固体物理答案3

1 第三章习 题第三章习 题 3 1 已知一维单原子链 其中第j个格波 在第n个个点引 起的位移 nj为 j为任意位相因子 并已知在较高温度下每个格波的平 均能量为kT 具体计算每个原子的平方平均位移 sin jjjjnj naqt 2 1 sin 1 0 2 dtqnt T jjj T 根据 2 nj 222 2 1 sin jjjjj qnt 解解 其中T 2 j为振动周期 所以 格波的平均动能 n nj mE 2 2 1 Nm jj 22 4 1 一维单原子链可以认为是经典的简谐运动 因此有 cos 2 1 222 jjjj n j qntm 平均动能 平均势能 格波平均能量 kT 2 1 2 1 其中 M L 其中振幅2 2 2 j j Nm kT 得 kTNmE jj 2 1 4 1 22 所以有 2 22 2 1 j jnj Nm kT 所以 每个原子的平方平均位移 2 22 1 2 1 j jnjn Nm kT 其中 M L 3 2 讨论讨论N个原胞的一维双原子链 相邻原子间距为个原胞的一维双原子链 相邻原子间距为a 其 其 2N个格波解 当个格波解 当M m时与一维单原子链结果一一对应 解 质量为 时与一维单原子链结果一一对应 解 质量为M的原子位于的原子位于 2n 1 2n 1 2n 3 质量为 质量为m的原子位于的原子位于 2n 2n 2 2n 4 2 2 2221212 121222 nnnn nnnn M m 牛顿运动方程 体系有 牛顿运动方程 体系有N个原胞 有个原胞 有2N个独立的方程个独立的方程 12 12 2 2 aqnti n qnati n Be Ae 方程的解 方程的解 2 2 2 2cos 0 2cos 2 0 mAaq B aq AMB A B有 非零解 有 非零解 0 2cos2 cos22 2 2 Maq aqm 2 1 22 2 2 4 1 1sin mMmM aq mMmM 两种不同的格波的色散关系为 两种不同的格波的色散关系为 1 22 2 2 1 22 2 2 4 1 1sin 4 1 1sin mMmM aq mMmM mMmM aq mMmM 对应一个对应一个q有两支格波 一支声学波和一支光学波 总的格波数目为 有两支格波 一支声学波和一支光学波 总的格波数目为2N 可以得到 可以得到 4 cos 2 4 sin 2 aq m aq m 当当 M m 时 色散关系简化为 长波极限情况下 时 色散关系简化为 长波极限情况下 0 q 2 2 sin qaqa 2 q m 与一维单原子晶格格波的色散关系一致与一维单原子晶格格波的色散关系一致 3 3 质量相同两种原子形成一维双原子链 最近邻原子间 的力常数交错等于 质量相同两种原子形成一维双原子链 最近邻原子间 的力常数交错等于c和10和10c 令两种原子的质量相等 并且 最近邻间距是 令两种原子的质量相等 并且 最近邻间距是a 2 试求在 试求在k 0和和k a 处的处的 k 并粗 略画出色散关系 本题模拟双原子分子晶体 如H k 并粗 略画出色散关系 本题模拟双原子分子晶体 如H2 2 1 c 2 10c 0 qq a 解 绿色标记的原子位于解 绿色标记的原子位于2n 1 2n 1 2n 3 红色标记原子位于红色标记原子位于 2n 2n 2 2n 4 第第2n个原子和第个原子和第2n 1个原子的运动方程可以写为 个原子的运动方程可以写为 2122221121 21122112222 nnnn nnnn m m 1 2 2 2 1 21 2 21 itnaq n itnaq n Ae Be 体系体系N个原胞 有个原胞 有2N个独立的方程 方程的解 个独立的方程 方程的解 令令 22 1122 mm 11 22222 22 1212 11 22222 22 1212 0 0 i aqi aq i aqi aq AeeB eeAB 11 22222 22 1212 11 22222 22 1212 0 i aqi aq i aqi aq ee ee 1111 22222222 2222 121212 0 i aqi aqi aqi aq eeee A B有非零的解 系数行列式满足有非零的解 系数行列式满足 1111 22222222 2222 121212 0 i aqi aqi aqi aq eeee 1 c 2 10c 2222 0120 10 10 cc mm 22 244 000 11 20 10c01 osaq 22 0 11 20cos101 qa 22 0 11 20cos101 qa 两种色散关系两种色散关系 3 22 0 11 20cos101 qa 0q 22 0 11 121 0 220 q a 22 0 11 81 00 202 色散关系 色散关系 2 2 图如 右 