(50)奇数和偶数(上下)9.24

五十 奇数和偶数 上 五十 奇数和偶数 上 奥赛天天练 第三十八 三十九讲 奇数和偶数 学习运用奇数 偶数的性质解 答一些稍复杂的判断计算结果奇偶性的问题 第 38 讲 及日常生活中的一些趣题 如 翻牌问题 参观路线问题 握手问题 开灯问题等 第 39 讲 有关奇数 偶数性质 及较简单的奇偶数问题 请查阅 三年级奥数解析 四十三 奇与偶三年级奥数解析 四十三 奇与偶 四年级奥数解析 四十二 奇 偶分析四年级奥数解析 四十二 奇 偶分析 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 模仿训练 练习讲 模仿训练 练习 1 1 题目题目 1 2 3 1999 2000 2001 的和是奇数还是偶数 解析解析 判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数 主要看算式中奇数的个数 算式中 有奇数个奇数结果为奇数 算式中有偶数个奇数 计算结果为偶数 从 1 到 2000 这 2000 个连续自然数中 有 2000 2 1000 个奇数 再加上 2001 是奇数 算式中共有 1001 个奇数 所以这道算式的计算结果为奇数 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 模仿训练 练习讲 模仿训练 练习 2 2 题目题目 41 名同学参加智力竞赛 竞赛共 20 道题 评分方法是 基础分 15 分 答对一题加 5 分 不答加 1 分 答错 1 题倒扣 1 分 请问所有参赛同学得分的总和是奇数还是偶数 解析解析 每名同学的得分可以用基础分依次加上每一道答对或不答题的得分 再依次减去每一 道答错题的失分 因为每一道题无论是答对 不答得分数 或答错失分数都是奇数 共 20 道题 20 个 即偶数个 奇数相加减计算结果是偶数 再加上基础分 15 分是奇数 所 以每名同学最后得分都是奇数 全班 41 名同学得分总和 就是 41 即奇数个 个奇数相加 一定是奇数 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 1 1 题目题目 有 100 个自然数 它们的和是偶数 在这 100 个自然数中 奇数的个数比偶数的个数 多 问这些自然数中至多有多少个偶数 解析解析 100 个自然数连加 和是自然数 则这 100 个自然数中必然有偶数个奇数 又因为 100 个自然数中奇数的个数比偶数多 而任意一个自然数不是奇数 就是偶数 则奇数的个数一定超过 100 2 50 个 50 2 52 个 综上所述 这 100 个自然数中至少有 52 个奇数 所以这些自然数中至多有偶数 100 52 48 个 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 2 2 题目题目 已知 a b c 中有一个是 2001 一个是 2002 另一个是 2003 判断 a 1 b 2 c 3 的结果是奇数还是偶数 解析解析 若干个整数相乘 其中若有一个乘数是偶数 积就是偶数 根据题意 a 可能是 2001 2002 或 2003 假设 a 是 2001 a 1 2001 1 2000 2000 是偶数 则所求的结果是偶数 同理可得 a 是 2003 时 所求结果也是偶数 假设 a 是 2002 c 只能是 2001 或 2003 一定是奇数 c 3 的差就是偶数 则所 求结果一定是偶数 综上所述 a 1 b 2 c 3 的结果一定是偶数 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 1 1 题目题目 有一类小于 200 的自然数 每一个数的各位数字之和都是奇数 并且每个数都是两个 两位数的乘积 如 144 12 12 把这一类自然数从大到小排列 第三个数是多少 解析解析 所求自然数小于 200 且能分解成两个两位数因数的乘积 因为 200 152 如果两个 因数都大于或等于 15 这个数就大于 200 了 所以这两个两位数因数 至少有一个因数 小于 15 根据因数特征 按从大到小的顺序 尝试计算 寻找符合条件的此类自然数 13 15 195 13 14 182 12 15 180 这一类自然数从大到小排列 第三个数是 180 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 2 2 题目题目 能否在下面的 内填入加号或减号 使等式成立 为什么 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析解析 