高中数学必修二第三章学案

数学试卷 共 20 页 第 1 页 数学试卷 共 20 页 第 2 页 3 1 3 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 学习目标 1 理解直线的倾斜角的定义 范围和斜率 2 掌握过两点的直线斜率的计算公式 3 能用公式和概念解决问题 学习过程 一 新课导学 学习探究 新知新知 1 1 当直线 与轴相交时 取轴作为基准 轴正向与直线 向上方向之间所成的角lxxxl 叫做直线 的倾斜角 angle of inclination l 关键 直线向上方向 轴的正方向 小于平角的正角 x 注意注意 当直线与轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 度 x 试试试试 请描出下列各直线的倾斜角 反思 反思 直线倾斜角的范围 新知新知 2 2 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 slope 记为 2 tank 试试试试 已知各直线倾斜角 则其斜率的值为 当时 则 当时 则 0o k090 oo k 当时 则 当时 则 90o k 0 90180o k 新知新知 3 3 已知直线上两点的直线的斜率公式 111222 P x yP xy 12 xx 21 21 yy k xx 1 已知直线上两点运用上述公式计算直线的斜率时 与两点坐标的顺 1212 A a aB b b A B 序有关吗 2 当直线平行于轴时 或与轴重合时 上述公式还需要适用吗 为什么 yy 典型例题 例 1 已知直线的倾斜角 求直线的斜率 1 30 135 60 90 变式变式 已知直线的斜率 求其倾斜角 1 不存在 0k 1k 3k k 例 2 求经过两点的直线的斜率和倾斜角 并判断这条直线的倾斜角是锐角还是 2 3 4 7 AB 钝角 动手试试 练 1 求经过下列两点直线的斜率 并判断其倾斜角是锐角还是钝角 1 2 3 1 4 AB 5 0 4 2 AB 练 2 判断三点的位置关系 并说明理由 2 12 1 3 4 6 ABC 学习小结 1 任何一条直线都有唯一确定的倾斜角 直线斜角的范围是 0 180 2 直线斜率的求法 利用倾斜角的正切来求 利用直线上两点的坐标 111222 P x yP xy 来求 当直线的倾斜角时 直线的斜率是不存在的90 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 下列叙述中不正确的是 A 若直线的斜率存在 则必有倾斜角与之对应 B 每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C 与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或 D 若直线的倾斜角为 则直线的斜率为0o90 tan 2 经过两点的直线的倾斜角 2 0 5 3 AB A B C D 45 135 90 60 3 过点P 2 m 和Q m 4 的直线的斜率等于 1 则m的值为 A 1 B 4 C 1 或 3 D 1 或 4 4 直线经过二 三 四象限 的倾斜角为 斜率为 则为 角 的取值范围 l k k 5 已知直线l1的倾斜角为 1 则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角 为 2 数学试卷 共 20 页 第 3 页 数学试卷 共 20 页 第 4 页 丙 l2 l1 2 1 x O y 丙 l2 l1 2 1 x O y 丙 l2 l1 2 1 x O y 3 2 两直线平行与垂直的判定 学习目标 1 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件 能够根据直线的方程判断两条直 线的位置关系 学习过程 一 课前准备 复习复习 1 1 已知直线的倾斜角 则直线的斜率为 已知直线上 90 两点且 则直线的斜率为 1122 A x yB xy 12 xx 二 新课导学 学习探究 问题问题 1 特殊情况下的两直线平行与垂直 当两条直线中有一条直线没有斜率时 1 当另一条直线的斜率也不存在时 两直线的倾斜角为 两直线位置关系是 2 当另一条直线的斜率为 0 时 一条直线的倾斜角为 另一条直线的倾 斜角为 两直线的位置关系是 问题问题 2 斜率存在时两直线的平行与垂直 设直线和的 1 l 2 l 斜率为和 1 k 2 k 1两条直线平行的情形 如果 那么它们的倾斜角与 21 l l 斜率是怎么的关系 反过来成立吗 新知新知 1 两条直线有斜率且不重合 