高等数学与初等数学关系之探讨——中学数学教师继续教育课程建设的关键

4 数学教学研究 2 0 0 5年 第 1 2期 误 区五 布设 伪 生活情 景及 过分 强调 生活情 景 建构 主义认 为教师的一项重要 工作就 是要从学 生实际出发 以深 入 了解学 生真 实 的思维 活 动为基 础 通过提供适 当的 问题情 景或 实例 促使 学生 的反 思 引起学生必要的认知 冲突 从而 使学生最 终主动 地建构起新的认 知结 构 这种 建 构思 想是值 得提 倡 的 情景设置 调 动了学生学习的积极性 调动 了学 生已有的知识 和经验 对 这 一手 段的 关注 也无 可厚 非 然而 落到实处 就往 往会 在所设 情景 上 出现 问题 我们知道 当今 数 学应 用 这一 口号 也 叫得 愈 加 响亮 教学中 的问题力 求 靠近 生活 课 本 中 教 辅 中的情景题应运而生 但那都 是修整过 的问题 目的 在为教学服务 这也 是合 乎 情理 的 不过 要 让学 生 真正享受到生 活情景 的好 处 纳入 教学 和课 本 中的 题 目应该 自然 哪 怕教师 们像 科学 家一样 在追 求 理想情况 但是语言 的使用 也必须不离常识 多样 化 并且能 与其他人 沟通 否 则就只是在 创造封 闭的 新语言 例如下 面的这个 例子 一 盘桃子有 5个 将 这 一 盘桃子 分 给 5人 每 人得多少 盘 如果 要分给 1 2个人 教师 就会将问题 改 变 为 一 盘桃子有 1 2个 将这 一 桃子 分给 1 2人 每 人得多少 盘 奇怪 的是 这 与 桃子 的个 数 究 竟 有什 么关 系 一 盘 究竟是个什 么概 念 下 面这个 问题 是 能问 还是不能 问呢 一 盘桃子 有 1个 将 这一 盘 桃子 分给 5人 每 人得 多少盘 关键是 大 家 在 分 桃 不 是 在 分 盘 子 这 显 然 是 伪 生活情景 生 活中也不会有人这样说 学生在社 会上根本用不着 再 比如我 们说 0 1 盒 冰淇 淋 就 比说 0 1 盒棒 冰 来 得 自然 合理 我 们一 定要不 断 反省我们的数学教学 时刻小心这些 违反生活 的 生 活情景 真正做到与实 际生 活的结合 再一个问题就 是过 分 强调 生活 情景 总想着 时 时 处处 和生活相 联系 哪怕 是见 到个 单纯 的算式 也总是 想这 个 问题 究 竟 有 什 么情 景 对 初学 者来 说 与生 活结 合 固然 是 恰 当 的教 学策 略 但联 系太 紧 就会严重破坏学 生抽象问题 的能力 学到最后如 果还在 依赖生活情景解题 那就 是教学 的失 败 数学 形式的操作 能力被情景死 锁 就 很难再往 下走了 数 学 中某些概念抽 象 到一 定层 次 时 生活 情景 的介入 只会 干扰学 习 我们不 能为 了建构主义 而单纯地采取 建构主义 的教学 方式 建构 主义 思想 方法 只能 作 为我们 实现 教育 目的的手段 有了这个 认识 就可 以很 好地避免 对 建构 主义理解 和应用 上 的许 多误 区 从理论 到实 践 是个 飞跃 也是一个艰难 的 不可避免地 会发生误 解 和失 败的过程 建构 主义 来 自欧美 我 国的教育环 境 和他们有很 大 的差异 所 以在 进行 建构 主义 数学 教学 改革时 要本着 拿来主义 的精 神 适机 适度 稳妥地推进 参 考文献 1 李 士 锖 熟 能 生 巧 吗 J 数 学教 育 学报 1 9 9 6 8 2 李士锖 P NE 数 学教 育心理 M 上海 华 东 师范大学 出版社 2 0 0 1 高等数学与初等数学关系之探讨 一 中学数学教师继续教育课程建设的关键 李保臻 西北师 范大学数 学与信 息科 学学院 甘肃 兰州 7 3 0 0 7 0 中学数学 教师继续 教育课程建设涉及 的学科因 素多而杂 如受数 学 教育学 心理 学 哲 学等发展 的 影响 从 中学数 学教 师对 继续 教育课 程 需求 的状 况 及中学数学教学反 映 出的 问题 可看 出 高等 数学 与 初等数学的关 系是 继续教育课程 建设应考虑 的重要 因素 1 初等数学与 高等 数学的定位 一 般说来 数 学史 家把 数 学 的发展 分成 四个 阶 段 萌芽时期 初 等数学时期 古典 高等数学 时期 现代高等数学时期 或 五个 时期 再加 上 当代 时 维普资讯 2 