椭圆中焦点三角形的性质及应用

椭圆中焦点三角形的性质及应用椭圆中焦点三角形的性质及应用 春晖中学春晖中学 过月圆过月圆 定义 椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形 性质一 已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 FF 角形中则 21F PF 21 PFF 2 tan 2 21 bS PFF cos2 2 21 2 2 2 1 2 21 2 PFPFPFPFFFc cos1 2 21 2 21 PFPFPFPF cos1 2 cos1 2 44 cos1 2 4 222 22 21 21 bca cPFPF PFPF 2 tan cos1 sin 2 1 2 2 21 21 b b PFPFS PFF 性质二 已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 FF 点三角形 若最大 则点 P 为椭圆短轴的端点 21F PF 21PF F 证明 设 由焦半径公式可知 oo yxP o exaPF 1o exaPF 1 在中 21PF F 21 2 21 2 1 2 1 2 cos PFPF FFPFPF 21 2 21 2 21 2 42 PFPF cPFPFPFPF 1 2 4 1 2 44 2 21 22 oo exaexa b PFPF ca 1 2 222 2 o xea b axa 0 22 axo 性质三性质三 已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 FF 角形中则 21F PF 21 PFF 21cos 2 e 证明证明 设则在中 由余弦定理得 2211 rPFrPF 21PF F 1 2 22 2 42 2 cos 21 22 21 2 21 2 21 21 2 21 2 2 2 1 rr ca rr crrrr rr FFrr 命题得证 211 2 22 1 2 2 22 2 2 22 221 22 e a ca rr ca 2000 年高考题 已知椭圆的两焦点分别为若椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 FF 上存在一点使得求椭圆的离心率 的取值范围 P 1200 21 PFFe 简解简解 由椭圆焦点三角形性质可知即 21120cos 20 e 2 21 2 1 e 于是得到 的取值范围是e 1 2 3 性质四 已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 FF 角形 则椭圆的离心率 21F PF 1221 FPFFPF sinsin sin e 1221 FPFFPF 由正弦定理得 sinsin 180sin 1221 PFPFFF o 由等比定理得 sinsin sin 2121 PFPFFF 而 sin 2 sin 21 c FF sinsin 2 sinsin 21 a PFPF sinsin sin a c e 已知椭圆的焦点是 F1 1 0 F2 1 0 P 为椭圆上一点 且 F1F2 是 PF1 和 PF2 的等差中项 1 求椭圆的方程 2 若点 P 在第三象限 且 PF1F2 120 求 tanF1PF2 解 解 1 由题设 2 F1F2 PF1 PF2 2a 又 2c 2 b 3 椭圆的方程为 1 34 22 yx 2 设 F1PF2 则 PF2F1 60 椭圆的离心率 2 1 e 则 60sin 2 3 sin 60sin 120sin 180sin 2 1 o o