数学景点杨梅函数

某景区的旅游线路如图 1 所示 其中A为入口 B C D为风景点 E为三岔路 的交汇点 图 1 中所给数据为相应两点间的路程 单位 km 甲游客以一定 的速度沿线路 A D C E A 步行游览 在每个景点逗留的时间相同 当他 回到A处时 共用去 3h 甲步行的路程s km 与游览时间t h 之间的部分 函数图象如图 2 所示 1 求甲在每个景点逗留的时间 并补全图象 2 求C E两点间的路程 3 乙游客与甲同时从A处出发 打算游完三个景点后回到A处 两人相约先 到者在A处等候 等候时间不超过 10 分钟 如果乙的步行速度为 3km h 在每个景点逗留的时间 与甲相同 他们的约定能否实现 请说明理由 答案 1 解法一 由图 2 可知甲步行的速度为 km h 因此甲在每个景点逗留的时间为 h 解法二 甲沿A D步行时s与t的函数关系式为 设甲沿D C步行时s与t的函数关系式为 则 当时 因此甲在每个景点逗留的时间为 h 补全图象如下 2 解法一 甲步行的总时间为 h 甲的总行程为 km C E两点间的路程为 km 解法二 设甲沿C E A步行时 t h s与t的函数关系式为 则 当时 C E两点间的路程为 km 3 他们的约定能实现 乙游览的最短线路为 A D C E B E A 或A E B E C D A 总行程为 km 乙游完三个景点后回到A处的总时间为 h 乙比甲晚 6 分钟到A处 说明 图象的第四段由第二段平移得到 第五段与第一 三段平行 且右端点的横坐标为 3 如果学生 补全的图象可看出这些 但未标出 2 3 也可得 2 分 第 3 问学生只说能实现约定 但未说理由不给分 某公司经营杨梅业务 以 3 万元 吨的价格向农户收购杨梅后 分拣成 A B 两类 A 类杨 梅包装后直接销售 B 类杨梅深加工后再销售 A 类杨梅的包装成本为 1 万元 吨 根据市 场调查 它的平均销售价格 y 单位 万元 吨 与销售数量 x x 2 之间的函数关系如图 B 类杨梅深加工总费用 s 单位 万元 与加工数量 t 单位 吨 之间的函数关系是 s 12 3t 平均销售价格为 9 万元 吨 1 直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式 2 第一次 该公司收购了 20 吨杨梅 其中 A 类杨梅有 x 吨 经营这批杨梅所获得的毛利 润为 w 万元 毛利润 销售总收入 经营总成本 求 w 关于 x 的函数关系式 若该公司获得了 30 万元毛利润 问 用于直销的 A 类杨梅有多少吨 3 第二次 该公司准备投入 132 万元资金 请设计一种经营方案 使公司获得最大毛利润 并求出最大毛利润 答案答案 答案 解 1 当 2 x 8 时 如图 设直线 AB 解析式为 y kx b 将 A 2 12 B 8 6 代入得 解得 y x 14 当 x 8 时 y 6 所以 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式为 y 2 设销售 A 类杨梅 x 吨 则销售 B 类杨梅 20 x 吨 当 2 x 8 时 wA x x 14 x x2 13x wB 9 20 x 12 3 20 x 108 6x w wA wB 3 20 x2 13x 108 6x 60 x2 7x 48 当 x 8 时 wA 6x x 5x wB 9 20 x 12 3 20 x 108 6x w wA wB 3 20 5x 108 6x 60 x 48 w 关于 x 的函数关系式为 w 当 2 x 8 时 x2 7x 48 30 解得 x1 9 x2 2 均不合题意 当 x 8 时 x 48 30 解得 x 18 当毛利润达到 30 万元时 直接销售的 A 类杨梅有 18 吨 3 设该公司用 132 万元共购买了 m 吨杨梅 其中 A 类杨梅为 x 吨 B 类杨梅为 m x 吨 则购买费用为 3m 万元 A 类杨梅加工成本为 x 万元 B 类杨梅加工成本为 12 3 m x 万 元 3m x 12 3 m x 132 化简得 x 3m 60 当 2 x 8 时 wA x x 14 x x2 13x wB 9 m x 12 3 m x 6m 6x 12 w wA wB 3 m x2 13x 6m 6x 12 3m x2 7x 3m 12 将 3m x 60 代入得 w x2 8x 48 x 4 2 64 当 x 4 时 有最大毛利润 64 万元 此时 m m x 当 x 8 时 wA 6x x 5x wB 9 m x 12 3 m x 6m 6x 12 w wA wB 3 m 5x 6m 6x 12 3m x 3m 12 将 3m x 60 代入得 w 48 当 x 8 时 有最大毛利润 48 万元 综上所述 购买杨梅共吨 其中 A 类杨梅 4 吨 B 类吨 公司能够获得最大毛利 润 最大毛利润为 64 万元 解析 1 这是一个分段函数 分别求出其函数关系式 2 当 2 x 8 时及当 x 8 时 分别求出 w 关于 x 的表达式 注意 w 销售总收入 经 营总成本 wA wB 3 20 若该公司获得了 30 万元毛利润 将 30 万元代入 中求得的表达式 求出 A 类杨梅的数 量 3 本问是方案设计问题 总投入为 132 万元 这笔 132