简单的线性规划

简单的线性规划简单的线性规划 知识要点知识要点 1 二元一次不等式 组 所表示的平面区域 1 一般的 二元一次不等式 Ax By C 0 在平面区域中 表示直线 Ax By C 0 某一侧的所有点组 成的平面区域 开半平面 且不含边界线 不等式 Ax By C 0 所表示的平面区域包括边界线 闭 半平面 2 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域 是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分 注意 作图时注意 作图时 不包括边界画成虚线不包括边界画成虚线 包括边界画成实线包括边界画成实线 3 二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法 可在直线 Ax By C 0 的某一侧任取一点 一般取特殊点 x0 y0 从 Ax0 By0 C 的正 或负 来判断 Ax By C 0 或 Ax By C 0 所表示的区域 当 C 0 时 常把原点 0 0 作为特殊 点 也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧 y kx b 表示直线上方的半平面区域 y kx b 表示直线下方的半平面区域 当 B 0 时 Ax By C 0 表示直线上方区域 Ax By C 0 表示直线下方区域 当 B 0 时 Ax By C 0 表示直线上方区域 Ax By C 0 表示直线下方区域 注意 1 在直线 Ax By C 0 同一侧的所有点 把它的坐标 x y 代入 Ax By C 所得实数的符号都相同 2 在直线 Ax By C 0 的两侧的两点 把它的坐标代入 Ax By C 所得到实数的符号相反 即 1 点 P x1 y1 和点 Q x2 y2 在直线 Ax By C 0 的同侧 则有 Ax1 By1 C Ax2 By2 C 0 2 点 P x1 y1 和点 Q x2 y2 在直线 Ax By C 0 的两侧 则有 Ax1 By1 C Ax2 By2 C 0 2 简单线性规划 1 基本概念 目标函数 关于 x y 的要求最大值或最小值的函数 如 z x y z x2 y2等 约束条件 目标函数中的变量所满足的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 线性约束条件 约束条件是关于变量的一次不等式 或等式 线性规划问题 在线性约束条件下 求线性目标函数的最大值或最小值问题 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标 称为问题的最优解 可行解 满足线性约束条件的解 x y 称为可行解 可行域 由所有可行解组成的集合称为可行域 2 用图解法解决线性规划问题的一般步骤 分析并将已知数据列出表格 确定线性约束条件 确定线性目标函数 画出可行域 利用线性目标函数 求出最优解 实际问题需要整数解时 应适当调整确定最优解 例题讲解例题讲解 例 1 1 若点 3 1 在直线 3x 2y a 0 的上方 则实数 a 的取值范围是 2 若点 3 1 和 4 6 在直线 3x 2y a 0 的两侧 则实数 a 的取值范围是 解 1 将直线化为 由题意 得 解得 a 7 22 3a xy 2 3 2 3 1 a 2 由题意 将两点代入直线方程的左侧所得符号相反 则 3 3 2 a 3 4 12 a 0 即 a 7 a 24 0 所以 实数 a 的取值范围是 7 24 例 2 1 如图 写出能表示图中阴影部分的不等式组 解 解 1 0 22 1 0 yx y x 2 如果函数 y ax2 bx a 的图象与 x 轴有两个交点 试在 aOb 坐标平面内画出点 a b 表示的平面区 域 2 由题意 得 b2 4a2 0 即 2a b 2a b 0 所以 或 点 a b 表示的平面区域如图所示 02 02 ba ba 02 02 ba ba 例 3 1 在平面直角坐标系中 不等式组表示的平面区域的面积是 20 20 0 xy xy y 解 作出可行域 易知不等式组表示的平面区域是一个三角形 容易求三角形的三个顶点 20 20 0 xy xy y 坐标为 B 2 0 C 2 0 于是三角形的面积为 11 4 24 22 SBCAO 2 不等式组 1 11 xy xy 所表示的平面区域的面积为 解 不等式11 xy可化为 1 xxy或 1 2 xxy 不等式1 xy可化为 0 1 xxy或 0 1 xxy 在平面直角坐标系内作出四条射线 1 xxyAB 1 2 xxyAC 0 1 xxyDE 0 1 xxyDF 则不等式组所表示的平面区域如图 由于AB与AC DE与DF互相垂直 所以平面区域是一个矩 形 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为 2 2 和 2 23 所以其面积为 2 3 例 4 若满足 求 1 的最大值与最小值 2 的yx 30 30 02 y x yx 52 yxz 22 1 1 sxy 最值 3 的取值范围 4 的最大值与最小值 1 2 y t x 25uxy 5 1 1 MP x yOM OP OMOP 为此区域的一个动点 求 的范围 解 1 2 3 4 minmax 3 4zz minmax 2 s20s 3 1 2 tt 或 minmax 2 11uu 5 3 3 2 2 5 OM OPOMOP 例 5 某工厂用两种不同原料生产同一产品 若采用甲种原料 每吨成本 1000 元 运费 500 元 可得产 品 90 千克 若采用乙种原料 每吨成本 1500 元 运费 400 元 可得产品 100 千克 今预算每日原料总 成本不得超过 6000 元 运费不得超过 2000 元 问此工厂每日采用甲 乙两种原料各多少千克 才能使 产品的日产量最大 解 解 设此工厂每日需甲种原料 x 吨 乙种原料 y 吨 则可得产品 z 90 x 100y 千克 由题意 得 0 0 2000400500 600015001000 