二级直齿圆柱齿轮的优化设计说明书

目录目录 .11 前言 .21.1 课题来源以及背景 .21.2 初步设计方案的确定 .31.3 初步利用数学建模进行优化 .31.4 本 章 小 结 .32 优化设计的基本理论 .42.1 优化设计方法解决实际问题的步骤 .42.1.1 分析实际问题，建立优化设计的数学模型 .42.1.2 数学模型的分析与优化 .42.1.3 数学模型的最优解及圆整 .52.2 开始建立优化设计的数学模型 .52.2.1 首先确定设计变量 .52.2.2 其次确定目标函数 .52.2.3 最后确定约束条件 .52.3 序列二次规划法（SQP）函数 fmincon .52.3.1 序列二次规划法 .52.3.2 优化函数 fmincon .62.4 本 章 小 结 .73 二级直齿圆柱齿轮的优化设计 .83.1 已知参数模型的建立 .93.2 优 化 目 标 .103.3 设 计 变 量 的 选 取 .103.4 目 标 函 数 的 建 立 .113.4.1 小 齿 轮 的 体 积 .113.4.2 大齿轮的体积 .113.4.3 二级直齿圆柱齿轮传动系统优化设计的目标函数 .123.5 约 束 条 件 的 建 立 .123.5.1 变量上下限的确定 .123.5.1 约束条件的确立 .133.6 选用 MATLAB 优化工具箱对数据模型进行优化 .173.6.1 MATLAB 的概述 .173.6.2 MATLAB 语 言 概 述 .173.6.3 MATLAB 常用的函数 .173.6.4 利 用 MATLAB 开 始 编 程 求 解 .183.7 本 章 小 结 .204 结 论 .214.1 本 文 总 结 .214.2 研 究 展 望 .21参 考 文 献 .221 前言1.1 课题来源以及背景减速器是原动机和工作机之间独立的闭式机械传动装置,用来降低原动机转速或增大转矩,以满足工作机需要，是一种被广泛在机械制造机床，汽车，矿山机械等不同机器的机械部件。国外的减速器，以德国、丹麦和日本处于领先地位，特别在材料和制造工艺方面占据优势，减速器工作可靠性好，使用寿命长。但其传动形式仍以定轴齿轮传动为主，体积和重量问题，也未解决好。最近报导，日本住友重工研制的 FA 型高精度减速器，美国 Alan-Newton 公司研制的 X-Y 式减速器，在传动原理和结构上与本项目类似或相近，都为目前先进的齿轮减速器。当今的减速器是向着大功率、大传动比、小体积、高机械效率以及使用寿命长的方向发展 。因此，除1了不断改进材料品质、提高工艺水平外，还在传动原理和传动结构上深入探讨和创新，平动齿轮传动原理的出现就是一例。减速器与电动机的连体结构，也是大力开拓的形式，并已生产多种结构形式和多种功率型号的产品。目前，超小型的减速器的研究成果尚不明显。在医疗、生物工程、机器人等领域中，微型发动机已基本研制成功，美国和荷兰近期研制的分子发动机的尺寸在纳米级范围，如能辅以纳米级的减速器，则应用前景远大。国内的减速器多以齿轮传动、蜗杆传动为主，但普遍存在着功率与重量比小，或者传动比大而机械效率过低的问题。另外，材料品质和工艺水平上还有许多弱点，特别是大型的减速器问题更突出，使用寿命不长。国内使用的大型减速器（500kw以上） ，多从国外（如丹麦、德国等）进口，花去不少的外汇。60 年代开始生产的少齿差传动、摆线针轮传动、谐波传动等减速器具有传动比大，体积小、机械效率高等优点。但受其传动的理论的限制，不能传递过大的功率，功率一般都要小于40kw。由于在传动的理论上、工艺水平和材料品质方面没有突破，因此，没能从根本上解决传递功率大、传动比大、体积小、重量轻、机械效率高等这些基本要求 。2减速器设计应在满足需要的前提下追求体积小、尺寸小、重量轻、成本低、润滑方便等优化目标。圆柱齿轮机构是应用最为广泛的一种传动机构。传统圆柱齿轮机构的设计方法大多是依靠分析、试凑或类比的方法来确定复杂的结构参数，这就造成了可行设计方案的纰漏，使设计变得相对被动，往往需要多次重复性的工作，才能得到较满意的结果。随着计算机技术的快速发展和优化理论的日趋成熟，最优化设计在齿轮设计上得到了实际的应用 。