0 0 5年第 l 2期 数 学 教 学 研 究 5 期 无论 何种方 法 都把 第二 发展时期 叫做 初 等 数学时期 这个 时期 的数学知 识 和经验 就是 初 等 数学 而把第 三 第 四或第 三 四 五阶段叫做 高等 数学时期 这些 阶段 的数 学知 识 和经验 就是 高 等 数学 理论意 义下 的初 等数学和高 等数 学是按照 恩 格斯 E n g t e s 的经典 分 法 所 谓初 等 数学 就 是指 常 量数 学 高等数学就是指变量 数学 并把笛 卡尔 R D e s c a r t e s 1 6 3 7年 发 明的解 析几 何看 成 为 出现高 等 数学 或进 入高等数 学 时期 的标 志 而 教育 意义下 的初 等数学和高等数学 是依据教 育的发展历程和教 育的等级加 以 区分 的 即视普 通初 等 中等教 育 即 中 小学教 育 阶段 的数学 主要 内容 为初等数学 视 高等教育 阶段 的数学 主要 内容 为高等数 学 当然 由 于社 会和教育 的思 想 方法 手段 尤其是教 育内容都 在不 断发展 初 等数学 和 高等数学 也是 一个 变 化的客体 对 象 两 者没 有 严 格 的概 念 区另 U H 事 实 上 数学科学是一个不可分割 的整体 它 的生 命力在 于各部分之间 的有机联 系 只从学科 表面上看 难 以 看清两者之 间的 内在联 系 这就 需要 深入 研 究初 等 数学 理清其中最基本 的思想 和方法 努力 寻求初 等 数学 和高等数学 的结合 点 笔 者认 为 初等数 学和高 等数学的结合点可以从以下几方面进行探讨 2 初等数学与高等数学的关 系探讨 2 1 从 数学研 究的对象和性 质方面看 初等 数学和 高等数 学都是 对客观现 实进行不 断抽 象进而从量与 关 系方面进行研究 的一 种模 式 源于社会实践需要 的数 学在 自身向前发展 的 同 时 又 日益促 动着社 会 实践 的发 展 因此 恩格斯 从 唯物论的角度指 出 纯数学 的研 究对象是客 观现实 的空 间 形 式 和 数 量 关 系 所 以 是 非 常 现 实 的 材 料 这 可以从初 等数学及高等数学都 可在 客观现 实 中找到恰 当的原 型来 得到很好 的说 明 当然 随着 时代 的发展和数 学科 学本 身 的不 断完 善 人们 对数 学对象的认识越 来越 深刻 如法 国的 布尔 巴基 学派 认为 数学是研 究结构 的科学 著名数 理逻辑 学 家 P 贝尔 奈斯 及我 国 的一些 学 者 也持 此观 点 如 张景 中教授认 为 总 的来看 布 尔 巴基 学派把 数学 看成以结构为对 象 的科 学 这 种观 点 是与辩 证 唯物 论一致的 现代数学 史学者李文林教授也说 数 学已经变 成研 究任 意结构 的学 问 I 结构论 的另一 种不同的表达形式是 数学是研究模式 P a t e r n 的科 学 英 国哲学 家 数学家 A N怀 特海 说 数学 是对 模式 的研究 而 模式 是 由各组 成部 分之 间的某些 关 系所 确定 的 9 我 国数学 家徐 利治 教授 也认为 数 学是研 究模式 的 他 说 就数学 的现代 研究而言 我们 可以说 所谓 数学 对 象 即指 量 化 模 式 所 谓模式 一般地说 即是指抽象 的数学理论 也即通常 所说 的数学结构 o 1 由此 可见 无论是初 等数学还 是高等数学 其研究 的对象并不像 物理学 化学等一 样具有 客观实物形 象 而是 抛弃 了具体 事物 的质 的 特性而仅从 量与关 系 方面 进行描 述 的一种模 式 随着希尔伯特 形式 化公 理 系统 的提 出 数学研 究 的 这种模 式越来 越 远离现 实 和一般 人 的常 规思 维 但 是 不管数学 的研究对象是 模式还 是结构 填充 了客 观 内容 的模 式或 结 构 的数 学 将具 有 广 泛 的应 用价 值 如果说初等数 学对 客观 现 实所进 行 的是一 种间 接或低级抽 象的话 那 么 高 等数学则 是对 客观现实 或具体经验 的多 级抽象 例如 对 于 a x b 这 样 的形 式表达式 当 a b表示 初等 数学 里 的实 数 时 可进 行相应 的实数运算 且 当 a 0时 a x b有实数解 n b 而 当 n b表示高 等数 学里 的矩 阵 A B时 也可进 行 相 应 的矩 阵 