yx yx yx 0 0 2045 1232 yx yx yx 上述不等式组表示的平面区域如图所示 阴影部分 含边界 即为可行域 作直线 l 90 x 100y 0 并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交 其中有一条直线经过可行域上的 M 点 且与直线 l 的距离最大 此时 目标函数达到最大值 这里 M 点是直线 2x 3y 12 和 5x 4y 20 的交点 容易解得 此时 z 取到最大值 7 20 7 12 M 440 7 20 100 7 12 90 答 当每天提供甲原料千克 乙原料千克时 每日最多可生产 440 千克产品 7 12 7 20 例 6 某公司招收男职员 x 名 女职员 y 名 x 和 y 须满足约束条件则 z 10 x 10y 的最 112 932 22115 x yx yx 大值是 解 解 由题意 根据已知不等式组及可得到点 x y 的可行域 如图所示 0 0 y x 作直线 x y 0 通过平移 知在 M 点 z 10 x 10y 有最大值 易得 2 9 2 11 M 又由题意 知 x y N 作适当调整 知可行域内点 5 4 可使 z 取最大值 所以 zmax 10 5 10 4 90 例 7 已知不等式组 2 1 0 yx ykx y 所表示的平面区域为面积等于 1 4 的三角形 则实数k的值为 1 例 8 若直线 x y2 上存在点 yx满足约束条件 mx yx yx 032 03 则实数m的最大值为 1 m 例 9 若 x y 满足约束条件 1 1 22 xy xy xy 目标函数2zaxy 仅在点 1 0 处取得最小值 则 a 的 取值范围是 4 2 例 10 设 x y 满足约束条件 若目标函数 的值是最大值为 0 0 02 063 yx yx yx 0 0 zaxby ab 12 则的最小值 23 ab 25 6 练习 练习 1 设直线 l 的方程为 则下列说法不正确的是 C 01 yx A 点集 的图形与 x 轴 y 轴围成的三角形的面积是定值01 yxyx B 点集 的图形是 l 右上方的平面区域01 yxyx C 点集 的图形是 l 左下方的平面区域01 yxyx D 点集 的图形与 x 轴 y 轴围成的三角形的面积有最小值 0 Rmmyxyx 2 已知点 P x0 y0 和点 A 1 2 在直线的异侧 则 D 0823 yxl A B 0 C D 023 00 yx 00 23yx823 00 yx823 00 yx 3 在约束条件下 则目标函数的最优解是 D 0 1 01 x yx yx yxz 10 A 0 1 1 0 B 0 1 0 1 C 0 1 0 0 D 0 1 1 0 4 已知实数 x y 满足Error 若 z ax y 的最大值为 3a 9 最小值为 3a 3 则实数 a 的取值范围为 C A a 1 B a 1 C 1 a 1 D a 1 或 a 1 5 已知变量 x y 满足约束条件Error 且有无穷多个点 x y 使目标函数 z x my 取得最小值 则 m C A 2 B 1 C 1 D 4 6 当点 M x y 在如图所示的三角形 ABC 区域内 含边界 运动时 目标函数 z kx y 取得最大值的一个 最优解为 1 2 则实数 k 的取值范围是 B A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 7 满足的整点的点 x y 的个数是 132 yx 8 已知 x y 满足约束条件的最大值为 3 1 1 y yx xy yxz 2则 9 已知 x y 满足求 1 z1 x y 的最大值 2 z2 x y 的最大值 033 042 022 yx yx yx 3 z3 x2 y2的最小值 4 的取值范围 1 1 4 x x y z 5 的最大值与最小值 3 4 12uxy 解 解 如图 作出已知不等式组表示的平面区域 易求得 M 2 3 A 1 0 B 0 2 1 作直线 x y 0 通过平移 知在 M 点 z1有最大值 5 2 作直线 x y 0 通过平移 知在 A 点 z2有最大值 1 3 作圆 x2 y2 r2 显然当圆与直线 2x y 2 0 相切时 r2有最小值 即 z3有最小值 2 5 2 5 4 4 可看作 1 0 与 x y 两点连线的斜率 所以 z4的取值范围是 2 3 1 x y 10 已知点 P 1 2 及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内 则 b 的取012 byx 值范围是 2 1 2 3 11 求由约束条件确定的平面区域的面积和周长 0 0 62 5 yx yx yx 阴影部分 S 阴影部分 C 解 由约束条件作出其所确定的平面区域 阴影部分 其四个顶点为 O 0 0 B 3 0 A 0 5 P 1 4 过 P 点作 y 轴的垂线 垂足为 C 则 AC 5 4 1 PC 1 0 1 OC 4 OB 3 AP 2 PB 52 31 04 22 得 PCACS ACP 2 1 2 1 8 2 1 OCOBCPS COBP梯形 所以 阴影部分 S ACP S COBP S梯形 2 17 OA AP PB OB 8 阴影部分 C252 12 某工厂家具车间造 A B 型两类桌子 每张桌子需木工和漆工两道工序完成 已知木工做一张 A B 型 桌子分别需要 1 小时和 2 小时 漆工油漆一张 A B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时 又知木工 漆 工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时 而工厂造一张 A B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元 试问工厂每天应生产 A B 型桌子各多少张 才能获得利润最大 解 设每天生产 A 型桌子 x 张 B 型桌子 y 张 则 目标函数为 z 2x 3y 0 0 93 82 yx yx yx 作出可行域