判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数 主要看算式中奇数的个数 算式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中 共有 5 个奇数 1 3 5 7 9 所以这道算 式 无论在 内填入的是加号还是减号 计算结果一定是奇数 不可能是偶数 10 所以无论在 内填入的是加号还是减号 这个等式都不能成立 五十一 奇数和偶数 下 五十一 奇数和偶数 下 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3939 讲 模仿训练 练习讲 模仿训练 练习 1 1 题目题目 一副扑克牌 54 张 除去大 小王后还有 52 张 则取同一花色的 13 张牌正面朝上放 好 按牌上的数的约数个数作为翻动次数 这里把 J Q K 看作 11 12 13 问这些 牌经过翻动后 都有那些牌背面朝上 解析解析 一 每张牌正面朝上放好 翻动偶数次后仍然正面朝上 翻动奇数次后变化为背面朝 上 二 任意一个整数的约数都是成对出现的 如果一个整数是完全平方数 即可以写成另一个整数的平方 则这个数有奇数个因数 如果一个整数不是完全平方数 则这个数有偶数个因数 三 1 到 13 中 完全平方数有 3 个 1 4 9 综上所述 1 4 9 这三张牌经过翻动后背面朝上 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3939 讲 模仿训练 练习讲 模仿训练 练习 2 2 题目题目 某展览馆共有 36 个陈列室 相邻两室之间都有门通行 有人希望每个展览室都去一 次 并且只去一次 你能替他设计参观路线吗 解析解析 如上图 把 6 6 的方格黑 白相间染色 从图中可以看出 从黑格走出后 只能进 入白格 从白格走出后只能进入黑格 从入口黑格进入展览馆 参观路线只能是 黑 白 黑 白 走到黑格时共参观了奇数个陈列室 走到白格时共参观了偶数个陈列室 要参观 36 个陈列室 最后到达的是白格陈列室 而出口在黑格陈列室 所以无法设计出符合题目要求的参观路线 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3939 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 1 1 题目题目 由 14 个 1 1 的正方形组成下图 用 7 个 1 2 的长方形能不能把这个图形都盖住 为什么 解析解析 把这些小正方形黑白相间染色 与任意黑格相邻的必是白格 而与白格相邻的必是白 格 如下图 用 1 2 的长方形去覆盖 每次盖住两个相邻小正方形一个是黑格 一个是 白格 7 个长方形只能盖住 7 个黑格和 7 个白格 而上图中有 6 个白格 8 个黑格 所以 7 个 1 2 的长方形不能把原图形都盖住 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3939 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 2 2 题目题目 一次宴会上 客人们相互握手 问握手次数是奇数的那些人总数是奇数还是偶数 解析解析 两人握手 给每人各计数一次 共 2 次 则无论多少人相互握手 握手总次数为偶数 把宴会上握手的人分为两类 第一类是握手次数为偶数的人 第二类是握手次数为奇 数的人 N 个偶数相加的和仍为偶数 第一类人握手总次数为偶数 所有人握手总次数也是偶 数 偶数减偶数还是偶数 所以第二类人握手总次数也是偶数 第二类人 每人握手次数为奇数 奇数个奇数相加和为奇数 偶数个奇数相加和才为 偶数 第二类人握手总次数为偶数 所以第二类人总数也是偶数 即宴会上握手次数是奇数的那些人总数是偶数 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3939 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 1 1 题目题目 能否用 3 个 田 字形纸片 如下面左图 和 13 个 丁 字形纸片 如下面右图 完全盖住一个 8 8 的正方形棋盘 解析解析 如下图 把棋盘黑白相间染色 共有 32 个黑格 32 个白格 用 田 字形纸片覆盖 每张纸片能盖住 2 个黑格 2 个白格 用 丁 字形纸片覆盖 能盖住 3 个黑格 1 个白 格或 3 个白格 1 个黑格 3 个 田 字形纸片覆盖了 6 个黑格和 6 个白格 剩下 26 个黑格 26 个白格共 52 