初中数学培优教材

精品文档 1欢迎下载 初中数学培优教材初中数学培优教材 第一讲 一元二次方程 学习目标 1 学会根据具体问题列出一元二次方程 培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力 2 了解一元二次方程的解或近似解 3 增进对方程解的认识 发展估算意识和能力 知识要点 1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数的整式方程 并且都可以化为 a b c 为常数 的形式 这样的方程叫做一元二次方程 0 2 cbxax0a 1 定义解释 一元二次方程是一个整式方程 只含有一个未知数 并且未知数的 最高次数是 2 这三个条件必须同时满足 缺一不可 2 a b c 为常数 叫一元二次方程的一般形式 也叫标准形0 2 cbxax0a 式 3 在 中 a b c 通常表示已知数 0 2 cbxax0a 2 一元二次方程的解 当某一 x 的取值使得这个方程中的的值为 0 x 的值即是cbxax 2 一元二次方程的解 0 2 cbxax 3 一元二次方程解的估算 当某一 x 的取值使得这个方程中的的值无限接近 0cbxax 2 时 x 的值即可看做一元二次方程的解 0 2 cbxax 经典例题 例 1 下列方程中 是一元二次方程的是 0 4 2 y y 032 2 xx3 1 2 x bxax 2 xx32 2 04 3 xx2 2 t0 3 3 2 x xx2 2 xx 0 2 abxax 例 2 1 关于 x 的方程 m 4 x2 m 4 x 2m 3 0 当 m 时 是一元二次方程 当 m 时 是一元一次方程 2 如果方程 ax2 5 x 2 x 1 是关于 x 的一元二次方程 则 a 3 关于 x 的方程是一元二次方程吗 为什么 135 32 12 xxmm m 精品文档 2欢迎下载 例 3 把下列方程先化为一般式 再指出下列方程的二次项系数 一次项系数及常数项 1 2x2 x 1 0 2 5x2 1 6x 3 x 1 2 2x 4 843 2 xx 例 4 1 某校办工厂利润两年内由 5 万元增长到 9 万元 设每年利润的平均增长率为 x 可以列方程得 A 5 1 x 9 B 5 1 x 2 9 C 5 1 x 5 1 x 2 9 D 5 5 1 x 5 1 x 2 9 2 某商品成本价为 300 元 两次降价后现价为 160 元 若每次降价的百分率相同 设为 x 则方程为 例 5 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯 如下图所示 它的长为 8 m 宽为 5 m 如果 地毯中央长方形图案的面积为 18 m2 那么花边有多宽 列出方程并估算解得值 例 6 如图 一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m 如果 梯子的顶端下滑 1 m 那么梯子的底端滑动多少米 精品文档 3欢迎下载 经典练习 一 选择题 1 下列关于 x 的方程 1 5x2 1 0 2 3x2 1 0 3 4x2 ax 其中 a 为常数 x 1 2x2 3x 0 2x 2x 中 一元二次方程的个数是 5 13 2 x 22 xx A 1 B 2 C 3 D 4 2 方程 x2 2 3x 2 x 1 0 的一般形式是 A x2 5x 5 0B x2 5x 5 0 C x2 5x 5 0D x2 5 0 3 一元二次方程 7x2 2x 0 的二次项 一次项 常数项依次是 A 7x2 2x 0B 7x2 2x 无常数项 C 7x2 0 2xD 7x2 2x 0 4 若 x 1 是方程 ax2 bx c 0 的解 则 A a b c 1 B a b c 0 C a b c 0 D a b c 0 二 填空题 1 将化为一般形式为 此时它的二次项系数是 13 34 xxx 一次项系数是 常数项是 2 如果 a 2 x2 4x 3 0 是一元二次方程 那么 a 所满足的条件为 3 已知两个数之和为 6 乘积等于 5 若设其中一个数为 x 可得方程为 4 某高新技术产生生产总值 两年内由 50 万元增加到 75 万元 若每年产值的增长率设为 x 则方程为 5 某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨 通过优化管理 产量逐月上升 第一季度共 生产化工原料 60 万吨 设一 二月份平均增长的百分率相同 均为 x 可列出方程为 三 解答题 1 某商场销售商品收入款 3 月份为 25 万元 5 月份为 36 万元 该商场 4 5 月份销售商 品收入款平均每月增长的百分率是多少 精品文档 4欢迎下载 课后作业 一 填空题 1 方程 5 x2 x 1 3x 