第2章《质点运动学》习题解答

第 2 章 质点运动学 习题解答 2 1 第第 2 2 章章 质点运动学质点运动学 习题解答习题解答 2 1 12 1 1 质点的运动学方程为 求质点轨迹并用图表示 1 32 5 2 23 41 rt ijrt itj 解 轨迹方程为 y 5 32 5 xt y 消去时间参量 t 得 23 41 xt yt 3450yx 2 1 22 1 2 质点运动学方程为 1 求质点的轨迹 22 2 tt reie jk 2 求自 t 1 至 t 1 质点的位移 解 消去 t 得轨迹 xy 1 z 2 2 2 2 t t xe ye z 22 1 2re iejk 22 1 2re ie jk 2222 11 rrree ieej 2 1 32 1 3 质点运动学方程为 1 求质点的轨迹 2 4 23 rt itj 2 求自 t 0 至 t 1 质点的位移 解 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 2 消去 t 得轨迹方程 2 4 23 xtyt 2 3 xy 0110 3 45 42rj rijrrrij 2 2 12 2 1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为 0 75s 后测得 0 11 4100 33 7Rm 均在铅直平面内 求飞机瞬时速率的近似值和飞行方 0 2212 4240 29 3 RmR R 向 角 解 代入数值得 22 121212 2cos RRRR R 220 41004240 2 4100 4240cos4 4 349 385 R m 349 385 465 8 0 75 R vm s t 利用正弦定理可解出 0 34 89 2 2 22 2 2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动 抛物线轨道为 长度 mm 第一次观察到圆柱体在 2 200yx x 249mm 处 经过时间 2ms 后圆柱体移到 x 234mm 处 求圆柱体瞬时速度的近 似值 解 2222 1536 225 2 19 6 rxy v tt mm ms 0 112 5 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 3 2 2 32 2 3 一人在北京音乐厅内听音乐 离演奏者 17m 另一人在广州听同一 演奏的转播 广州离北京 2320km 收听者离收音机 2m 问谁先听到声音 声速 为 340m s 电磁波传播的速度为 8 3 0 10 m s 解 1 3 2 8 21 17 0 05 340 2320 102 0 0136 3 0 10340 ts ts tt 在广州的人先听到声音 2 2 42 2 4 如果不允许你去航空公司问讯处 问你乘波音 747 飞机自北京不着陆飞行到巴黎 你能否估计大约用多少时间 如果能 试 估计一下 自己找所需数据 解 s t v 2 2 52 2 5 火车进入弯道时减速 最初列车向正北以 90km h 速率行驶 3min 后以 70km h 速率向北偏西方向行驶 求列车的平均加速度 0 30 解 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 4 00 12 00 21 22 2 0 0 90 70cos6070cos30 70cos60 70cos3090 3529 378 913 91 0 05 0 071 913 91 0 0570 sin0 7659 49 99 sin30sin vj vij vvvij v akm h t m s 2 2 62 2 6 1 R 为正常数 求 t 0 2 时的速度 cossin2 rRtiRtjtk 和加速度 2 求 t 0 1 时的速度和加速度 写出正交分 23 34 56 rtit jt k 解式 解 1 cossin2 sincos2 cossin rRtiRtjtk dr vRtiRtjk dt dv aRtiRtj dt 当 t 0 时 2 0 2 0 xyz xyz vRjkaRi vvR v aR aa 当 t 2 时 2 0 2 0 0 xyz xyz vRikaRj vR vv aaR a 2 23 2 3 4 56 3 918 9 rtit jt k dr vitjt k dt dv aj dt 当 t 0 时 3 9 viaj 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 5 当 t 1 时 3 918 936 vijkajk 2 3 12 3 1 图中 a b 和 c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的 x t 图 试 说明三种运动的特点 即速度 计时起点时质点的坐标 位于坐标原点的时刻 解 a 直线的斜率为速度 0 1201 732 ax dx vtgm s dt 0 0 20txm 0 0 0 20 0 60 20 311 547 x x xtgts t b 直线的斜率为速度 0 0 0 0 0 300 577 0 10 10 30 10 0 57717 331 bx x x vtgm s txm tgts t c 直线的斜率为速度 0 0 0 451 0 25 25 cx x vtgm s txm ts 2 3 22 3 2 质点直线运动的运动学方程为 x acost a 为正常数 求质点速度 和加速度并讨论运动特点 有无周期性 运动范围 速度变化情况等 解 sincos 2 coscos x x vatat aatat 质点受力 是线性恢复力 质点做简谐振动 振幅为 