31.2 初步设计方案的确定圆柱齿轮减速器的的设计方法是：通过查阅资料，结合实习所得的资料文献，运用自己平时的理论知识，对以往设计的减速器进行对比，第一，通过对优化设计的理论理解，在理论上对体积进行优化，然后进行设计变量的选取，建立数学模型，最后一步是以带式运输机的二级直齿圆柱齿轮为例，具体的结合数据，建立起约束条件，利用MATLAB软件对将目标函数和约束条件编写进程序，运行 MATLAB软件对数据进行优化，得到优化的参数。这样设计方案就初步确定了。1.3 初步利用数学建模进行优化由于所有优化的设计变量较多,在优化减速器参数时注意属于整数规划的范畴。但目前对于整数规划的理论研究还不充分,求解方法比较有限,就工程中广泛使用的圆柱二级级圆柱齿轮减速器的优化设计来说，由于齿轮系统优化设计时涉及的参数较多，计算比较复杂，因此，为了减低制造减速器的成本，提高减速器的使用效率，对二级圆柱齿轮进行优化设计是未来设计齿轮的趋势，通过建立数学模型，对设计变量进行约束，应用一般的开发语言，在编程时工作量很大，在数值方面没有明显优势，采用MATLAB 优化工具箱，将上述的模型和公式编入程序利用MATLAB进行求的最优解。随着计算机在工程制造业中的广泛应用，MATLAB 作为一款数学软件，在进行数学公式和计算中更容易，更快捷，在工程设计中越来越多的使用MATLAB进行优化设计 。41.4 本 章 小 结本章主要是阐明课题来源，了解到减速器的广泛用途，但是通过国内外现状的比较，让我们认识到对二级减速器进行优化的可行性和必要性，然后初步的构建起初步方案，利用 MATLAB 软件进行优化设计。2 优化设计的基本理论优 化 方 法 在 机 械 设 计 中 有 着 广 泛 的 应 用 ， 构 成 了 机 械 优 化 设 计 体 系 。 机 械 设计 领 域 设 计 的 面 很 宽 ， 如 机 械 结 构 设 计 ， 零 件 设 计 ， 部 件 设 计 以 及 整 机 等 产 品 设计 ， 所 需 考 虑 的 方 面 也 很 多 如 结 构 组 成 与 分 析 、 机 构 运 动 学 以 及 动 力 学 问 题 ， 作为 一 项 好 的 设 计 ， 要 使 产 品 具 有 好 的 性 能 ， 又 要 满 足 工 艺 要 求 ； 要 达 到 预 期 的 精度 要 求 ， 并 使 用 安 全 可 靠 ， 特 别 是 当 设 计 的 参 数 很 多 ， 各 个 参 数 之 间 的 关 系 很 复杂 的 情 况 下 ， 势 必 需 要 采 取 现 代 设 计 手 段 ， 设 计 者 从 大 量 繁 琐 的 计 算 中 解 脱 出 来 。因 此 ， 优 化 设 计 已 经 成 为 当 设 计 中 的 一 个 重 要 方 面 ， 并 在 大 量 工 作 的 基 础 上 取 得了 丰 硕 的 成 果 。4优化设计是从多种方案中选择最佳方案的设计方法。它以数学中的最优化理论为基础，以计算机为手段，根据设计所追求的性能目标，建立目标函数，在满足给定的各中优化条件下，寻求最优的设计方案。然而机 械 优 化 设 计 是 最 优 化 技 术 在机 械 设 计 领 域 的 移 植 和 应 用 ,其 基 本 思 想 是 根 据 机 械 设 计 的 理 论 ,方 法 和 标 准 规范 等 建 立 一 反 映 工 程 设 计 问 题 和 符 合 数 学 规 划 要 求 的 数 学 模 型 ,然 后 采 用 数 学 规划 方 法 和 计 算 机 计 算 技 术 自 动 找 出 设 计 问 题 的 最 优 方 案 .优 化 设 计 是 一 种 格 式 化的 设 计 方 法 。 对 于 各 式 各 样 的 设 计 问 题 ， 都 必 须 先 将 它 按 照 规 定 的 格 式 要 求 建 立优 化 计 算 的 数 学 模 型 ， 然 后 再 在 计 算 机 上 用 优 化 设 计 方 法 解 出 他 的 最 优 解 。2.1 优化设计方法解决实际问题的步骤2.1.1 分析实际问题，建立优化设计的数学模型分析：设计的要求、目标和准则。设计的限制约束条件。设计的参数，确定设计变量。