如果它们平行 那么它们的斜率相等 反之 如果它们的斜率相等 则它们平行 即 12 ll 1 k 2 k 注意 上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的 缺少这个前 提 结论并不存立 两条直线垂直的情形 如果 那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系 反 12 ll 过来成立吗 新知新知 2 两条直线都有斜率 如果它们互相垂直 则它们的斜率互为负倒数 反 之 如果它们的斜率互为负倒数 则它们互相垂直 即 12 ll 1 2 1 k k 12 1k k 典型例题 例 1 已知 试判断直线与的位置关系 并证明 2 3 4 0 3 1 1 2 ABPQ BAPQ 你的结论 例 2 已知三点 求点 D 的坐标 使直线 且 1 1 2 2 3 0 ABC CDAB CBAD 变式变式 已知 试判断三角形的形状 5 1 1 1 2 3 ABC ABC 三 总结提升 学习小结 1 或的斜率都不存在且不重合 1212 llkk 12 l l 2 或且的斜率不存在 或且 的斜率不存在 1212 1llk k A 1 0k 2 l 2 0k 1 l 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 下列说法正确的是 A 若 则 B 若直线 则两直线的斜率相等 12 ll 12 1k k A 12 ll C 若直线 的斜率均不存在 则 1 l 2 l 12 ll D 若两直线的斜率不相等 则两直线不平行 2 过点和点的直线与直线的位置关系是 1 2 A 3 2 B 1y A 相交 B 平行 C 重合 D 以上都不对 3 经过与的直线 与斜率为的直线互助垂直 则值为 3 m 2 ml4 m A B C D 7 5 7 5 14 5 14 5 4 已知三点在同一直线上 则 的值为 2 5 1 4 2 A aBCa a 5 试确定的值 使过点的直线与过点的直线m 1 1 A mBm 1 2 5 0 PQ 1平行 垂直 l2 l1 2 1 x O y 数学试卷 共 20 页 第 5 页 数学试卷 共 20 页 第 6 页 3 2 13 2 1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 学习目标 1 理解直线方程的点斜式 斜截式的形式特点和适用范围 2 能正确利用直线的点斜式 斜截式公式求直线方程 3 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系 学习过程 一 课前准备 复习复习 1 1 已知直线都有斜率 如果 则 如果 则 12 l l 12 ll 12 ll 2 直线的倾斜角与斜率有何关系 什么样的直线没有斜率 二 新课导学 学习探究 新知新知 1 1 已知直线 经过点 且斜率为 则方程为直线的点斜式l 00 P xyk 00 yyk xx 方程 问题 2 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢 问题问题 3 3 轴所在直线的方程是 轴所在直线的方程是 xy 经过点且平行于轴 即垂直于轴 的直线方程是 000 P xyxy 经过点且平行于轴 即垂直于轴 的直线方程是 000 P xyyx 问题问题 4 4 已知直线 的斜率为 且与轴的交点为 求直线 的方程 lky 0 bl 新知新知 2 2 直线 与轴交点的纵坐标叫做直线 在轴上的截距 intercept 直线ly 0 bbly 叫做直线的斜截式方程 ykxb 注意注意 截距就是函数图象与轴交点的纵坐标 by 问题问题 5 5 能否用斜截式表示平面内的所有直线 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你 会得出什么结论 典型例题 例 1 直线过点 且倾斜角为 求直线 的点斜式和斜截式方程 1 2 135 l 变式变式 直线过点 且平行于轴的直线方程 1 2 x 直线过点 且平行于轴的直线方程 1 2 x 直线过点 且过原点的直线方程 1 2 例 2 写出下列直线的斜截式方程 1 斜率是 在轴上的距截是 2 3 2 y 2 斜角是 在轴上的距截是 0 0 135y 变式变式 已知直线的方程 求直线的斜率及纵截距 3260 xy 动手试试 练 1 求经过点 且与直线平行的直线方程 1 2 23yx 练 2 求直线与坐标轴所围成的三角形的面积 48yx 学习小结 1 直线的方程 点斜式 斜截式 这两个公式都只能在斜率 00 yyk xx ykxb 