cosFmamatmx a 运动范围在 速度具有周期性 axa 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 6 2 3 32 3 3 跳伞运动员的速度为 1 1 qt qt e v e v 铅直向下 q 为正常量 求其加速度 讨论当时间足够长时 即 t 速度和加速度的变化趋势 解 2 2 1 1 1 2 1 qtqtqtqt qt qt qt dvqeeqee a dte qe e 0tva 2 3 42 3 4 直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站 列车原行驶速 度为 其速度变化规律如图所示 求列车行驶至 x 1 5km 时加速度 0 180 vkm h 的大小 解 0 2 000 cos 5 2 sincossin 555105 dvdv dxdv vvx av dtdx dtdx vx vxvx 当 x 1 5km 时 22 2 3 180 sin9675 67 105 0 747 akm h m s 2 3 52 3 5 在水平桌面上放置 A B 两物体 用一不可伸长的绳索按图示的装 置把它们连接起来 C 点与桌面固定 已知物体 A 的加速度 求物体 0 5 A ag B 的加速度 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 7 解 以 C 为坐标原点 建立一维坐标系 o x 设绳的总长度为 B 的坐标为 A B x 的坐标为 则得 A x 34 AB xxl 两端对 t 求导 22 22 340 340 333 0 5 448 AB AB BA d xd x aa dtdt aagg 2 3 62 3 6 质点沿直线的运动学方程为 2 103xtt 1 将坐标原点沿 ox 轴正方向移动 2m 运动学方程如何 初速度有无变化 2 将计时起点前移 1s 运动学方程如何 初始坐标和初始速度都发生怎样 的变化 加速度变不变 解 1 2 103xtt 代入上式得 2 2xxxx 22 2103 3102 xttxtt 初速度不变 106 xx dxdx tvv dtdt 2 2 103xtt 代入上式得 1 1tttt 2 2 10 1 3 1 347 xtt tt 初坐标由 0 变为 7m 0 7 txm 初速度由 10m s 变为 4m s 64 x v t 加速度不变 都是 2 6 m s 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 8 以下四题用积分 2 4 12 4 1 质点由坐标原点出发时开始计时 沿 x 轴运动 其加速度 求在下列两种情况下质点的运动学方程 出发后 6s 时质点的 2 2 x at cm s 位置 在此期间所走过的位移及路程 1 初速度 0 0v 2 初速度的大小为 9cm s 方向与加速度方向相反 0 v 解 1 0 0 t xxx vva dt 2 0 2 t x vtdtt 0 0 t x xxv dt 23 0 1 3 t xt dtt 当 t 6s 时 6 72 xcm 72072 xcm 质点运动的路程 72 scm 2 2 0 929 t x vtdtt 23 0 1 9 9 3 t xtdttt 当 t 6s 时 6 18 xcm 18018 xcm 2 9 0 3 xx vtvt 质点运动的路程如图 3 1 9 3 xtt 36 3 18 6 18txtx 质点运动的路程 1821854 scm 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 9 2 4 22 4 2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为 求至时间内的位移 3sin x vt 1 3t 2 5t 解 2 1 21 3sin t t xxxtdt 5 5 213 3 3sin3cos 3 cos5cos3 3 82 xxxtdtt m 2 4 32 4 3 一质点作直线运动 其瞬时加速度的变化规律为 在 t 0 时 其中均为正常数 求此质点的运 2 cos x aAt 0 x vxA A 动学方程 解 0 0 t xxx vva dt 2 0 0 cos cos sin t x t vAt dt At dtAt 0 0 t x xxv dt 0 0 sin cos cos t t xAAt dt AAtAt 2 4 42 4 4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动 刚着陆时 t 0 时速度为 且坐标为 x 0 假设其加速度为 b 常量 求此质点的运动学方程 0 v 2 xx abv 解 0 2 22 0 x vt xxx x v xx dvdvdv bvbdtbdt dtvv 0 0 1 x v v bv t 0 0 t x xxv dt 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 10 00 00 00 000 1 1 1 1 11 ln 1 ln 1 tt t vd bv t xdt bv tbbv t bv tbv t bb 解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系 计时起点和初始条 件 2 4 52 4 5 在 195m 长的坡道上 一人骑自行车以 18km h 的速度和 20cm s2的 加速度上坡 另一自行车同时以 5 4km h 的初速度和 0 2m s2的加速度下坡 问 1 经过多长时间两人相遇 2 两人相遇时 各走过多少路程 解 建立坐标系 