格 黑格数和白格数都是偶数 每个 丁 字形纸片覆盖的黑格数和白格数都是奇数 1 格或 3 格 共有 13 个 丁 字形纸片 正好覆盖 52 格 但 13 个奇数的和还是奇数 因此覆盖的白格数和黑格 数都是奇数 不可能都盖住 26 格 因此 用所给的纸片不能盖住整个棋盘 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3939 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 2 2 题目题目 有 n 盏有拉线开关的灯都亮着 规定每次拉动 n 1 个开关 能不能将所有灯都关 上 解析解析 n 盏灯开始都是亮着的 每盏灯拉动开关奇数次后会关上 拉动开关偶数次后又会点 亮 分两种情况讨论 一 当 n 是奇数时 n 1 是偶数 要使所有灯都关上 每盏灯都要拉动奇数次 奇数个奇数的和是奇数 n 盏灯拉动开 关的总次数必须是奇数 每次拉动 n 1 个开关 n 1 是偶数 无论拉动多少次 任意多个偶数的和是 偶数 拉动开关的总次数只能是偶数 所以当 n 是奇数时 按规定 不能将所有灯都关上 二 当 n 是偶数时 如下图 白点表示亮灯 黑点表示关灯 每次拉动 n 1 盏灯 黑白交界处有一盏 没有拉动的灯 开始时 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 观察上面图示可以发现 当 n 是偶数时 每次拉动 n 1 盏灯 拉动 n 次 可以将 n 盏灯全部关上 三年级奥数解析 四十三 奇与偶三年级奥数解析 四十三 奇与偶 奥赛天天练 第 49 讲 奇与偶 所有整数可以分为奇数和偶数两大类 现阶段 所谓奇数指的就是孩子们熟悉的单数 偶数指的就是双数和 0 在四年级 孩子们将学 到奇 偶数完整的定义 能被 2 整除的整数叫做偶数 如 0 2 4 等都是偶数 包括 正偶数 负偶数和 0 不能被 2 整除的整数叫做奇数 如 1 3 5 等都是奇数 包括 正奇数和负奇数 人们习惯上常用 2n 表示偶数 用 2n 1 表示奇数 其中 n 是整数 通过实验 孩子们很容易证明奇 偶数有下面一些重要性质 1 任意一个整数都有奇偶性 即不是奇数就是偶数 2 奇数 奇数 偶数 奇数 偶数 奇数 偶数 偶数 偶数 3 奇数个奇数的和 或差 为奇数 偶数个奇数的和 或差 为偶数 任意多个偶 数的和 或差 总是偶数 4 两个奇数之积为奇数 一个偶数与一个整数之积为偶数 5 若干个整数相乘 其中若有一个乘数是偶数 积就是偶数 如果所有的乘数都是 奇数 积就是奇数 6 偶数的平方必能被 4 整除 奇数的平方被 4 除余 1 注 第注 第 3 3 条性质可以利用第条性质可以利用第 2 2 条性质进行证明 第条性质进行证明 第 5 5 条性质可以利用第条性质可以利用第 4 4 条性质进条性质进 行证明 行证明 奥赛天天练奥赛天天练 第第 4949 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 1 1 题目题目 有 5 盏亮着的灯 每盏都用拉线开关 如果规定每次必须同时拉动 4 个拉线开关 试 问 能否把 5 盏灯都关闭 解析解析 每次同时拉动 4 个拉线开关 不能把 5 盏灯都关闭 任意一盏灯在亮着的状态下 只有拉动奇数次 才能把灯关闭 要 5 盏灯都关闭 则 每盏灯都要拉动奇数次 总次数为 5 个奇数的和还是奇数次 而按规定 每次必须同时拉 动 4 个拉线开关 4 是偶数 无论拉多少次 总次数都是若干个 4 相加必然是偶数次 不可能是奇数次 因此不能把把 5 盏灯都关闭 奥赛天天练奥赛天天练 第第 4949 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 1 1 题目题目 桌上有 6 只杯口朝上的杯子 每次翻动 4 只杯子 能否经过若干次翻动 使全部杯口 朝下 为什么 解析解析 首先根据翻动次数的奇偶性 判断这样翻动有可能使全部杯口朝下 每只杯子在杯口朝上的状况下 只有翻动奇数次才能使杯口朝下 6 个杯子全部杯 口朝下 翻动的总次数为 6 个奇数次的和为偶数次 而每次翻动 4 只杯子 经过若干次翻 动 总次数为若干个 4 次的和也是偶数次 所以这样翻动有可能使全部杯口朝下 再通过画图 实验进行验证 如下图 通过三次翻动可以使全部杯口朝下 第一次翻动 第二次翻动 第三次翻动 奥赛天天练奥赛天天练 第第 4949 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 2 2 题目题目 有 17 个同学面朝东站着 每次有 6 个同学向后转 