可设为 2xfyy A 若 B 若 A1 xf x Ae x exf C 若 EDxCxBxAx 234 xxxf2 2 D 若 5cos5sin xBxAx xxf5sin 设 则它的 Fourier 展开式中的等于 x x xf 01 0 1 n a A B 0 C D 1 1 2 n n n 1 n 4 三 分 设为由方程 确定的的函数 其中ttxfy 0 tyxFyx 具有一阶连续偏导数 求 Ff dx dy 四 分 在椭圆上求一点 使其到直线的距离最短 44 22 yx0632 yx 五 分 求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积yyx2 22 22 yxz 0 z 六 分 计算 其中为球面 的部 xyzdxdyI 1 222 zyx0 0 yx 分 的外侧 七 10 分 设 求 x xd xdf 2 sin1 cos cos xf 八 10 分 将函数展开成的幂级数 1ln 32 xxxxf x 高等数学 下册 考试试卷 四 高等数学 下册 考试试卷 四 一 填空题 每小题 3 分 共计 24 分 1 由方程所确定的隐函数在点 1 0 1 2 222 zyxxyz yxzz 处的全微分 dz 2 椭球面在点 1 1 1 处的切平面方程是 632 222 zyx 3 设 D 是由曲线所围成 则二重积分 2 2 xyxy D dxdyxI 1 2 4 设是由所围成的立体域 则三重积分 4 0 4 22 zzyx dvyxI 22 5 设是曲面介于之间的部分 则曲面积分 22 yxz 1 0 zz dsyxI 22 6 0 2 2222 zyx azyx dsx 7 已知曲线上点 M 0 4 处的切线垂直于直线 且满足 xyy 052 yx xy 微分方程 则此曲线的方程是 02 yyy 8 设是周期 T 的函数 则的 Fourier 系数为 xf 2 xf 二 选择题 每小题 2 分 共计 16 分 1 函数的定义域是 xy x y z arcsin A B 0 xyxyx 0 xyxyx C 0 0 xyxyx 0 0 xyxyx D 0 0 0 0 yxyxyxyx 2 已知曲面在点 P 处的切平面平行于平面 则点 22 4yxz 0122 zyx P 的坐标是 A 1 1 2 B 1 1 2 C 1 1 2 D 1 1 2 3 若积分域 D 是由曲线及所围成 则 2 xy 2 2xy D dyxf A B 2 2 21 1 x x dyyxfdx 2 2 2 1 1 x x dyyxfdx C D y y dxyxfdy 2 1 0 1 1 2 2 2 dxyxfdy x x 4 设 0 2222 1 zRzyx0 0 0 2222 2 zyxRzyx 则有 A B 12 4xdvxdv 12 4ydvydv C D 12 4xyzdvxyzdv 12 4zdvzdv 5 设为由曲面及平面所围成的立体的表面 则曲面积分 22 yxz 1 z dsyx 22 A B C D 0 2 21 2 2 2 设是球面表面外侧 则曲面积分 2222 azyx dxdyzdzdxydydzx 333 A B C D 3 5 12 a 5 5 12 a 5 5 4 a 5 5 12 a 一曲线过点 e 1 且在此曲线上任一点的法线斜率 则 yxM xyx xx k ln ln 此曲线方程为 A B ln lnxx e x y xx e x yln C D ln lnxxexy ln lnx e x y 幂级数的收敛区间为 1 1 n n xn A 1 1 B C 1 1 D 1 1 三 分 已知函数 其中具有二阶连续导数 求 x y xg y x yfu gf 的值 yx u y x u x 2 2 2 四 分 证明 曲面上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体 0 3 ccxyz 的体积为一定值 五 分 求抛物面的切平面 使得与该抛物面间并介于柱面 22 4yxz 内部的部分的体积为最小 1 1 22 yx 六 分 计算 其中 为 L xx dyxyedxyyeI cos sin 由 至 的那一弧段 2 4xy 七 分 求解微分方程 0 2 1 2 y y y 八 分 求幂级数的和函数 1n n n x xS 高等数学 下册 考试试卷 五 高等数学 下册 考试试卷 五 一 填空题 每小题 3 分 共计 24 分 1 设是由方程所确定的二元函数 则 yxfz 0 xyz