[精品]数列复习材料

精品精品 数列复习材料数列复习材料 一 课标要求 1 数列的概念和简单表示法 通过日常生活中的 实例 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图像 通项 公式 了解数列是一种特殊函数 2 通过实例 理解等差数列的 概念 探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式 3 能在 具体的问题情境中 发现数列的等差关系 并能用有关知识解决相 应的问题 体会等差数列与一次函数的关系二 命题走向 数列在历年高考 都占有很重要的地位 一般情况下都是一至二个客观性题目和一个 解答题 对于本将来讲 客观性题目主要考察数列 等差数列的概念 性质 通项公式 前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用 对基 本的计算技能要求比较高三 要点精讲 1 数列的概念 1 数列定义按一定次序排列的一列数叫做数列 数列中的每个数 都叫这个数列的项 记作na 在数列第一个位置的项叫第1项 或首项 在第二个位置 的叫第2项 序号为n的项叫第n项 也叫通项 记作na 数列 的一般形式1a 2a 3a na 简记作 n a 2 通项公式的定义如果数列 n a的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示 那么这个公式就叫这 个数列的通项公式例如 数列 的通项公式是n a n n 7 nN 数列 的通项公式是n a 1n nN 说明 n a表示数列 n a表示数列中的第n项 n a f n表示数列的通项公式 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 例如 n a 1 n 1 21 1 2nkkZnk 不是每个数列都有通项公式 例如 1 1 4 1 41 1 414 3 数列的函数特征与图象表示序号123456项456789上面每一项序 号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射 从函数观点看 数列实质上是定义域为正整数集N 或它的有限子 集 的函数 f n当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值 1 2 3 fff f n 通常用n a来代替 f n 其图象是一群孤立点 4 数列分类 按数列项数是有限还是无限分有穷数列和无穷数列 按数列项与项之间的大小关系分单调数列 递增数列 递减数 列 常数列和摆动数列 5 递推公式定义如果已知数列 n a的第1项 或前几项 且任一项n a与它的前一项1n a 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式2 等差数列 1 等差数列定义一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它 的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫等差数列 这个 常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 用递推公式表示为1 2 nnaad n 或1 1 nnaad n 2 等差数列的通项公式1 1 n aand 说明等差数列 通常可称为A P数列 的单调性d0 为递增数列 0d 为常数列 0d 为递减数列 3 等差中项的概念定义如果a A b成等差数列 那么A叫做a与b 的等差中项 其中2abA a A b成等差数列 2abA 4 等差数列的前n和的求和公式11 1 22nnn aannSnad 典例解析 题型1数列概念 xx安徽卷文 已知为等 差数列 则等于A 1B 1C 3D 7 解析 135105aaa 即33105a 335a 同理可得433 a 公差432daa 204 204 1aad 选B 答案 B2 根据数列前4项 写出它的通项公式 1 1 3 5 7 2 2212 2313 2414 2515 3 11 2 12 3 13 4 14 5 解析 1 na 21n 2 na 2 1 11nn 3 na 1 1 nn n 点评每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数 集的对应关系 这对考生的归纳推理能力有较高的要求 例2 数列 na中 已知21 3nnnanN 1 写出10a 1na 2na 2 2793是否是数列中的项 若是 是第几项 解析 1 21 3nnnanN 10a21010110933 1na 2211 13133nnnn 2na 222421133nnnn 2 令2793213nn 解方程得15 16nn 或 nN 15n 即2793为该数列的第15项 点评该题考察数列通项的定义 会判断数列项的归属题型2数列的递 推公式例3 如图 一粒子在区域 x y0 0 xy 上运动 在第一秒内它从原点运动到点1 0 1 B 接着按图中 箭头所示方向在x轴 y轴及其平行方向上运动 且每秒移动一个单 位长度 1 设粒子从原点到达点nnnABC 时 所经过的时间分别为nnna b c 试写出 nnna b c的通相公式 2 求粒子从原点运动到点 16 44 P时所需的时间 3 粒子从原点开始运动 求经过xx秒后 它所处的坐标源头学子 小屋特级教师王新敞w xck t 126 王新敞特级教师源头学子小屋 解析 1 由图形可设12 1 0 2 0 0 A nnAA 当粒子从原点到达n A时 明显有13 a 211 aa 3111234 aaa 431 aa 5332054 a aa 651 aa 2123 21 4 nnaan 2211 