o x 原点为质点 1 的初始位置 对上坡的质点 1 t 0 v10 5m s x10 0 a1 0 2m s2 对下坡的质点 2 t 0 v20 1 5m s x20 195m a2 0 2m s2 相遇时 x1 x2 所需时间设为 t 则 22 1010120202 11 22 xv tatxv ta t 22 11 50 2195 1 50 2 22 30 tttt ts 质点 1 的速度表达式为 1101 50 2vvatt 所以质点 1 的路程为两段路程之和 如图所式 前 25s 的路程 1 0 25vts 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 11 后 5s 的路程 2 2 1 1 5 250 2 2562 5 2 1 0 2 52 5 2 62 52 565 m m sm 质点 2 的路程 195 62 5 2 5 135 m 2 4 62 4 6 站台上送行的人 在火车开动时站在第一节车厢的最前面 火车开 动后经过 t 24s 第一节车厢的末尾从此人的面前通过 问第七节车厢驶过他 面前需要多长时间 火车作匀加速运动 解 2 2 12 224 l lata 设火车第六节末尾经过此人的时间为 t6 火车第七节末尾经过此人的时间为 t7 22 67 11 6 7 22 latlat 67 22 776 1214 24 6 24 7 2 242 24 24 76 4 71 ll tt ll ttts 2 4 72 4 7 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样的速率 v0上抛二石子 但在 高处的石子早 t0秒被抛出 求此二石子何时何处相遇 解 22 0000 11 22 hv tgtv ttg tt 解出 t 得 00 0 2 vth t gtg 将 t 代入 得 2 0 1 2 yhv tgt 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 12 222 00 2 0 1 24 vgth yh ggt 2 4 82 4 8 电梯以 1 0m s 的匀速率下降 小孩在电梯中跳离地板 0 50m 高 问当小孩再次落到地板上时 电梯下降了多长距离 解 建立基本坐标系 o x 原点固结在地面上 建立运动坐标系原点固结在电 ox 梯的地板 小孩相对运动参照系 电梯 跳起到落回地板所需时间设为 t 则 ox 解出 td 得 2 1 22 t hg 这段时间电梯下降的距离为 2 2 h t g s 0 22 0 50 22 10 638 9 8 h svm g 2 5 12 5 1 质点在 o xy 平面内运动 其加速度为 位置和速度的初始条件为 t 0 时 cossin atitj 求质点的运动学方程并画出轨迹 本题用积分 vj ri 解 由得 cossin atitj 初始条件 cos x at sin y at t 0 时 v0 x 0 v0y 1 x0 1 y0 0 0 0 t xxx vva dt 0 cossin t x vtdtt 0 0 t yyy vva dt 0 1sincos t y vtdtt 0 0 t x xxv dt 0 1sincos t xtdtt 0 0 t y yyv dt 0 cossin t ytdtt cos sin xt yt 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 13 cossin atitj 轨道方程 22 1xy 2 5 22 5 2 在同竖直值面内的同一水平线上 A B 两点分别以 300 600为发射 角同时抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点 求 A B 两点的 距离 已知小球在 A 点的发射速率 9 8 A vm s 解 2 2 ABAB HHRRAB 2 20 sin 30 2 A A v H g 2 20 sin 60 2 B B v H g 2 20 sin 30 2 A v g 2 20 sin 60 2 B v g 220 2 20 sin 30 sin 60 A B v v A R 2 0 sin 2 30 A v g B R 2 0 sin 2 60 B v g 2020 20200 30 1 sin60sin120 222 sin60sin 30 sin120 1 2sin 60 AB AB A RR ABvv g v g 2020 20 sin60sin 30 1 2 38 2sin 60 A v m g 2 5 32 5 3 迫击炮弹的发射角为 600 发射速率 150m s 炮弹击中倾角 300的山 坡上的目标 发射点正在山脚 求弹着点到发射点的距离 OA 解 2 22 0 2 2 0 2cos 2 3 1 AAA AAA g yx tgx v g yxx v 由几何关系 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 14 0 0 3 cos30 2 2 1 sin30 3 2 A A xOAOA yOAOA 将 2 3 式代入 1 式 2 0 2 2 0 3 1 0 2 0 2 15 3 10 3 g OAOA v OA v OAm g 舍去 2 5 42 5 4 轰炸机沿与铅直方向成俯冲时 在 763m 高度投放炸弹 炸弹离 0 53 开飞机 5 0s 时击中目标 不计空气阻力 1 轰炸机的速率是多少 2 炸 弹在飞行中经过的水平距离是多少 3 炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平 和铅直方向的分量是多少 