xexyz dz 曲线在点 处的切线方程是 04532 03 222 zyx xzyx 设是由 则三重积分 1 222 zyx dve z 设为连续函数 是常数且 将二次积分 xfma 0 a ay xam dxxfedy 00 化为定积分为 曲线积分与积分路径无关的充要条件为 ABL QdyPdx ABL 设为 则 222 yxaz dszyx 222 方程的通解为 x eyy 2 3 设级数收敛 发散 则级数必是 1n n a 1n n b 1 n nn ba 二 选择题 每小题 2 分 共计 16 分 设 在点 处 0 0 0 0 0 22 2 yx yx yx yx yxf 下列结论 成立 有极限 且极限不为 0 不连续 可微 0 0 0 0 0 yx ff 设函数有 且 则 yxfz 2 2 2 y f 1 0 xfxxf y 0 yxf 2 1yxy 2 1yxy 22 1yyx 22 1yyx 设 在 D 上连续 则在极坐标系中等41 22 yxf D dyxf 22 于 drrrf 2 1 2 drrrf 2 1 2 2 1 0 2 2 0 2 2drrfrdrrfr 1 0 2 2 0 2 2drrrfdrrrf 设是由及所围成 则三重积分 0 0 0 zyx12 zyx dvzyxxf yx y dyzyxxfdzdx 21 0 2 1 0 1 0 yx dzzyxxfdydx 21 0 1 0 1 0 yx x dzzyxxfdydx 21 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 dzzyxxfdydx 设是由所围立体表面的外侧 则曲面积分 1 11 0 0 0 zyxzyx zdxdyydzdxxdydz 0 1 3 2 以下四结论正确的是 2222 5222 3 4 azyx advzyx 4 4222 2222 adszyx azyx 外侧 2222 4222 4 azyx adxdyzyx 以上三结论均错误 设具有一阶连续导数 并设曲线积分 xg1 0 g L dyxgxdxxyg tan 与积分路径无关 则 4 4 0 0 tan dyxgxdxxyg 2 2 2 2 8 2 8 2 级数的和等于 1 1 1 2 1 n n n 2 3 1 3 1 3 2 三 求解下列问题 共计 分 分 设求 z y xu y u x u z u 分 设 具有连续偏导数 求 z y y x fu fdu 四 求解下列问题 共计 分 分 计算 其中 D d yfxf ybfxaf I 222 RyxD 分 计算 其中 dvzyxI 1 2222 Rzyx 五 分 确定常数 使得在右半平面上 0 x 与积分路径无关 并求其一个原函数 L dyyxxdxyxxy 2 24224 yxu 六 分 将函数展开为的幂级数 3 1 1 x x xf x 七 分 求解方程 096 yyy 高等数学 下册 考试试卷 一 参考答案高等数学 下册 考试试卷 一 参考答案 一 1 当时 当时 10 a10 22 yx1 a1 22 yx 2 负号 3 4 2 3 11 0 D ye ey dxdyd dttt 22 5 180 6 Cx x y sin 7 8 1 xx eCeCxCxCy 2 4 2 321 2sin2cos 二 1 D 2 D 3 C 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 三 1 21 f yf x u xyxgx y u 2 txftxf x u txftxf t u 四 1 1 2 1 4 2 0 2 00 22 0 222 edyyedxedydyedx y y y x y 2 2 0 2 0 2 1 2 0 2 2 1 3 2 2 3 3 14 2 r dzrdrddzrdrdI 柱面坐标 五 令则 2222 yx x Q yx y P x Q yx xy y P 222 22 0 0 yx 于是 当 L 所围成的区域 D 中不含 O 0 0 时 在 D 内连续 所以由 x Q y P Green 公式得 I 0 当 L 所围成的区域 D 中含 O 0 0 时 在 D 内除 x Q y P O 0 0 外都连续 此时作曲线为 逆时针方向 并 l 10 222 yx 假设为及所围成区域 则 D L l 2 222 yxD llLllL dxdy y P x Q GreenI公式 六 由所给条件易得 0 0 0 1 0 2 0 2 f f f f 又 x xfxxf