三种方法求椭圆轨迹

精品文档 1欢迎下载 3 3 求点的轨迹方程 求点的轨迹方程 1 1 定义法 定义法 用定义法求椭圆的方程求椭圆的方程 首先要利用平面几何知识将题目条件 已知两焦已知两焦 点的距离或坐标点的距离或坐标 转化为到两定点的距离之和为定值两定点的距离之和为定值 然后判断椭圆的中心是椭圆的中心是 否在原点否在原点 对称轴是否为坐标轴对称轴是否为坐标轴 最后由定义产生椭圆的基本量a a b b c c 例题 如图 P为圆B x 2 2 y2 36 上一动点 点A坐标为 2 0 线段AP 的垂直平分线交直线BP于点Q 求点Q的轨迹方程 连接 AQ 直线 AP 的垂直平分线交直线 BP 于点 Q AQ PQ AQ BQ PQ BQ 6 A B 由椭圆的定义可知 点 Q 的轨迹为以 A B 为焦点的椭圆 且 2a 6 2c 4 a 3 c 2 点Q的轨迹方程为 1 x2 9 y2 5 跟踪训练 已知圆A x 3 2 y2 100 圆A内一定点B 3 0 圆P过B且与圆A 内切 求圆心P的轨迹方程 如图 设圆 P 的半径为 r 又圆 P 过点 B PB r 又 圆 P 与圆 A 内切 圆 A 的半径为 10 两圆的圆心距 PA 10 r 即 PA PB 10 AB 由椭圆的定义可知 点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆 2a 10 2c AB 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 点 P 的轨迹方程为 1 6 x2 25 y2 16 精品文档 2欢迎下载 2 2 相关点法 相关点法 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系所求动点和已知动点存在明显关系时 一般利用相关点的方法求 解 用相关点法求轨迹方程的基本步骤为 1 设点 设所求轨迹上动点坐标P x y 已知曲线上动点坐标Q x1 y1 2 求关系式 用点P的坐标表示出点Q的坐标 即得关系式Error Error 3 代换 将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程 并把所得 方程化简即可 例题 如图 在圆x2 y2 4 上任取一点P 过点P作x轴的垂线段PD D为垂 足 当 点P在圆上运动时 线段PD的中点M的轨迹是什么 设点 M 的坐标为 x y 点 P 的坐标为 x0 y0 则 x x0 y y0 2 点 P x0 y0 在圆 x2 y2 4 上 x y 4 2 02 0 把 x0 x y0 2y 代入方程 得x2 4y2 4 即 y2 1 x2 4 点 M 的轨迹是一个椭圆 跟踪训练 如图 设P是圆x2 y2 25 上的动点 点D是P在x轴上的投影 M为PD 上一点 且 MD PD 当P在圆上运动时 求点M的轨迹C的方程 并判断 4 5 此曲线的类型 设 M 点的坐标为 x y P 点的坐标为 xP yP 由已知易得Error Error P在圆上 x2 2 25 5 4y 即轨迹C的方程为 1 该曲线表示椭圆 x2 25 y2 16 3 直接法 例题 精品文档 3欢迎下载 如图 设点A B的坐标分别为 5 0 5 0 直线AM BM相交于点 M 且它们的斜率之积是 求点M的轨迹 4 9 方程 设点M的坐标为 x y 点A的坐标是 5 0 直线AM的斜率kAM x 5 y x 5 同理 直线BM的斜率kBM x 5 y x 5 由已知有 x 5 y x 5 y x 5 4 9 化简 得点M的轨迹方程为 1 x 5 x2 25 y2 100 9 例题变式 若将例题中的 改为a a 0 曲线形状如何 4 9 设点M x y 则 a x 5 y x 5 y x 5 化简得 1 x 5 y2 25a x2 25 1 当a 1 时 曲线表示圆x2 y2 25 x 5 去掉两点 5 0 2 当a 1 时 曲线表示椭圆 去掉两点 5 0 当 1 a 0 时 椭圆焦点在x轴上 当a 1 时 椭圆焦点在y轴上 例题小结 椭圆的另一种生成方法 一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数 不等于 1 轨迹即为椭圆 但要注意除去不符合题意的点 跟踪训练 已知M 4 0 N 1 0 若动点P满足 6 求动点P的轨迹C的方 MN MP NP 程 设动点P x y 则 x 4 y 3 0 1 x y MP MN PN 由已知得 3 x 4 6 化简得 3x2 4y2 12 即 1 1 x 2 y 2 x2 4 y2 3 精品文档 4欢迎下载 点P的轨迹方