存在的前提下才能使用 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 过点 倾斜角为的直线方程是 4 2 135 A B 324 30 xy 3364 30 xy C D 32 340 xy 32 340 xy 2 已知直线的方程是 则 21yx A 直线经过点 斜率为 B 直线经过点 斜率为 2 1 1 2 1 1 C 直线经过点 斜率为 D 直线经过点 斜率为 1 2 1 1 2 1 3 直线 当变化时 所有直线恒过定点 130kxyk k A B 3 1 C D 0 0 1 3 1 3 数学试卷 共 20 页 第 7 页 数学试卷 共 20 页 第 8 页 4 直线 的倾斜角比直线的倾斜角大 且直线 的纵截距为 3 则直线的方l 21 22 y 45 l 程 5 已知点 则线段的垂直平分线的方程 1 2 3 1 ABAB 3 2 23 2 2 直线的两点式方程直线的两点式方程 学习目标 1 掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围 2 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围 学习过程 一 课前准备 复习复习 1 1 直线过点 斜率是 1 则直线方程为 2 3 直线的倾斜角为 纵截距为 则直线方程为 60 3 2 与直线垂直且过点的直线方程为 21yx 1 2 二 新课导学 学习探究 新知新知 1 1 已知直线上两点且 则通过这两点的直线方程为 112222 P x xP xy 1212 xxyy 由于这个直线方程由两点确定 所以我们把它叫直线的两 11 1212 2121 yyxx xxyy yyxx 点式方程 简称两点式 two point form 问题问题 1 1 哪些直线不能用两点式表示 例 已知直线过 求直线的方程 1 0 0 2 AB 新知新知 2 2 已知直线 与轴的交点为 与轴的交点为 其中 则lx 0 A ay 0 Bb0 0ab 直线 的方程叫做直线的截距式方程 l1 b y a x 注意注意 直线与轴交点 0 的横坐标叫做直线在轴上的截距 直线与 y 轴交点 0 xaax 的纵坐标叫做直线在轴上的截距 bby 问题问题 3 3 表示截距 是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离 ab 问题问题 4 4 到目前为止 我们所学过的直线方程的表达形式有多少种 它们之间有什么关系 典型例题 例 1 求过下列两点的直线的两点式方程 再化为截距式方程 2 1 0 3 AB 4 5 0 0 AB 动手试试 练 1 求出下列直线的方程 1 倾斜角为 在轴上的截距为 0 0 45y 2 在轴上的截距为 5 在轴上的截距为 6 xy 3 在轴上截距是 3 与轴平行 xy 在轴上的截距是 4 与轴平行 yx 三 总结提升 学习小结 1 直线方程的各种形式 2 中点坐标公式 已知 则 AB 的中点 则 1122 A x yB xy M x y 2121 22 xxyy xy 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 直线 过点两点 点在 上 则的值为 l 1 1 2 5 1002 blb A 2003 B 2004 C 2005 D 2006 2 若直线通过第二 三 四象限 则系数需满足条件 0AxByC A B C A 同号 B A B C0 0ACBC C D 0 0CAB 0 0ABC 3 直线 的图象是 yaxb 0ab 1 A x O y 1 B x O y C x O y 1 D x O y 4 在轴上的截距为 2 在轴上的截距为的直线方程 xy3 数学试卷 共 20 页 第 9 页 数学试卷 共 20 页 第 10 页 5 直线关于轴对称的直线方程 关于轴对称的直线方程 21yx xy 关于原点对称的方程 3 2 33 2 3 直线的一般式方程直线的一般式方程 学习目标 1 明确直线方程一般式的形式特征 2 会把直线方程的一般式化为斜截式 进而求斜率和截距 3 会把直线方程的点斜式 两点式化为一般式 学习过程 一 课前准备 复习复习 1 1 写出我们所学过的直线方程的表达形式 二 新课导学 学习探究 新知新知 关于的二元一次方程 A B 不同时为 0 叫做直线的一般式方程 x y0AxByC 简称一般式 general form 注意注意 直线一般式能表示平面内的任何一条直线 问题问题 1 1 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比 