xf x lim 0 x xf xfxf xfxf x 1 lim 0 x fxf xfxf xf x 0 1 1 lim 2 0 1 0 2 xff 即 0 1 2 f xf xf 即 cxfxf 0 arctan 0 tan cxfxf 又 即 0 0 fZkkc 0 tan xfxf 七 令 考虑级数tx 2 1 12 12 1 n n n n t 2 12 32 12 32 limt n t n t n n n 当即时 亦即时所给级数绝对收敛 1 2 t1 t31 x 当即或时 原级数发散 1 t3 x1 x 当即时 级数收敛 1 t1 x 1 1 12 1 1 n n n 当即时 级数收敛 1 t3 x 1 12 1 1 n n n 级数的半径为 R 1 收敛区间为 1 3 高等数学 下册 考试试卷 二 参考答案高等数学 下册 考试试卷 二 参考答案 一 1 1 2 1 6 3 4 2 02 4 2 2 2 y yy dxyxfdydxyxfdy 0 3 2 f 5 6 7 8 0 8 2zyx 02 yyy 二 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 B 8 C 三 1 函数在点 A 1 0 1 处可微 且 ln 22 zyxu 1 0 1 22 1 zyx x u A 2 1 0 1 1 0 1 2222 zy y zyx y u A 2 1 1 1 0 1 2222 zy z zyx z u A 而所以 故在 A 点沿方向导数为 1 2 2 ABl 3 1 3 2 3 2 lABl A l u A x u cos A y u cos A z u cos 2 1 3 1 2 1 3 2 0 3 2 2 1 2 由得 D 内的驻点为且 0 24 0 1 4 2 2 yxxf xyyxxyf y x 1 2 0 M4 1 2 f 又0 0 0 0 xfyf 而当时 0 0 6 yxyx 60 122 23 xxxyxf 令得0 122 23 xx4 0 21 xx 于是相应且2 6 21 yy 64 2 4 0 6 0 ff 在 D 上的最大值为 最小值为 yxf 4 1 2 f 64 2 4 f 四 1 的联立不等式组为 yxz xy x 10 10 10 所以 1 0 1 0 1 0 3 1 xyx zyx dz dydxI x dy yx dx 1 0 2 1 0 4 1 1 1 2 1 1 0 16 5 2ln 2 1 4 3 1 1 2 1 dx x x 2 在柱面坐标系中 2 000 22 th rdzrfzdrdtF t drrhrrhf 0 32 3 1 2 所以 3 1 2 32 thtthf dt dF 3 1 2 22 htfht 五 1 连接 由公式得 OAGreen OAOAL I OAOAL 0 22 0 coscos yaxyx xx Green dxdymyeye 公式 2 8 1 am 2 作辅助曲面 上侧 则由 Gauss 公式得 222 1 ayx az I 1 1 11 azzyxayx dxdyadxdydzzyx 0 2 222222 2 a zyx azdxdydz 0 4 222 2 4 0 43 2 1 2aadzz a 六 由题意得 2 3 2 xxexx x 即 x xexxx 2 2 3 特征方程 特征根023 2 rr2 1 21 rr 对应齐次方程的通解为 xx ececy 2 21 又因为是特征根 故其特解可设为 2 x eBAxxy 2 代入方程并整理得 1 2 1 BA 即 x exxy 2 2 2 1 故所求函数为 xxx exxececx 22 21 2 2 1 高等数学 下册 考试试卷 三 参考答案高等数学 下册 考试试卷 三 参考答案 一 1 2 3 2222 zxzy xeye 5 1 1 1 1 1 0 2 2 22 x x yx dzzyxfdydx 4 6 3 25 0 0 af RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P 公式 7 8 GaussCBxAx 2 0 P 二 1 C 2 B 3 A 4 C 5 A 6 D 7 B 8 B 三 由于 dttxfdxtxfdy tx 0 dtFdyFdxF tyx 由上两式消去 即得 dt ytt xttx FfF FfFf dx dy 四 设为椭圆上任一点 则该点到直线的距离为 yx44 22 yx0632 yx 令 于是由 13 326yx