建立：机械设计优化方法相应的数学模型2.1.2 数学模型的分析与优化建立优化数学模型，将工程实际问题以数学模型。将工程实际问题以数学模型表示。为此要恰当学选取设计变量，将设计问题所追求的最佳设计指标与设计变量之间的关系用函数式或其他的方式表示出来，以上三方面构成了优化设计的数学模型，选取优化设计的方法。目前可功优化设计工作使用的优化方法很多，其中包括无约束优化方法和约束优化方法，要根据不同的设计规模选用恰当的优化方法，以使得达到计算的高效率，以期具有预期的设计精度。2.1.3 数学模型的最优解及圆整工程中的最优设计，是在考虑诸多影响因素的条件下，以得到最佳的设计方案，即最佳设计参数值。用计算机进行求解，优化设计是综合有关各个方面的因素，按优化原理进行求解，是建立在近代数学以及计算机广泛应用基础上的一项新技术，所以以计算机为工具，以人机配合的方式进行自动搜寻最优值。2.2 开始建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型必须确定设计变量、目标函数、和约束条件这三个必要的部分。2.2.1 首先确定设计变量在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据事件情况预先确定他的数值，它们在优化算法过程中始终保持不变，这样的参数成为设计变量，在机械设计中有些参数只能选用规定的离散值，如齿轮的模数、钢材的规格尺寸等这样的参数作为设计变量叫作离散设计变量。2.2.2 其次确定目标函数在所列举的设计问题中，如弹簧的体积，剪刀的轨迹误差等都是设计中所追求的目标，而且它是设计变量的函数，成为目标函数。优化设计的目的就是要求合理选择设计变量值使目标函数达到最佳值。由于目标函数是设计变量的函数的函数，故给定一组设计变量就对应的有一个函数值。在解决优化设计问题时，正确选择目标函数是非常重要的，它不仅直接影响优化设计的结果，而且对于整个优化设计的繁简难易也会有一定的影响。2.2.3 最后确定约束条件优化设计不仅要使选择方案的设计指标达到最佳值，同时还必须满足一些附加的设计条件，这些附加的设计条件是对设计变量却值得相互关系及其大小加以限制，在优化设计中叫约束条件。根据约束性质的不同可以将约束条件分为边界性约束和性能性约束两类。在解决工程问题时，约束条件是优化设计获得工程可接受设计方案的重要条件。不等式约束以及有关概念相当重要的，并且要注意在满足设计要求为原则时避免重复矛盾和线性相关的约束。2.3 序列二次规划法（SQP）函数 fmincon2.3.1 序列二次规划法序列二次规划法又称为逼近法，有约束问题的变尺度法，或拉格朗日牛顿法，为非线性数学规划法，用于求有约束的最优化问题，具有整体收敛性且同时保持局部超一次收敛性，被公认为是当今求解光滑的非曲线性规划问题，最优秀的算法之一，数值计算表明序列二次规划法优于乘子法。序列二次规划法的基本思路是在当前的迭代点 处，利用目标函数的二次近似和约束函数的一次近似构成二次规划，kx通过求解这个二次函数获得下一个迭代点， k-t方程的解形成了许多线性规划算法的基础，通过用类比牛顿法更新过程，给k-t方程积累二节信息，可以保证有约束拟牛顿法的超线性收敛，这样的算法成为序列二次规划法。对于规划问题(2.1)12min()0 1,(),XRi eifGim 用Kuhn-thcher方程表示为(2.2)*1*()()00 , miiii ei efXGX上述描述了目标函数和约束梯度之间的函数关系。2.3.2 优化函数 fmincon（1）fmincon 函数提供了大型优化算法和中型优化算法。使fmincon 函数，将原问题转化为一系列的二次规划问题进行求解，对于每一种函数每一步的求解都是通过选择一种最佳方法来进行。默认时，若在函数中提供了梯度，并且只在上下界存在或只有等式约束时，fmincon函数将使用大型算法，当即又等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。（2）fmincon 函数中的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一次迭代中求解二次子规划问题，并用BFGS更新拉格朗日矩阵。