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P F2F1 2 1 2 1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程导学导学 案案 第 1 课时 学习目标学习目标 1 从具体情境中抽象出椭圆的模型 2 掌握椭圆的定义 3 掌握椭圆的标准方程 学习过程学习过程 一 自学探究一 自学探究 预习教材 P32 P34回答下列问题 1 椭圆的产生椭圆的产生 取一条定长的细绳 实验 把它的两端都固定在图板的同一个点处 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 这时笔尖画出的轨迹是一个 实验 如果把细绳的两端拉开一段距离 分别固定在图 板的两个点处 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 画出的轨 迹是什么曲线 思考 移动的笔尖 动点 满足的几何条件是什么 经过观察后思考 在移动笔尖的过程中 细绳的 保持不变 即笔尖 等于常数 2 椭圆的定义椭圆的定义 椭圆 焦点 焦距 椭圆 焦点 焦距 反思 若将距离之和 P F1 P F2 记为 为什么 2a 12 2aFF 当时 其轨迹为 2 21F Fa 当时 其轨迹为 12 2aFF 当时 其轨迹为 12 2aFF 小结 理解椭圆的定义注意两点 分清动点和定点 看是否满足常数 12 2aFF 3 3 推导椭圆标准方程 根据提示完成以下推导过程 推导椭圆标准方程 根据提示完成以下推导过程 建系设点 以 F1和 F2所在直线为轴 线段 F1 x F2的中点为原点建立直角坐标系 设 M是椭 yx圆 上任意一点 设 F1F2 2 则 F1 F2c 0 c 0 c 列式 由题知 M MF1 MF2 2 a 代换 即 化简 移项平方后得 M p 整理得 两边平方后整理得 由椭圆的定义知 即 令 其中 ca22 ca 22 ca 222 bca 0 b 代入上式 得 两边除以 得 222222 bayaxb 22b a 0 ba 证明略 4 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 焦点在 轴上时 椭圆的标准方程 x 两个焦点坐标为 焦点在轴上时 椭圆的标准方程是 y 两个焦点坐标为 5 从图中找出表示从图中找出表示 a b c 的线段 的线段 a b c 之间的关系 二 二 典型例题 例 1 指出下列椭圆方程中的 a b c 的值 并说出焦点所在的轴 1 2 3 4x2 9y2 361 1625 22 yx 1 36100 22 yx 例 2 方程表示焦点在轴上的椭圆 则实数的范围 2 1 4 xy m xm 例 3 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 并且经过点 求 2 0 2 0 53 22 它的标准方程 变式 已知椭圆上一点 P 到其一个焦点的距离为 3 则点 P 到另一1 1625 22 yx 个焦点的距离为 三 课堂练习 三 课堂练习 P36 1 2 3 四 四 课后作业
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