nnaa 2114 35 21 naan 241n 222114nnaan 221212 21 441nnbannn 22222 44nnbannn 222121 21 42 21 21 nncbnnnnn 2222242 2 2 nncannnnn 即2nn 2 有图形知 粒子从原点运动到点 16 44 P时所需的时间是到达 点44C所经过得时间44c再加 44 16 28秒 所以2444428xxt 秒 3 由2nn xx 解得1801712n 取最大得n 44 0C5C4C3C2B 5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1A1xy经计算 得44c 1980 点评从起始项入手 逐步展开解题思维 由特殊到一般 探索出数列的递推关系式 这是解答数列问题一般 方法 也是历年高考命题的热点所在 例4 1 已知数列 na适合11a 01n a 22nnaa 写出前五项并写出其通项公式 2 用上面的数列 na 通过等式1nnnbaa 构造新数列 nb 写 出nb 并写出 nb的前5项解 1 11a 223a 324a 425a 526a 21nan 2 22212 1 2 nbnnnn 113b 216b 3110b 4115b 5121b 点 评会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 了解递推公式是 给出数列的又一种重要方法 能根据递推公式写出数列的前几项 题型3数列的应用例5 湖南省xx届十二校联考第一次考试如果一个 数列的各项都是实数 且从第二项开始 每一项与它前一项的平方 差是相同的常数 则称该数列为等方差数列 这个常数叫这个数列 的公方差 1 设数列 na是公方差为p的等方差数列 求na和1na 2 nnN 的关系式 2 若数列 na既是等方差数列 又是等差数列 证明该数列为常数 列 3 设数列 na是首项为2 公方差为2的等方差数列 若将12310aaa a 这种顺序的排列作为某种密码 求这种密码的个数 1 解由等方差数列的定义可知2n2n1aap 2 nnN 5分 2 证法一 na是等差数列 设公差为d 则11nnnnaaaad 又 na是等方差数列 2n2n2n2n11aaaa 7分 1111 nnnnnnnnaaaaaaaa 即211 20nnnn d aaaad 10分 0d 即 na 是常数列 11分证法二 na是等差数列 设公差为d 则1nnaad 1又 na是等方 差数列 设公方差为p 则2n2n1aap 2 7分 1代入 2得 220 nddap 3同理有 2120 nddap 4两式相 减得即212 d a 20nnad 10分 0d 即 na是 常数列 11分证法三 接 证法二 1 2 由 1 2得出若0d 则 na是常数列 8分若0d 则22 ndpad 是常数 0d 矛盾 10分 na是常数列 11分 3 依题意 22n12naa 2 nnN 214a 242 1 22n ann 22nan 或22nan 13分即 该密码的第一个数确定的方法数是1 其余每个数都有 正 或 负 两种确定方法 当每个数确定下来时 密码就确定了 即确定密 码的方法数是92512 种 故 这种密码共512种 16分 点评解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理 例6 在某报 自测健康状况 的报道中 自测血压结果与相应年龄 的统计数据如下表 观察表中数据的特点 用适当的数填入表中空白 内答案14085解析从题目所给数据规律可以看到收缩压是 等差数列 舒张压的数据变化也很有规律随着年龄的变化 舒张压分 别增加了3毫米 2毫米 照此规律 60岁时的收缩压和舒张压分 别为140 85 点评本题以实际问题为背景 考查了如何把实际生活 中的问题转化为数学问题的能力 它不需要技能 技巧及繁杂的计算 需要有一定的数学意识 有效地把数学过程实施为数学思维活动 题型4等差数列的概念例7 设Sn是数列 an 的前n项和 且Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列B 等差数列 但不是等 比数列C 等差数列 而且也是等比数列D 既非等比数列又非等差数 列答案B 解法一an 2 12 1 1 2 1 11nnnanSSnSnnn an 2n 1 n N 又an 1 an 2为常数 12121 nnaann 常数 an 是等差数列 但不是等比数列 解 法二如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数 则这 个数列一定是等差数列 点评本题主要考查等差数列 等比数列的概念和基本知识 以及灵 活运用递推式an Sn Sn 1的推理能力 但不要忽略a1 解法一紧扣 定义 解法二较为灵活例8 设数列 n a n b n c满足2 nnnaab 2132 nnnnaaac n 1 2 3 证明 n a为等差数列的充分必要条件是 n c为等差数列且1 nnbb n 1 2 3 证明 1必要性设数列 n a是公差为1d的等差数列 则 311nnnnaabb 2 nnaa 1nnaa 23 nnaa 1d 1d 0 1 n nbb n 1 2 3 成立 又 2 11 nnnnaa 12 nnaa 323 nnaa 61d 常数 n 1 2 3 数列 n c为等差数列 2充分性设数列 nc是公差为2d的等差数列 且1 n nbb n 1 2 3 2132 nnnnaaac 432232 nnnnaaac 得 22 nnnnaa 231 nnaa 342 nnaa 2132 nnnbbb 12nnnn2212 dnn 2132 nnnbbb22d 从而有32132 nnnbbb22d 得0 3 2 23121 nnnnnnbbbbbb 0