（3）fmincon 函数可能会给出局部最优解，这与初值的选取有关系。Fmincon函数的语法与说明x, fval=fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options)fval：返回目标函数在最优解 x 点的值；fun：目标函数；nonlcon：约束值函数；options：设置优化选项参数。 62.4 本 章 小 结本章在优化设计的理论上阐述了对二级直齿圆柱齿轮减速器进行优化的可行性，进行优化设计包含的三个内容。第一，建立优化数学模型；第二，选取优化方法；第三，利用计算机进行求解。而且将序列二次规划法和 MATLAB 软件进行结合，利用 MATLBA 优化工具箱进行求解。3 二级直齿圆柱齿轮的优化设计输入输出图3.1 齿轮传动简图 图3.1表示的二级直齿圆柱齿轮的传动系统简图，具体采用的是小齿轮采用齿轮轴的形式，因为大齿轮的直径较大，已经大于160mm,所以采用腹板式结构。采用等变为传动。Bbcddvdzhdn图3.2 大齿轮的结构和各部分的尺寸由于低速轴也采用小齿轮为齿轮轴形式，大齿轮采用腹板式结构，所以都可以用上图表示出来。对于大齿轮的机构我们采用一下计算公式： (3.1)( 81.6 20.3 vnzhdmBbc分 度 圆 直 径 ）（ 齿 轮 外 缘 内 径 ）（ 轮 毂 外 径 ）（ 轮 毂 长 度 ）（ 辐 板 宽 度 ） 2其中 m表示齿轮的模数，Z表示齿轮的齿数，b表示齿轮的齿宽， 表示轴径。zhd3.1 已知参数模型的建立图 2.5 插图样式图 3.3 带式传送机图 3.4 传动装置简图如图 3 所示，二级圆柱直齿圆柱齿轮在工矿业和农业生产中有着广泛应用，改图就是在农业和工业中运用比较广泛的带式输送机，对于带式输送机大家可能不陌生，它伸 缩 胶 带 输 送 机 与 普 通 胶 带 输 送 机 的 工 作 原 理 一 样 ， 是 以 胶 带 作 为 牵 引承 载 机 的 运 输 设 备 ， 不 过 在 增 加 了 储 带 装 置 和 胶 带 装 置 等 ， 当 游 动 小 车 向 机 尾 一端 移 动 时 ， 胶 带 进 入 储 带 装 置 内 ， 机 尾 回 缩 ， 反 之 ， 则 机 尾 延 长 ， 因 而 使 输 送 机具 有 可 伸 缩 性 能 。 它 的 机 构 组 成 由 固 定 部 分 和 非 固 定 部 分 两 大 部 分 。 固 定 部 分由 机 头 传 动 装 置 、 储 带 装 置 、 收 放 胶 带 装 置 等 组 成 ； 非 固 定 部 分 由 无 螺 栓 连 接 的快 速 可 拆 支 架 、 机 尾 等 组 成 。 机 头 传 动 装 置 由 传 动 卷 筒 、 减 速 器 、 液 力 联 轴 器 、机 架 、 卸 载 滚 筒 、 清 扫 器 组 成 。 所 以 由 此 可 见 减 速 器 是 输 送 机 的 重 要 组 成 部 分 ，对 输 送 机 的 传 动 系 统 进 行 优 化 时 ， 首 先 要 对 减 速 器 进 行 优 化 ， 我 们 就 以 输 送 机 为实 例 进 行 优 化 设 计 。已 知 二 级 齿 轮 减 速 器 的 输 出 功 率 是 2.6KW， 高 速 轴 转 速 是 1430r/min,总 的传 动 比 为 15， 小 齿 轮 的 需 用 接 触 应 力 =540MP,许 用 弯 曲 应 力 为 H1F=303.57MP, =238.86MP。 齿 轮 的 材 料 和 热 处 理 方 式 ： 大 齿 轮 采 用 45 号 钢F正 火 HB=187-207,小 齿 轮 采 用 45 号 钢 调 质 HB=228-255,总 工 作 时 间 不 少 于 十 年 。这 样 需 要 优 化 的 参 数 模 型 就 建 立 起 来 了 。