平面向量的概念及线性运算

1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 基础梳理 1 向量的有关概念 1 向量 既有大小又有方向的量叫向量 向量的大小叫做向量的模 2 零向量 长度等于 0 的向量 其方向是任意的 3 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 4 平行向量 方向相同或相反的非零向量 又叫共线向量 规定 0 与任一向量 共线 5 相等向量 长度相等且方向相同的向量 6 相反向量 长度相等且方向相反的向量 2 向量的线性运算 向量运算定 义法则 或几何意义 运算律 加法 求两个向量和的运 算 三角形法则 平行四边形法则 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 减法 求 a 与 b 的相反向 量 b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差三角形法则 a b a b 3 向量的数乘运算及其几何意义 1 定义 实数 与向量 a 的积是一个向量 这种运算叫向量的数乘 记作 a 它 的长度与方向规定如下 a a 当 0 时 a 与 a 的方向相同 当 0 时 a 与 a 的方向相反 当 0 时 a 0 2 运算律 设 是两个实数 则 a a a a a a b a b 4 共线向量定理 2 向量 a a 0 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 使得 b a 双基自测 1 固基升华 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 向量与有向线段是一样的 因此可以用有向线段来表示向量 2 若a b b c 则a c 3 a b是a b R 的充要条件 4 若O是 ABC的重心 则 0 OA OB OC 解析 1 中 向量 和 有向线段 不同 向量只有两个要素 大小 方 向 而有向线段有三个要素 起点 方向 长度 1 不正确 2 当b 0 a与 c不一定平行 2 错 3 当a 0 b 0 时 a bD a b 但 a b a b a b是a b R 的必要不充分条件 3 错误 4 根据 平行四边形法则 4 正确 答案 1 2 3 4 2 判断下列四个命题 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 只有 正确 答案 A 3 人教 A 版教材习题改编 化简 的结果为 OP QP MS QM A B C D OM SM PS OS 解析 答案 D OP QP MS QM OP PQ QM MS OQ QS OS 4 2014 广州质检 设a b都是非零向量 下列四个条件中 使 成立 a a b b 的充分条件是 A a b B a b C a 2b D a b且 a b 解析 表示与a同向的单位向量 表示与b同向的单位向量 只要a a a b b 3 与b同向 就有 观察选择项易知 C 满足题意 答案 C a a b b 5 人教 A 版教材习题改编 D 是 ABC 的边 AB 上的中点 则向量等于 CD A B BC 1 2BA BC 1 2BA C D BC 1 2BA BC 1 2BA 解析 如图 答案 A CD CB BD CB 1 2BA BC 1 2BA 6 若 O E F 是不共线的任意三点 则以下各式中成立的是 A B EF OF OE EF OF OE C D EF OF OE EF OF OE 解析 答案 B EF EO OF OF OE 7 如图 D E F 分别是 ABC 的边 AB BC CA 的中点 则 A 0 AD BE CF B 0 BD CF DF C 0 AD CE CF D 0 BD BE FC 4 解析 0 2 2 2 0 AB BC CA AD BE CF 即 0 答案 A AD BE CF 8 在 ABC 中 c b 若点 D 满足 2 则 AB AC BD DC AD A b c B c b 2 3 1 3 5 3 2 3 C b c D b c 2 3 1 3 1 3 2 3 解析 2 2 BD DC AD AB AC AD 3 2 AD AC AB b c 答案 A AD 2 3AC 1 3AB 2 3 1 3 9 2013 广东高考 设a是已知的平面向量且a 0 关于向量a的分解 有如下 四个命题 给定向量b 总存在向量c 使a b c 给定向量b和c 总存在实数 和 使a b c 给定单位向量b和正数 总存在单位向量c和实数 使a b c 给定正数 和 总存在单位向量b和单位向量c 使a b c 上述命题中的向量b c和a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 显然命题 是正确 对于 给定向量b 则 b可以确定方向 不妨设如图所示 作 b B为垂足 当正数 AB a sin a b 时 AB 不存在单位向量c 使a b c 因此 错 对于 根据向量的三角形法 则 必有 b c a 若 1 a 2 时 与 5 a b c b c 2 矛盾 则 不正确 答案 B 10 2011 兰州模拟 已知 a b 是不共线的向量 a b a b R 那么 A B C 三点共线的充要条件是 AB AC A 2 B 1 C 1 D 1 解析 由 a b a b R 及 A B C 三点共线得 t 所以 AB AC AB AC a b t a b ta t b 即可得Error Error 所以 1 故选 D 答案 D 11 设 a 与 b 是两个不共线向量 且向量 a b 与 2a b 共线 则 解析 由题意知 a b k 2a b 则有 Error Error k 答案 1 2 1 2 1 2 12 如图 4 1 1 在平行四边形ABCD中 E为DC边的中点 且 a b 则 AB AD BE 图 4 1 1 解析 a b a b a 答案 b a BE BA AD 1 2DC 1 2 1 2 1 2 13 2013 四川高考 在平行四边形ABCD中 对角线AC与BD交于点 O 则 AB AD AO 解析 由向量加法的平行四边形法则 得 AB AD AC 又O是AC的中点 AC 2AO 2 AC AO 2 AB AD AO 又 2 AB AD AO 答案 2 6 14 设两个非零向量 a 与 b 不共线 1 若 a b 2a 8b 3 a b AB BC CD 求证 A B D 三点共线 2 试确定实数 k 使 ka b 和 a kb 共线 审题视点 1 先证明 共线 再说明它们有一个公共点 2 利用共线向量定 AB BD 理列出方程组求 k 1 证明 a b 2a 8b 3 a b AB BC CD 2a 8b 3 a b 5 a b 5 BD BC CD AB 共线 又它们有公共点 A B D 三点共线 AB BD 2