这是一个双原子 例如H 图如 右 这是一个双原子 例如H2 2 晶体 晶体 两种色散关系两种色散关系 解法2 令和分别代表两种原子对平衡位置的 位移 M代表每个原子的质量 则相邻两种原子的运 动方程如下式所示 n n 10 1 nnnnn M 1110 1nnn 10 1nnnnn M 1110 1nnn 设试探解为 naqti n e naqti n e 于是有0 10 11 2 iaq eM 0 11 10 2 Meiaq u v具有非零解的条件为 代入到运动方程 得 1110 2 n iaq nnn eM 1110 2 n iaq nnn eM 0 11 10 10 11 2 2 M e e M iaq iaq 当时 a q 1cos 可得 2 1 2 M 2 1 20 M 当q 0时 则有 0 2 1 22 M 色散关系如图所示 M 22 M 20 M 2 解之得 2 1 2 cos1 2012111aq M 3 4题目题目 略 3 4题目题目 略 4 3 4题目题目 略 11mm f 第l 1 m原子对它的作用力 1 2mm f 3 4 解3 4 解 1 设 l m代表第 l m 个原子 即第l 行 m列的原子垂直于晶格平面的位移 当只考虑最 近邻原子间的相互作用时 由于 l 1 m 原子对 它的作用力 1 1 4 1 mmmm i i fF 1 1 mmmm 2 1 1mmm 2 1 1 mmm 而f1于f2 方向是相反的 同样处理 l m 1 原子和 l m 1 原子对 l m 原子的作用力f3 f4 于是得到第 l m 个原子所受的力 设试探解的形式为 0 yx maqaqti m e 根据运动方程形式 F dt d MM ml m 2 2 2 1 1mmm 2 1 1 mmm coscos2 2 2 yx aqaq M 代入运动方程 消去公因子后 得 xx iaqiaq eeM 2 4 yy iaqiaq ee coscos2 2 yx aqaq 据此得色散关系 c yyxx kqkq式中 图像为 5 3 5题 题 已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为 其中马德龙常数 1 75 n 9 平均离子间距为 r0 2 82 1 试求离子在平衡位置附近的振动频率 2 计算与频率相当的电磁波的波长 并与NaCl红 外吸收频率的测量值61 m进行比较 n rrqrU 2 3 5解解 由 可以得到 由 可以得到 n rrqrU 2 0 dr dU 1 0 2 1 n rq n 利用题目所给条件 利用题目所给条件 1 可知 可知 2 2 dr Ud d dU dr dU kf 计算 简化 代入 可得回复力系数k 计算 简化 代入 可得回复力系数k 3 0 2 1 r qn k 143N m Mm mM k 2 对于对于NaCl晶体 可以认为是一维双原子晶体 由 黄昆教材 晶体 可以认为是一维双原子晶体 由 黄昆教材p96 97分析可以知道 对于离子晶体只有长 光学波可以和电磁波发生相互作用 所以有 其中 分析可以知道 对于离子晶体只有长 光学波可以和电磁波发生相互作用 所以有 其中 mNa 23g mol MCl 35 5g mol 又又1原子质量原子质量 1 6x10 27kg 代入数计算 可得 代入数计算 可得 Hz 13 101 11 与实测同数量级 因为得到的色散关系存在近似 计算波长 可得 与实测同数量级 因为得到的色散关系存在近似 计算波长 可得 c c q 222 代入数据 计算波长 可得 代入数据 计算波长 可得 m 17 解 设单原子链长度 波矢取值 解 设单原子链长度 波矢取值h Na q 2 每个波矢的宽度每个波矢的宽度 2 Na 状态密度状态密度 Na 2 dq间隔内的状态数间隔内的状态数dq Na 2 对应 对应 q 取值相同 取值相同 d 间隔内的状态数目 间隔内的状态数目 dq Na d 2 2 LNa 3 6 计算一维单原子链的频率分布函数计算一维单原子链的频率分布函数 dq Na d 2 2 一维单原子链色散关系一维单原子链色散关系 2 sin 4 22 aq m m 4 0 2 sin 0 aq 令 两边微分得到 令 两边微分得到dq aqa d 2 cos 2 0 2 0 2 1 2 cos aq dq a d 22 0 2 d 间隔内的状态数目 间隔内的状态数目 6 22 0 2 d a dq d N 22 0 1 2 22 0 12 N dq a d 22 0 2 代入代入dq Na d 2 2 一维单原子链的频率分布函数一维单原子链的频率分布函数 0 0 2 1 0 2 32 0 1 4 A V f 3 7题题 设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在q 