1.1.2导数的概念

1 1 2 1 1 2 导数的概念导数的概念 教学目标 1 了解瞬时速度 瞬时变化率的概念 2 理解导数的概念 知道瞬时变化率就是导数 体会导数的思想及其内涵 3 会求函数在某点的导数 教学重点 瞬时速度 瞬时变化率的概念 导数的概念 教学难点 导数的概念 教学过程 一 创设情景 一 平均变化率 二 探究 计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考以下问题 49 65 0 t 运动员在这段时间内使静止的吗 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 探究过程 如图是函数h t 4 9t2 6 5t 10 的图像 结合图形可知 0 49 65 hh 所以 0 0 49 65 0 49 65 ms hh v 虽然运动员在这段时间里的平均速度为 但实际 49 65 0 t 0ms 情况是运动员仍然运动 并非静止 可以说明用平均速度不能精确描 述运动员的运动状态 二 新课讲授 1 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 运动员的平均速度不能反映他在某一 h t o 时刻的瞬时速度 那么 如何求运动员的瞬时速度呢 比如 时的瞬时速度是多少 2t 考察附近的情况 2t 思考 当趋近于 0 时 平均速度有什么样的变化趋势 t v 结论 当趋近于 0 时 即无论 从小于 2 的一边 还是从大于 2 的一边趋近于 2 时 t t 平均速度都趋近于一个确定的值 v13 1 从物理的角度看 时间间隔无限变小时 平均速度就无限趋近于史的瞬时速度 因t v 此 运动员在时的瞬时速度是2t 13 1 m s 为了表述方便 我们用 0 2 2 lim13 1 t hth t 表示 当 趋近于 0 时 平均速度趋近于定值 2t t v13 1 小结 局部以匀速代替变速 以平均速度代替瞬时速度 然后通过取极限 从瞬时速度的近 似值过渡到瞬时速度的精确值 2 导数的概念 从函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 00 00 limlim xx f xxf xf xx 我们称它为函数在出的导数 记作或 即 yf x 0 xx 0 fx 0 x xy 00 0 0 lim x f xxf x fx x 说明 1 导数即为函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 2 当时 所以 0 xxx 0 x 0 xx 0 0 0 0 lim x f xf x fx xx 三 典例分析 例 1 1 求函数y 3x2在x 1 处的导数 分析 分析 先求 f y f x f 6 x x 2 再求 再求6 f x x 0 lim6 x f x 解 解 法一 略 法二 2222 1 111 33 13 1 limlimlim3 1 6 11 x xxx xx yx xx 2 求函数f x 在附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 xx 2 1x 解 x x xx x y 3 2 1 1 2 2 00 1 1 2 1 limlim 3 3 xx yxx fx xx 例 2 课本例 1 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和 加热 如果第时 原油的温度 单位 为 计算第xhC 2 715 08 f xxxx 时和第时 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 2h6h 解 在第时和第时 原油温度的瞬时变化率就是和2h6h 2 f 6 f 根据导数定义 0 2 fxf xf xx 22 2 7 2 15 27 2 15 3 xx x x 所以 00 2 limlim 3 3 xx f fx x 同理可得 6 5 f 在第时和第时 原油温度的瞬时变化率分别为和 5 说明在附近 原油温度大2h6h3 2h 约以的速率下降 在第附近 原油温度大约以的速率上升 3 C h 6h5 C h 注 一般地 反映了原油温度在时刻附近的变化情况 0 fx 0 x 四 课堂练习 1 质点运动规律为 求质点在的瞬时速度为 3 2 ts3t 2 求曲线y f x x3在