3.2 优 化 目 标在 二 级 齿 轮 传 动 系 统 中 ， 我 们 所 追 求 的 性 能 指 标 是 比 较 多 的 ， 比 如 传 递 功 率要 求 最 大 ， 中 心 距 要 求 最 小 ， 要 求 二 级 直 齿 圆 柱 齿 轮 传 动 的 质 量 最 轻 ， 也 就 是 要求 齿 轮 的 体 积 最 小 ， 所 以 我 们 在 满 足 各 项 几 何 条 件 和 传 动 质 量 指 标 的 条 件 下 ， 我们 以 体 制 最 小 为 优 化 目 标 ， 并 且 其 他 的 目 标 也 会 在 体 积 最 小 这 个 目 标 中 ， 就 是 确定 了 体 积 最 小 为 目 标 也 就 让 其 他 的 性 能 指 标 得 到 了 优 化 ， 所 以 我 们 在 保 证 承 载 能力 的 条 件 下 ， 以 体 积 最 小 为 目 标 进 行 二 级 直 齿 圆 柱 齿 轮 的 优 化 设 计 ， 这 样 优 化 的目 标 也 就 明 确 了 。63.3 设 计 变 量 的 选 取对于优化设计问题，合理地选择设计变量，才能得到最优化结果。第一级齿轮传动的设计参数有模数 m1，齿数 z1、 z2，齿宽 b1，为了提高齿轮的承载能力或满足中心距要求，常采用变位齿轮，因此变位系数 y1和 y2也要作为设计参数。在传动比已知的情况下，由于存在 z2= z1i12关系式，所以 z1、 z2不是一组独立的变量，取z1作为设计变量。以体积为目标函数，因此大齿轮轴径 dzh2也作为设计变量。同样，第二级传动的设计变量为 m2， z3， y3， y4， b3， dzh4。由于总的传动比已经确定，由i=i12i34，所以 i12、 i34不是一组独立的变量，取 i12作为设计变量。将表达目标函数和约束条件所必须的独立参数设计变量列下 ：7 (3.2), 124242432131213,10987654 idbyyzmxxxxxX zhz式中 X设计向量；表示 x 的各个分量；1321,.,xx表示高，低速齿轮的传动模数；,m表示高低速级小齿轮的齿数；31z表示齿轮传动的变为系数；42,y表示两个大齿轮的齿宽；4,b表 示 两 个 大 齿 轮 的 轴 径 ；2zhd表 示 高 速 级 齿 轮 的 传 动 比 ；12i这 样 设 计 变 量 就 确 定 了 。3.4 目 标 函 数 的 建 立3.4.1 小 齿 轮 的 体 积由 于 小 齿 轮 采 用 齿 轮 轴 的 形 式 ， 因 此 其 公 式 应 为 :小齿轮 1 的体积： (.3.3)21121)(4yzmbV小齿轮 3 的体积： (3.4)23233.4.2 大齿轮的体积由于大齿轮采用腹板式，所以其体积公式由图 2 可得到:大齿轮 2 的体积为：(3.5)()(4)(4222222212 zhnnvv dBdcdyzmbV (3.6)872.1)6.1()8(3.0 4)(221 2222 zhzhddz bmy大齿轮 4 的体积为： )()(4)( 2424242424 zhnnvv dBdcdyzmbV (3.7)872.1)6.1()8(3.0)424242 244 zhzhddz bm3.4.3 二级直齿圆柱齿轮传动系统优化设计的目标函数(3.8)4321)( VVxf 这样通过求各个齿轮的体积，然后加起来就是总的体积，得到了传动系统的目标函数。3.5 约 束 条 件 的 建 立3.5.1 变量上下限的确定为避免发生根切最小齿数 ；17minz根据装配工艺的条件和以往的经验，应该让小齿轮 1 的直径不超过 45mm，小齿轮3 的直径不超过 75mm；综合考虑传动的平稳性，轴向力不可太大，为保证齿轮的承载能力同时又避免载荷齿宽分布严重不均，要求齿轮系数应该在 0.9 到 1.4 之间，所以就要求(3.9)4.19.0db 4.19.03db对于传递动力的齿轮，一般模数 ，且应该取标准值；2.0m根据以往的经验，大齿轮的轴径应该在 30mm 到 60mm 之间即(3.10)40302zhd64zhd变位系数的确定 由里西特公式得到 (3.11)21112210.5.7 zzyyAA减 速 齿 轮 副增 速 齿 轮 副得到变位系数的取值范围为： 10.3.5y20.0.3y(3.12)3.4.