0附近的长波极限有附近的长波极限有 2 0 Aqq 证明 频率分布函数 证明 频率分布函数 解解 三维晶格振动的态密度 三维晶格振动的态密度 3 2 V dq间隔内的状态数间隔内的状态数 dqq V 2 34 2 对两边微分对两边微分 2 0 Aqq Aqdqqd2 1 2 dqAq dq 0 1 A q将将dq和代入和代入dqq V 2 34 2 1 4 4 2 2 1 0 2 32 2 3 qd A V dqq V 得到得到 0 2 1 0 2 32 1 4 2 1 0 0f 解方法解方法 2 振动模式密度函数振动模式密度函数 q空间的等频率面是球面 空间的等频率面是球面 q为常数为常数 3 2 q Vds f q 已知三维色散关系已知三维色散关系 2 0 Aqq 2 q qAq 0 qA 3 2 2 Vds f Aq 3 2 2 Vq A 1 2 0 23 2 1 4 V f A 对于光学波 在处振动频率具有最大值对于光学波 在处振动频率具有最大值0q 0 1 2 00 23 2 0 1 4 0 V fA 频率分布函数频率分布函数 3 8 有N各相同原子组成面积为S的二维晶格 在德拜 近似下计算比热 并论述在低温极限比热正比于T2 解解 德拜模型考虑的格波是弹性波 波速为v的格波的色散关 系是 vq 在二维波矢空间内 格波的等频面是一个园 如图所示 在q q dq区间内波速为v的格波数目为 式中S为二维晶格的总面积 由此可以得 到波速为v的格波的模式密度为 22 2 2 2 v dS qdq S dz 2 2 v S d dz g o q dq qy qx 7 由此可以得E为 3 9题3 9题 写出量子谐振子系统的自由能 证明在经典 极限 自由能为 q B q B Tk TkUF ln 0 q Tk Bq B q eTkUF 1ln 2 1 0 解解 已知晶体自由能可以表示为 量子谐振子的自由能为 Tk e B qTkB q 1 q Tk B q B B q e Tk TkUF 1ln 2 1 对于经典极限 因而有 qBT k 0 2 1 TkB q 将上式代入F式中 便得到 q B q B Tk TkUF ln 0 解 根据量子力学 零点能是谐振子所固有的 与温 度无关 故T 0 K时的振动能E0就是各振动模零点能 之和 dgEE D 0 00 3 10题3 10题 设晶体中每个振子的零点振动能为 试用德拜模型求晶体的零点振动能 2 1 将代入上式 32 2 0 2 3 2 1 C V gE m d C V E 0 3 3 2 0 2 2 3 3 2 4 16 3 C V m 其中V是晶体的体积 由 m d e e Tk C Vk dT TEd TC Tk Tk V 0 2 2 2 3 2 1 2 3 式给出 m 3 1 2 6 V N C m 4 3 4 2 32 0 6 16 3 C V N C V E 把代入上式 便可得到晶体的零点能 m B B k C V N Nk 3 1 2 6 8 9 D R 8 9 3 11题题 一维复式格子中 如果 计算 一维复式格子中 如果 计算 1 光学波频率的最大值和最小值 声学波频率 的最大值 光学波频率的最大值和最小值 声学波频率 的最大值 2 相应声子的能量相应声子的能量 和 和 3 在下 三种声子数目各为多少 在下 三种声子数目各为多少 4 如果用电磁波激发光学波 要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段 如果用电磁波激发光学波 要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段 27 5 1 67 10g 4 15 M mkN m m O min A max O max KT300 O Emax O Emin A Emax 8 1 光学波的最大频率光学波的最大频率 max 2 O M Mm mM 2 0 14 max 6 7 10 O rad s 光学波的最小频率光学波的最小频率 min 2 O m 14 6 10 rad s 声学波的最大频率声学波的最大频率 max 2 A M srad A 103 14 max 4 m M mN 15 解解 OO E maxmax eVEO442 0 max OO E minmin eVEO396 0 min AA E maxmax eVE A 198 0 max 2 相应声子的能量 相应声子的能量 M A 2 max 2 max O m O 2 min 3 某一特定谐振子具有激发能的几率某一特定谐振子具有激发能的几率 2 1 n n Tk n Bn CeP 1 n Tk n n Bn CeP n Tk Tk n Bn Bn e e P n TkB n