解 以投放炸弹处为坐标原点 1 02 0 1 cos53 2 yvtgt 2 0 0 2 2cos53 ygt v t 2 0 0 2 7639 8 5 212 9 2cos535 vm s 2 0 0sin53 212 9 0 7986 5850 1 xvtm 3 0 0 0 0 sin53170 cos53177 1 x y vvm s vvgtm s 2 5 52 5 5 雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体 在某一时刻 靠他得到 这样的信息 1 抛射体达到最大高度且以速率 v 沿水平方向运动 2 观 察者到抛射体的直线距离为 3 观测员观察抛体的视线与水平方向成角 问 1 抛射体命中点到观察者的距离 D 等于多少 2 何种情况下抛体飞 越观察者的头顶以后才击中目标 何种情况 下抛体在未达到观测员以前就命中目标 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 15 解 1 2 1 sin 2 Hlgt 命中点 2 sinl t g 00 2 sinl xv tv g 命中点 观测者 cosxl 观察者 抛射体命中点到观察者的距离 0 2 sin cos l Dxxvl g 命中点观察者 2 当 飞越观察者的头顶击中目标 即 xx 命中点观察者0 2 sin cos l vl g 0 cos 2 sin g vl l 当 抛体在未达到观测员以前就命中目标 即 xx 命中点观察者 0 cos 2 sin g vl l 2 6 12 6 1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶 在我们所讨论的时间范围内 其运动学方程为 长度 m 时间 s t 0 时 列车在图中 o 点 此 2 80stt 圆弧形轨道的半径 r 1500m 求列车驶过 o 点以后前进至 1200m 处的速率及加速 度 解 采用自然坐标系 o 为自然坐标系的原点 由得 2 80stt 802 t ds vt dt 2 t t dv a dt 当 s 1200m 时 由得 2 80stt 2 120080 tt 舍去 因为当 t 60 时 20 t 60 t 802 6040 t v 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 16 当 即列车驶过 o 点以后前进至 1200m 处的速率 20 802 2040 t tvm s 为 40m s 过 o 点以后前进至 1200m 处的加速度 2 2 t t dv am s dt 22 2 40 1 067 1500 t n v am s r 22222 21 0672 267 tn aaam s 可以算出与的夹角为 1520 a v 2 6 22 6 2 火车以 200km h 的速度驶入圆弧形轨道 其半径为 300m 司机一 进入圆弧形轨道立即减速 减速度为 2g 求火车在何处的加速度最大 最大加 速度是多少 解 2 t ag 0 2 vvgt 2 0 2 n vgt a R 4 2 0 2 2 2 vgt ag R 由上式可见 t 0 时 刚进入圆弧形轨道时 a 最大 代入数值得 4 2 0 max 2 4 v ag R 34 22 max 2 200 10 3600 4 9 822 1 300 am s 10 27 42 n a tg a 2 6 32 6 3 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动 当斗车达到图中所示 位置时 轨道曲率半径为 150m 斗车速率为 50km h 切向加速度 a 0 4g 求斗 车的加速度 解 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 17 2 0 4 tn v ag a R 222 4 126 nt aaam s 10 18 16 n t a tg a 加速度与水平方向的夹角 000 3018 1611 84 2 8 12 8 1 飞机在某高度的水平面上飞行 机身的方向是自东北向西南 与正 西夹 150角 风以 100km h 的速率自西南向东北方向吹来 与正南夹 450角 结 果飞机向正西方向运动 求飞机相对于风的速度及相对地面的速度 解 基本参照系 地面 运动参照系 风 研究对象 飞机 绝对速度 相对速度 牵连速度 v 机地 v 机风 v 风地 v 机地 v 机风 v 风地 1 00 sin135sin15 vv 机风风地 0 0 sin135 75 9 sin15 vvm s 风地机风 2 00 sin30sin15 vv 机地风地 0 0 sin30 53 7 sin15 vvm s 风地机地 第 2 章 质点运动学 习题解答 2 18 2 8 22 8 2 飞机在静止空气中的飞行速率是 235km h 它朝正北的方向飞行 使整个飞行的时间内都保持在一条南北向的公路上空 地面观察者利用通讯设 备告诉驾驶员正在刮着速率等于 70km h 的风 但飞机仍能以 235km h 的速率沿 公路方向飞行 1 风的方向是怎样的 2 飞机的头部指向哪个方向 也就 是说 飞机的轴线和公路成怎样的角度 解 基本参照系 地面 运动参照系 风 研究对象 飞机 绝对速度 相对速度 牵连速度 v 机地 v 机风 v 风地 v 机地 v 机风 v 风地 35 sin0 1489 235 00 8 578 34 000 22 8 5717 1417 8 2 8 32 8 3 一辆卡车在平直路面上以恒定速率 30m s 行驶 在此车上射出一抛 体 要求在车前进 60m 时 抛体仍落回到车上原抛出点 问抛体射出时相对于 卡车