d 44 326 222 yxyxL 044 08 326 6 02 326 4 22 yxL yyxL xyxL y x 得条件驻点 5 3 5 8 5 3 5 8 5 3 5 8 5 3 3 8 4321 MMMM 依题意 椭圆到直线一定有最短距离存在 其中即为所 13 13 13 326 1 min M yx d 求 五 曲线在面上的 yyx yxz 2 22 22 yoz 投影为 0 0 2 2 x zyyz 于是所割下部分在面上的投影域为 yoz yz y Dyz 20 20 y 由图形的对称性 所求面积为第一卦限部分的两倍 d z x y x A yz D 22 12x yz D y yy dz dy yy dydz 2 1 2 022 8 2 2 2 2 六 将分为上半部分和下半部分 22 1 1 yxz 22 2 1 yxz 在面上的投影域都为 21 xoy 0 0 1 22 yxyxDxy 于是 1 22 1dxdyyxxyzdxdy xy D 15 1 1cossin 2 0 1 0 22 dd 极坐标 2 15 1 1 22 dxdyyxxyxyzdxdy xy D 21 I 15 2 七 因为 即x xd xdf 2 sin1 cos cos xxf 2 sin1 cos 所以 2 2 xxf cxxxf 3 3 1 2 八 1ln 1ln 1 1ln 22 xxxxxf 又 1 1 1 1ln 1 1 uu n u n n n 11 2 11 1 1 1 1 nn n n n n xx n x n xf 1 1 1 1 1 1 n nn n xxx n 高等数学 下册 考试试卷 四 参考答案高等数学 下册 考试试卷 四 参考答案 一 1 2 3 4 5 dydx2 632 zyx 20 153 32 2 2 6 7 3 3 2 a x exy 2 2 8 dxxfa 2 2 1 0 2 1cos 1 nkkxdxxfak 2 1sin 1 nkkxdxxfbk 二 1 C 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 A 8 C 三 x y g x y x y g y x f x u 1 222 2 x y g x y x y g x y y x f yx u 3 2 x y g x y 1 y x f y 3 2 x y g x y 1 1 2 2 x y g xx y g xy x f y x yx u 2 x y g x y 2 y x f y x 2 x y g x y 故0 2 2 2 yx u y x u x 四 设是曲面上的任意点 则 000 zyxM0 3 cxyzF 3 000 czyx 在该点处的法向量为 Mzyx FFFn 00z y 00 x z 00y x 0 3 x c 0 3 y c 0 3 z c 1 1 1 000 3 zyx c 于是曲面在点处的切平面方程为 0M 1 0 0 xx x 1 0 0 yy y 1 0 0 zz z 即 1 0 3x x 0 3y y 0 3z z 因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为 3 000000 2 9 2 9 333 6 1 czyxzyxV 这是一个定值 故命题得证 五 由于介于抛物面 柱面及平面之间的立体体积 22 4yxz 1 1 22 yx0 z 为定值 所以只要介于切平面 柱面及平面之间的立体体积 1 1 22 yx0 z 为最大即可 V 设与切于点 则的法向量为 且 22 4yxz 000 zyxP 1 2 2 00 yxn 切平面方程为 2 0 2 00 4yxz 0 2 2 00000 zzyyyxxx 即 2 0 2 000 422yxyyxxz 于是 2 2 2 0 2 000 1 1 4sin2cos2 22 dyxyxzdV yx 极坐标 42 2 0 2 00 yxx 则由 得驻点 1 0 0 0 0 0 2 0 22 y y V x x V 且 5 5 0 0 1 zV 由于实际问题有解 而驻点唯一 所以当切点为 1 0 5 时 题中所求体积为最小 此时的切平面为 32 xz 六 联接 并设由 L 及所围成的区域为 D 则BABA D xx BABALBABAL dxdyyeyeGreenI0 1cos1cos 公式 42 2 1 2 2 七 令 则 于是原方程可化为 yzy dy dz zy 0 1 2 2 z ydy dz z 即 其通解为0 1