它有什么优点 问题问题 2 2 在方程中 为何值时 方程表示的直线 平行于轴 平0AxByC A B Cx 行于轴 与轴重合 与重合 yxy 典型例题 例 1 已知直线经过点 斜率为 求直线的点斜式和一般式方程 6 4 A 1 2 例 2 把直线 的一般式方程化成斜截式 求出直线 的斜率以及它在轴与l260 xy lx 轴上的截距 y 变式变式 求下列直线的斜率和在轴上的截距y 350 xy 1 45 xy 20 xy 7640 xy 270y 动手试试 练 1 根据下列各条件写出直线的方程 并且化成一般式 1 斜率是 经过点 1 2 8 2 A 2 经过点 平行于轴 4 2 Bx 在轴和轴上的截距分别是 xy 3 3 2 经过两点 12 3 2 5 4 PP 学习小结 1 通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形 概括出直线方程的一般形式 A B 不全为 0 0AxByC 2 点在直线上 00 xy0AxByC 00 AxBy 0C 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 斜率为 在轴上截距为 2 的直线的一般式方程是 3 x A B C D 360 xy 320 xy 360 xy 320 xy 2 若方程表示一条直线 则 0AxByC A B C D 1A 0B 0AB 22 0AB 3 已知直线和的夹角的平分线为 如果的方程是 那么 1 l 2 lyx 1 l0 0 axbycab 的方程为 2 l A B C D 0bxayc 0axbyc 0bxayc 0bxayc 数学试卷 共 20 页 第 11 页 数学试卷 共 20 页 第 12 页 4 直线在轴上的截距为 在轴上的截距为 则 270 xy xaybab 5 直线与直线平行 则 1 2 1 40lxmy 2 3lmxy 20 m 3 3 1 3 3 1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 学习目标 1 掌握判断两直线相交的方法 会求两直线交点坐标 2 体会判断两直线相交中的数形结合思想 学习过程 一 课前准备 1 经过点 且与直线垂直的直线 1 2 A 210 xy 2 点斜式 斜截式 两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线 3 平面直角系中两条直线的位置关系有几种 二 新课导学 学习探究 问题问题 1 1 已知两直线方程 如何判断这两条直线 1111 0lA xB yC 222 lA xB y 2 0C 的位置关系 问题问题 2 2 如果两条直线相交 怎样求交点坐标 交点坐标与二元一次方程组有什关系 典型例题 例 1 求下列两直线 的交点坐标 1 3 420lxy 2 2 2lxy 0 变式变式 判断下列各对直线的位置关系 如果相交 求出交点坐标 1 1 0lxy 2 3 3100lxy 2 1 3 0lxy 2 6 30lxy 1 3 450lxy 2 6 8100lxy 例 2 求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方2330 xy 20 xy 310 xy 程 变式变式 求经过两直线和的交点且与直线垂直的直线2330 xy 20 xy 310 xy 方程 三 总结提升 学习小结 1 两直线的交点问题 一般地 将两条直线的方程联立 得方程组 若 111 222 0 0 A xB yC A xB yC 方程组有唯一解 则两直线相交 若方程组有无数组解 则两直线重合 若方程组无解 则 两直线平行 2 直线与直线的位置关系 求两直线的交点坐标 能将几何问题转化为代数问题来解决 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 两直线的交点坐标为 12 210 220lxylxy A B C D 1 3 2 4 13 24 13 24 1 3 2 4 2 两条直线和的位置关系是 320 xyn 2310 xy A 平行 B 相交且垂直 C 相交但不垂直 D 与的值有关n 3 与直线关于点对称的直线方程是 2360 xy 1 1 A B C D 3220 xy 2370 xy 32120 xy 2380 xy 4 光线从射到轴上的一点后被轴反射 则反射光线所在的直线方程 2 3 M x 1 0 Px 5 已知点 则点关于点的对称点的坐标 5 8 4 1 ABABC 数学试卷 共 20 页 第 13 页 数学试卷 共 20 页 第 14 页 6 