能否用这种方法将 17 个同学全部 转过来 使他们都面朝西站着 为什么 解析解析 不能 与上面 巩固训练 习题 1 同理 每个同学在面朝东站着时 只有向后转奇数次 才能面朝西站着 17 个同学全部转过来 向后转的总次数是 17 个奇数的和 还是奇数 次 而每次有 6 个同学向后转 无论转多少次 向后转的总次数也是偶数次 所以用这种 方法不能使 17 个同学都面朝西站着 四年级奥数解析 四十二 奇 偶分析四年级奥数解析 四十二 奇 偶分析 奥赛天天练 第 38 讲 奇 偶分析 奇 偶性是所有整数都具有的性质 任意整数不是奇数就是偶数 根据整数的奇 偶 特征 及其在运算中的规律 可以解决一些数学问题 相关常识 在三年级奥数课堂已有专题介绍 请查阅 三年级奥数解析 四十三 奇与偶三年级奥数解析 四十三 奇与偶 补充 任意相邻的两个奇数或两个偶数的差为 2 2n 个连续奇数或偶数的和 就是按大小顺序排在正中间的两个数和的 n 倍 这 2n 个数的平均数就是中间两个数和的一半 2n 1 个连续奇数或偶数的和 就是按大小顺序排在正中间的一个数和的 2n 1 倍 正中间的这个数就是这 2n 1 个数的平均数 本讲在三年级所学基础上 进一步探究 如何通过分析整数的奇偶特征 来解决一些 相关的数学问题 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 模仿训练 练习讲 模仿训练 练习 1 1 题目题目 2 4 6 8 是连续的偶数 若 5 个连续的偶数的和是 320 这 5 个数中最小的一 个是多少 解析解析 320 5 64 所以这 5 个连续偶数正中间的一个数是 64 这 5 个数是 60 62 64 66 68 最 小的一个为 64 2 2 60 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 模仿训练 练习讲 模仿训练 练习 2 2 题目题目 有一列数 2 3 5 8 13 21 34 第 2003 个数是奇数还是偶数 解析解析 观察这一列数的特征 从第三个数开始 每个数都是这个数之前两个数的和 且第一 个数是偶数 第二个数是奇数 根据两个整数相加 和的奇偶性的呈现规律可得这一列数的奇偶性为 偶 奇 奇 偶 奇 奇 偶 奇 奇 每 3 个数一组 按 偶 奇 奇 的顺序呈周期性排列 2003 3 667 2 所以 第 2003 个数是奇数 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 1 1 题目题目 一次数学考试共有 20 道题 规定答对一题得 2 分 答错一题倒扣 1 分 未答的题不 计分 考试结束后 小明共得 23 分 他想知道自己做错了几道题 但只记得未答的题的 数目是个偶数 请你帮小明算一下 他答错了几道题 还有几道题没有答 解析解析 答对一题得 2 分 无论答对多少题 总得分必是偶数 小明总分是 23 为奇数 所 以小明倒扣分一定是奇数 即答错题的数目一定是奇数 又因为未答的题的数目是个偶数 总题数 20 也是偶数 所以小明答对的题数必定也 是奇数 小明最后得分为 23 分 每答对一题得 2 分 小明至少要答对 13 题以上 假设小明答对 13 题 13 2 23 3 题 20 13 3 4 题 则小明答错了 3 道题 有 4 道题未答 假设小明答对了 15 道题及 15 道题以上 通过计算可得总题数超过了 20 道 不符合 题意 所以本题只有唯一答案 小明答错了 3 道题 有 4 道题未答 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 2 2 题目题目 某班有 29 个小朋友 现在要举行乒乓求比赛 能不能让他们每个人都恰好与其他三 个人比赛一次 解析解析 每场比赛都有两人参加 两人单算就是 2 场比赛 总场数一定为偶数 但 29 个小朋友每个人都与其他三人正好比赛一次 及每人 3 场比赛 总场数为 29 3 是奇数场 所以 不可能让他们每个人都恰好与其他三个人比赛一次 奥赛天天练奥赛天天练 第第 3838 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 1 1 题目题目 在下图中的每个 中填入一个自然数 可以相同 使得任意两个相邻的 中的数字 之差 大数减小数 恰好等于它们之间所标的数字 能否办到 为什么 解析解析 第一种情况 假设在最上面一个 里填上一个奇数 这个数与中间一层两个 里的数的差分别是 5 和 3 两个奇数 则中间一层两个 里的数必须是偶数 如果中间一层两个 里的数都是偶数 这两个数与下面一层两个 里的数的差分别是 4