由于减速箱是展开式布置，所以 5412i所以通过上面所叙述的可确定各个变量的上下限为：(3.13)54604,037563.,57.000325,24.75.1112961xxxxx3.5.1 约束条件的确立标准齿轮传动具有设计简单，互换性好等一系列优点。但其中也有不足之处，例如要求齿轮齿数最少齿数不少于十七，否则将产生根切现象；标准齿轮不适用于中心距的场合。因为当 时，无法安装；而当 时，而又会产2/)(1 zmaaa生过大的齿侧间隙，影响传动的平稳性，而重合度也随之降低；另外，在一对相互啮合的标准齿轮中，由于小齿轮齿廓渐开线的曲率半径较小，齿根厚度也比较薄，参与啮合的次数又较多，强度较低，影响到整个齿轮传动的承载能力 。为了改善14标准齿轮的上述不足之处，就必须突破标准齿轮的限制，对齿轮进行修正。所以变为齿轮就出现了。若齿轮采用等变为传动得到； (3.14)560x780x由工艺装备条件， ， 113()c224()3c1(3.15)由齿宽系数条件， (3.17)0)/(9.0)(313 xxc 04.1)/()(394 xxc； (3.18)425 2106所设计的齿轮传动在具体的工作情况下，必须具有足够的、相应的工作能力，以保证在整个工作寿命期间不致失效。因此，针对上述各种工作情况及失效形式，都应分别确立相应的设计准则。但是对于齿面磨损、塑形变形等，由于尚未建立起广为实际工程使用而且行之有效的设计方法及设计数据，所以目前设计一般使用的齿轮时，通常只按保证齿根弯曲疲劳强度及保证齿轮接触疲劳强度两准则进行计算。对于告诉大齿轮的齿轮传动，还要保证齿面抗胶合能力的准则进行计算。至于抵抗其他失效的能力，目前一般不进行计算，但应该采用相应的措施，以增强齿轮抵抗这些失效的能力。有实践可得，在闭式齿轮穿洞中，通常保证吃面接触疲劳为主。但对于齿面硬度很高齿心强度又低的齿轮或者材质较脆的齿轮，通常则保证齿根弯曲疲劳强度为主。由齿面接触疲劳强度条件可得到：, ； (3.19)(17Hxc)(28Hxc由齿面接触疲劳强度计算的基本公式可得到：(3.20)12()HEKTuzbd13上式各参数含义及其取值：K为载荷系数，适选载荷系数 K=1.3；-为载量的弹性影响系数，由表 10-6 查（机械设计第八版）的材料的弹性影EZ响系数 ；218.9MPa-为齿轮的节点区域系数， （标准直齿轮时， ） ；H 5.2,0HZ-为小齿轮传递的名义转矩；1T计算小齿轮 1 的传递转矩：(3.21)mNnPT634.19430.295011同理 通过计算可得到低速轴的转速 (3.22)341212340iin15由于存在功率损失，通过功率损失的计算可得到低速轴的输入功率为 2.6KW；(3.23) mnnnPT *5.60.5896.29503333 由题意可得到 ，所以可得到MaH540 2121211 .390)(48.5.47)(6.92.89 dbidbidbiiH 则 (3.24)054)(048.5.47)(.)( 213917 217 xxci低速轴齿轮的 2H4 2342342342 119)(65.47)(5.60.5.819 dbidbidbiiH 则 (3.25)054)1(3.675.4)()(.)( 241048 2438 xixci由齿根弯曲强度条件可得到：；)(119 Fxc 0)(2210Fxc(3.26)331 ;442由齿根弯曲疲劳强度计算的公式可得到： (3.27)12FFKTbdmY2上式各个参数的含义及其取值：K为载荷系数，适选载荷系数 K=1.3；-为小齿轮传递的名义转矩；1TYF为齿形系数，齿形系数的计算公式如下：；21 110.69.06.0845zz；22 184359()76()F i i233 .Y(3.28)4344 )(05)(0ziziF 1具体的计算齿根弯曲应力步骤和建立不等式约束： 1932111 8.53.2FFF YxYmdbT213921048.5FFx3104231042323 .675. FFF YxYYmdbT(3.29)41024234.67.1FFF x由上面所得到以下不等式： 57.08.51)(19329 FYxc6.4.)(2932110 057.3.67)(10421 FYxc(3.30)86.2.)