已知两点 求经过两直线和的交点和线段 2 1 4 3 AB 2310 xy 3210 xy 中点的直线 的方程 ABl 3 3 23 3 2 两点间的距离两点间的距离 学习目标 1 掌握直角坐标系两点间距离 用坐标法证明简单的几何问题 2 通过两点间距离公式的推导 能更充分体会数形结合的优越性 3 体会事物之间的内在联系 能用代数方法解决几何问题 学习过程 一 课前准备 1 直线 无论取任意实数 它都过点 0mxym m 二 新课导学 学习探究 新知新知 已知平面上两点 则 111222 P x yP xy 22 122121 PPxxyy 特殊地 与原点的距离为 P x y 22 OPxy 典型例题 例 1 已知点求线段的长及中点坐标 8 10 4 4 AB AB 变式变式 已知点 在轴上求一点 使 并求的值 1 2 2 7 AB xPAPB PA 动手试试 练 1 已知点 求证 是等腰三角形 1 2 3 4 5 0 ABCABC 练 2 已知点 在轴上的点与点的距离等于 13 求点的坐标 4 12 AxPAP 三 总结提升 学习小结 1 坐标法的步骤 建立适当的平面直角坐标系 用坐标表示有关的量 进行有关的代数 运算 把代数运算结果 翻译 成几何关系 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 两点之间的距离为 1 3 2 5 AB A B C D 2 313113 2 以点为顶点的三角形是 三角形 3 0 3 2 1 2 ABC A 等腰 B 等边 C 直角 D 以上都不是 3 直线 2 0 4 3 10 和 2 10 相交于一点 则的值 a xyxyxya A B C D 2 211 4 已知点 在轴上存在一点 使 则 1 2 2 7 AB xPPAPB PA 5 光线从点M 2 3 射到轴上一点P 1 0 后被轴反射 则反射光线所在的直线的xx 方程 6 经过直线和3 的交点 且垂直于第一条直线 23yx 320 xy 数学试卷 共 20 页 第 15 页 数学试卷 共 20 页 第 16 页 3 33 3 点到直线的距离及两平行线距离点到直线的距离及两平行线距离 学习目标 1 理解点到直线距离公式的推导 熟练掌握点到直线的距离公式 2 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3 认识事物之间在一定条件下的转化 用联系的观点看问题 学习过程 一 课前准备 复习复习 1 1 已知平面上两点 则的中点坐标为 间的长度为 0 3 2 1 AB ABAB 二 新课导学 学习探究 新知新知 1 1 已知点和直线 则点到直线 的距离为 00 P xy 0l AxByC Pl 00 22 AxByC d AB 注意注意 点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离 在运用公式时 直线的方程要先化为一般式 例 分别求出点到直线的距离 0 2 1 0 AB 341xy 0 新知新知 2 2 已知两条平行线直线 则与的距离为 1 l 1 0AxByC 2 l 2 0AxByC 1 l 2 l 12 22 CC d AB 注意注意 应用此公式应注意如下两点 1 把直线方程化为一般式方程 2 使的系数 x y 相等 典型例题 例 1 已知点 求三角形的面积 1 3 3 1 1 0 ABC ABC 例 2 求两平行线 的距离 1 l2380 xy 2 l46xy 10 动手试试 练 1 求过点 且到原点的距离等于的直线方程 1 2 A 2 2 练 2 求与直线平行且到 的距离为 2 的直线方程 51260lxy l 三 总结提升 学习小结 1 点到直线距离公式的推导过程 点到直线的距离公式 能把求两平行线的距离转化为点到 直线的距离公式 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 求点到直线的距离 5 7 P 12530 xy A B C D 10 14 13 28 13 2 过点且与原点距离最大的直线方程是 1 2 数学试卷 共 20 页 第 17 页 数学试卷 共 20 页 第 18 页 A B C D 250 xy 240 xy 370 xy 350 xy 3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 A B C D 0 xy 0 xy 0 xy 0 xy 4 两条平行线 3 2 1 0 和 3x 2 1 0 的距离 xyy 5 在坐标平面内 与点距离为 1 且与点距离为 2 的直线共有 1 2 A 3 1 B 条 3