运 算 且 当 I A I 0时 X A 这样 初等数学和高等数学 就在对客观现实 的 抽象性上找到了有机结合点 2 2从数 学概 念与原理等 的联 系看 初等数 学和高 等数学 的重 要概 念 定理存在 着辩证的统一关系 大数学家希 尔伯特认为 数学科学 是一个不可 分割的有机整体 它 的生命 力正 在 于各个 部分 之间 的联 系 尽 管数学知识千差 万别 我们仍然 清楚 地意 识 到 在作 为 整体 的 数学 中 使 用 着相 同的逻 辑工 具 存 在着概念的亲缘关 系 同时在它 的不 同部分之 间也有大量 的相似之 处 1 从数学概念 的演化过程来看 数学概 念问存 在着普遍 的联 系 这种 联 系在数 学 上往往 借助 某种 关 系来表达 以从属 关 系为桥 梁 的 联系 如 实数 R 有 理数 Q 整数 Z 自然数 N 平面上各种几何 变换 以从 属关系为桥梁 的联 系如下 I 拓扑变换1 I 射影变换1 I 仿射变换1 I相位变换1 I 合同变换I I 反射变换l 以合成关 系为 纽带 的联 系 如任 何 相似变 换 都可 由位似 轴对 称 变换来 合 成 任何合 同变换都 可以由不多于三次的反射 轴对称 变换来合成 数 维普资讯 6 救 学教学研究 2 0 0 5年第 l 2期 理逻辑中进行命题演算 通常使用 否定 合取 析取 蕴含 等值五个联结词 可构成 一切逻辑 函数 即这 组 联结词具有完全性 以对应关系 为媒介 的联系 数学 中的映射 函 数等概念 是 刻画对应关系 的重要概念 而数学 中的 同构是一种重要 的 以对应 关 系为媒 介 的联 系 如数 与形是两个不 同的数 学概 念 它们 各 有 自己确定 的 含义 但 由于费尔 玛与笛卡尔 的努 力 终于通过 坐标 法使数与形有机结合起 来 几何 问题代 数化 图形性 质坐标化 而解析几何的诞生正是初等数学跨入高 等数学 的重要 标志 正 如拉格 朗 日所 说 只要代 数 同儿何分道扬镰 它们的进展 就缓慢 它们 的应 用就 狭窄 但是当这两门科学结合 成伴侣时 它们 就互相 吸取新鲜的活力 从那以后 就以快速的步伐走向完 善 并为创建微积分准备了数学工具 以对偶原理为基础的联系 以对偶原理为基 础的联 系 首先发现于射影几 何 如平面上 的对偶原 理 点与直线 是完全不同的两 个概念 但在射 影几何 里 由于引人 rr 非 固有元 素 即无 限远 点 无限远 直线 使点 与直线 在结 合关 系上 点在 直线上 直线 通过点等 处 于完全 相同的地位 2 从数学 中蕴含 的对 立统一规律来看 初等数 学和高等数学 的思 想 方 法存在 着 直 与曲 常 与变 有限 与无限 问断与连续等统一 的一面 从整体来看 初等数学主要是 以研 究直线 常量 的有 限与不连续 关 系为 主要特 征 的 高等 数学 主要 是以研究 曲线 曲面及 变量 的无 限与 连续 关 系为其 主要特征 的 一方 面 直 与 曲 常 与变 有 限与无 限 问断 与连续各 对概 念之 间存在 着 严格 的 区别 另一 方面 从数学思想方法方 面来 看 这几对概念 之间 又 相互 依 赖 相互 渗 透 并 在一 定 条件 下 可 以相互 转 化 如在微 分学 中通 过求 曲线 围成 的阴影 图 形面积可将 直线 与 曲线 最终统一起来 即 化 曲 为直 的 思想 0 a x i x 1 b x 第一步 把 曲边 梯形 用平 行 于 轴的 直线分 割 成许 多小的 曲边梯形 A 在每个 小 曲边梯形 中把 曲 边看成直边 于是就 可以用这 些 小 直边梯 形 的 面 积近似地代替 小 曲边 梯 形 的面积 这 样在 分割 的条 件下实现了局部的 以直代曲 第二步 用小直边梯 形之和 A 在整 体 上 近似 地代 替 曲边梯 形 面积 的 值 这种代替 当然是 有 误差 的 第 三步 再 把分 割无 限加细 近似程度会 越 来 越大 通 过取 极 限 就使 小 直边梯形面积 的和转 化 为原 来大 曲边 梯形 的面 积 即 I 出 l i m 2 A l i m r这样一 Jt I l I 来 局 部的 直 经过无 限积 累又反 过来 转化为 整体 的 曲 最后得 出了曲边梯形的面积 上述过程实际 上就是定积分定 义 中分 割 作 和 取极 限 的过程 其 思维过程是 分 