(410212通过上述不等式我们就建立起了约束条件。3.6 选用 MATLAB 优化工具箱对数据模型进行优化由于模型类型是非线性规划问题，所以采用 MATLAB 工具箱中的非线性规划函数 fmincon.3.6.1 MATLAB 的概述对于 MATLAB, 它是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks 公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括 MATLAB 和 Simulink 两大部分。M ATLAB 由 一 系 列 工 具 组 成 。 这 些 工 具 方 便 用 户 使 用 MATLAB 的 函 数和 文 件 ， 其 中 许 多 工 具 采 用 的 是 图 形 用 户 界 面 。 包 括 MATLAB 桌 面 和 命 令 窗口 、 历 史 命 令 窗 口 、 编 辑 器 和 调 试 器 、 路 径 搜 索 和 用 于 用 户 浏 览 帮 助 、 工 作 空 间 、文 件 的 浏 览 器 。 随 着 MATLAB 的 商 业 化 以 及 软 件 本 身 的 不 断 升 级 ， MATLAB的 用 户 界 面 也 越 来 越 精 致 ， 更 加 接 近 Windows 的 标 准 界 面 ， 人 机 交 互 性 更 强 ，操 作 更 简 单 。 而 且 新 版 本 的 MATLAB 提 供 了 完 整 的 联 机 查 询 、 帮 助 系 统 ， 极 大的 方 便 了 用 户 的 使 用 。 简 单 的 编 程 环 境 提 供 了 比 较 完 备 的 调 试 系 统 ， 程 序 不 必 经过 编 译 就 可 以 直 接 运 行 ， 而 且 能 够 及 时 地 报 告 出 现 的 错 误 及 进 行 出 错 原 因 分 析。153.6.2 MATLAB 语 言 概 述(1)NEW 及 其 子 菜 单 ： 允 许 用 户 打 开 一 个 心 的 文 件 ， 新 的 图 形 窗 ， 仿 真 模 型文 件 ， 和 图 形 用 户 界 面 文 件 ；(2)OPEN:从 指 定 的 相 应 文 件 的 路 径 和 文 件 中 打 开 一 个 已 经 存 在 的 文 件 ；(3)CLOSE COMMAND WINDOW:关 闭 命 令 窗 口 ；(4)IMPORT DATA:在 MATLAB 工 作 空 间 中 生 成 一 变 量 ， 并 从 指 定 的 文 件 中和 路 径 中 获 取 数 据 ；(5)SAVE WORKSPACE AS:将工作空间中的所有变量数据保存在指定的路径下的相应的文件中；(6)SET PATH:设置 MATLAB 的搜索路径；(7)PREFERENCE:允许用户对系统的一些性能参数进行设置，如数据格式、字体大小与颜色等 。153.6.3 MATLAB 常用的函数(1) 在 进 行 二 级 直 齿 圆 柱 齿 轮 优 化 设 计 中 涉 及 到 的 函 数 用 语 ；eps： 浮 点 相 对 精 度 exp： 自 然 对 数 的 底 数 e i 或 j： 基 本 虚 数 单 位 inf 或 Inf： 无 限 大 ， 例 如 1/0 nan 或 NaN： 非 数 值 （ Not a number） ， 例 如 0/0 pi： 圆 周 率 p（ = 3.1415926.） realmax： 系 统 所 能 表 示 的 最 大 数 值 realmin： 系 统 所 能 表 示 的 最 小 数 值 nargin: 函 数 的 输 入 引 数 个 数 nargout: 函 数 的 输 出 引 数 个 数 lasterr： 存 放 最 新 的 错 误 信 息 lastwarn： 存 放 最 新 的 警 告 信 息(2).MATLAB 常 用 基 本 数 学 函 数 abs(x)： 纯 量 的 绝 对 值 或 向 量 的 长 度 angle(z)： 复 数 z 的 相 角 (Phase angle) sqrt(x)： 开 平 方 real(z)： 复 数 z 的 实 部 imag(z)： 复 数 z 的 虚 部 conj(z)： 