制 囊和取韫 瞳 整体 曲 一局部 I2 l 直 代 曲 一整体 曲 未知 已知 解决未 知 从有限与无限方面看 虽然初等数学中的有 限与高等数学 中 的无限存 在 着质 的差 异 但两 者又 在一定条件下密切联 系并可相互转化 正如 在数学 上 为了达到不确定的 无限的东西 必须从确定的 I 有 限的东西 出发 f I 如 要求级 数 的无限和 D 令 i l s 0 若 l l ms s s是有 限数 则 s就定 义为 t I 无穷 级数 D 的 和 中国古 代数 学家 刘徽 的 割 圆 I l 术 即 割之 弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可 割 则 圆周合体而无所失矣 就蕴含着从有 限到无限 的思想 而利用无 穷级 数来 展开 二项 式 定理或 其他 确定的数 则体现 了数 学 中通过 无 限进 一步认识 有 限的思想 从连续 与不 连续 方面 看 初 等数学 是研 究离 散量 整 数性 质 的 而解 析数论 这一 重要 的高等 数 学分 支是采 用数 学分 析方 法来 研究 数论 的 即化 离散为连续 再 由函数连续 性探讨 离散量 的性 质 可 见 极限仍然是连续与 间接 转化的基本工具 可见 作为以研究 常量 的有 限 离散为 重要特点 的初 等数学随着 实践 的发展无 法实现高等数学所具 有 的独特功 能 但 通过 对数 学 问题 的解 答分析 过程 来看 高等数学 中变量 的无 限 连续 等思想 方法往往 通过极 限这一 中介能和初等数 学的有 限 不连续 直 观等思想有机 统一 起来 正 是这 几 对具有 矛盾 思想 的数学概念 的对 立 统一 才 使数 学蕴 含着 博大 精深 的数学思想方法 这种思想 方法 无论 是对初等 数学 还是对高等数学都具有共 同的思想魅力与文化价 值 参考文献 维普资讯 2 0 0 5年第 1 2期 数 学 教 学 研 究 7 1 梁宗 巨 世界数 学史简鳊 M 沈 阳 辽 宁人 民 出版 社 1 9 8 0 2 前苏 斯托 利 亚 尔 数 学教 育 学 M 北 京 人 民教 育 出版 社 1 9 8 4 3 中国大百科全 书 出版社 鳊辑部 中国大百科全 书 数 学 M 北京 中 国大百科 全 书出版社 1 9 88 4 孔凡哲 赵 秀元 略 论初 敖 与 高敖 的关 系及 其 对数 学教 改 的反 恩 J 天津教 院 学报 1 9 9 9 2 5 1 3 恩格 斯 反杜 林论 M 北京 人 民 出版 社 1 9 7 0 6 N B o u r b a k i T h e a r c h i t e c t u r e o f m a t h e m a t i c s t h e Ame r Ma t h Mo u t h Vo 1 5 7 1 9 5 0 2 2 1 2 3 2 7 张景 中 数 学与哲学 M 长沙 湖南教育 出版 社 1 9 9 0 8 李文林 算法 演蜂倾 向 与数 学 史的分期 J 自然辩证法通讯 1 9 8 6 2 9 林夏水主稿 数学哲学译文集 M 北京 知识 出版 社 1 9 8 6 1 0 徐刺 治 郑麓信 数学模式现的哲学基础 J 哲 学研 究 1 9 9 0 2 l 1 周春 荔 数 学现 与 方法论 M 北 京 首 都师 范大学 出版社 1 9 9 6 1 2 M 克 莱 因 北 京 大学数 学 系数 学史翻 译组 译 古今数 学思 想 第二 册 M 上 海科 技 出版 社 1 9 7 9 浅谈数学教学中学生创新能力的培养途径 焦彩珍 西北师 范大 学数 学与信息科学学院 甘 肃 兰州7 3 0 0 7 0 1 在 数学课堂讲授 中贯穿创新思维教 育 1 1 改进数学教学方法 重视 学生创 新能力培养 课 堂讲授 是传 授 知识 的方 法 之一 我 们在学 习 前人已经取得 的真理 性 知识 的时候 不仅 要学 到知 识本身 而且要学到取得真 知的途径 和方法 即探索 新知识和进行 知识 创新 的方 法 作 为实施课 堂讲授 的老师 应该让学生很好地感 受 理 解数学 知识产生 和发展的过程 了解取得 数学 科学成果 的方法 教学方法的改 革 首先 取决 于教师 本身 的学 术 水平和索质的提高 也和教学 内容 的改革不 可分割 生动 丰富 的