复 数 z 的 共 轭 复 数 round(x)： 四 舍 五 入 至 最 近 整 数 123.6.4 利 用 MATLAB 开 始 编 程 求 解目标函数 fun 定义为：function f=GearFunct(x)f=(pi*x(9)/4)*(x(1)*(x(3)+x(5)2+(pi*x(10)/4)*(x(2)*(x(4)+x(7)2+(pi*x(9)/4)*(x(1)*(x(13)*x(3)+x(6)2-(x(1)*x(3)*x(13)-8*x(1)2)+(pi*x(9)/4)*(0.3*(x(1)*x(3)*x(13)-8*x(1)2-(1.6*x(11)2)+1.872*x(11)2)+(pi*x(10)/4)*(x(2)*(15/x(13)*x(4)+x(8)2-(x(2)*15/x(13)*x(4)-8*x(2)2)+(pi*x(10)/4)*(0.3*(x(2)*15/x(13)*x(4)-8*x(2)2-(1.6*x(12)2)+1.872*x(12)2);函数 nonlcon 定义为：functionC Ceq=GearConstr(x)C(1)=x(1)*x(3)-30;C(2)=x(2)*x(4)-30;C(3)=0.9-x(9)/(x(1)*x(3);C(4)=x(9)/(x(1)*x(3)-1.4;C(5)=0.9-x(10)/(x(2)*x(4);C(6)=x(10)/(x(2)*x(4)-1.4;C(7)=(3390.2/(x(1)*x(3)*sqrt(x(13)+1)/(x(9)*x(13)-540;C(8)=(12349/(x(2)*x(4)*sqrt(15/x(13)+1)/(15/x(13)*x(10)-540;C(9)=51.0484/(x(1)2*x(3)*x(9)*(0.169+0.006666*x(3)-0.000845*x(3)2)-303.57;C(10)=51.0484/(x(1)2*x(3)*x(9)*(0.2824+0.0003539*x(13)*x(3)-0.000001576*x(3)2*x(13)2)-238.86;C(11)=677.3/(x(2)2*x(4)*x(10)*(0.169+0.006666*x(4)-0.000845*x(4)2)-303.57;C(12)=677.5/(x(2)2*x(4)*x(10)*(0.2824+0.005309*x(4)/x(13)-0.0003546*x(4)2/x(13)2)-238.86;Ceq= ;主程序：clcx0=2, 3.5, 21, 20, 0.3, -0.3,0.4,-0.4,42,70,40,52,4.8; %传统设计值lb=1.75,4,20,20,0.3,-0.5,0.3,-0.5,40,65,30,40,4;ub=2.5,5,25,25,0.5,-0.3,0.5,-0.3,50,75,50,60,5;Aeq=0, 0, 0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0;beq=0;options = optimset(LargeScale,off);x, fval = fmincon (GearFunct, x0, , , Aeq, beq, lb, ub, GearConstr, options)执行结果 x=Columns 1 through 11 2.0000 2.8043 21.0000 18.8043 0.3000 -0.3000 0.4000 -0.4000 42.0000 70.0000 40.0000 52.0000 4.8000 fval = 1.6718e+006优化之前的主程序：clcx=2, 3.5, 21, 20, 0.3, -0.3,0.4,-0.4,42,70,40,52,4.8;f=(pi*x(9)/4)*(x(1)*(x(3)+x(5)2+(pi*x(10)/4)*(x(2)*(x(4)+x(7)2+(pi*x(9)/4)*(x(1)*(x(13)*x(3)+x(6)2-(x(1)*x(3)*x(13)-8*x(1