2 的一般形式是 其二次项是 一22 次项是 常数项是 2 若关于 x 的方程是一元二次方程 这时 a 的取值范围是 053 1 2 axxa 3 某地开展植树造林活动 两年内植树面积由 30 万亩增加到 42 万亩 若设植树面积年平 均增长率为 x 根据题意列方程 二 选择题 1 下列方程中 不是一元二次方程的是 A 2x2 7 0 B 2x2 2x 1 0 C 5x2 4 0 D 3x2 1 x 1 03 x 1 2 2 方程 x2 2 3x 2 x 1 0 的一般形式是 A x2 5x 5 0B x2 5x 5 0 C x2 5x 5 0 D x2 5 0 3 一元二次方程的二次项 一次项 常数项依次是 5127 2 xx A 7x2 2x 1 B 7x2 2x 无常数项 C 7x2 0 2xD 7x2 2x 4 4 方程 x2 x 化为一般形式 它的各项系数之和可能是 332 A B C D 2232 3221 5 若关于 x 的方程 ax b d cx m ac 0 的二次项系数是 ac 则常数项为 A mB bdC bd mD bd m 6 若关于 x 的方程 a x 1 2 2x2 2 是一元二次方程 则 a 的值是 A 2B 2C 0D 不等于 2 7 若 x 1 是方程 ax2 bx c 0 的解 则 A a b c 1 B a b c 0 C a b c 0D a b c 0 精品文档 5欢迎下载 第二讲 一元二次方程 配方法 学习目标 1 会用开平方法解形如的方程 0 2 nnmx 2 理解配方法 会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程 3 经历列解方程解决实际问题的过程 体会转化的数学思想 增强数学应用意识和能力 知识要点 1 直接开平方法解一元二次方程 1 把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式 另一边是非负数的形式 即化成 的形式 0 2 aabx 2 直接开平方 解得abxabx 21 2 配方法的定义 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根 这种解一元二次 方程的方法称为配方法 3 用配方法解一元二次方程的步骤 1 利用配方法解一元二次方程时 如果中 a 不等于 1 必须两边同时除以0 2 cbxax a 使得二次项系数为 1 2 移项 方程的一边为二次项和一次项 另一边为常数项 3 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4 用直接开平方法求出方程的根 经典例题 例 1 解下列方程 1 x2 4 2 x 3 2 9 例 2 配方 填上适当的数 使下列等式成立 1 x2 12x x 6 2 2 x2 8x x 2 3 x2 12x x 2 例 3 用配方法解方程 精品文档 6欢迎下载 1 3x2 8x 3 0 2 0126 2 xx 3 4 0 4 5 2 5 2 1 2 xx02 2 xx 例 4 请你尝试证明关于 x 的方程 不论 m 取何值 该方程都012 208 22 mxxmm 是一元二次方程 例 5 一小球以 15m s 的初速度竖直向上弹出 它在空中的高度 h m 与时间 t s 满足 关系 h 15 t 5t2 小球何时能达到 10m 高 经典练习 一 填空题 1 若 x2 225 则 x1 x2 2 若 9x2 25 0 则 x1 x2 3 填写适当的数使下式成立 x2 6x x 3 2 x2 x 1 x 1 2 x2 4x x 2 4 为了利用配方法解方程 x2 6x 6 0 我们可移项得 方程两边都加上 得 化为 解此方程得 x1 x2 5 将长为 5 宽为 4 的矩形 沿四个边剪去宽为 x 的 4 个小矩形 剩余部分的面积为 12 则剪去小矩形的宽 x 为 6 如图 1 在正方形 ABCD 中 AB 是 4 cm BCE 的面积是 DEF 面积的 4 倍 则 DE 的长为 精品文档 7欢迎下载 7 如图 2 梯形的上底 AD 3 cm 下底 BC 6 cm 对角线 AC 9 cm 设 OA x 则 x cm 图 1 图 2 二 选择题 1 方程 5x2 75 0 的根是 A 5 B 5 C 5 D 无实根 2 方程 3x2 1 0 的解是 A x B x 3 C x D x 3 1 3 3 3 3 一元二次方程 x2 2x m 0 用配方法解该方程 配方后的方程为 A x 1 2 m2 1B x 1 2 m 1 C x 1 2 1 mD x 1 2 m 1 4 用配方法解方程 x2 x 2 应把方程的两边同时 A 加B 加C 减D 减 4 1 2 1 4 1 2 1 5 已知 xy 9 x y 3 则 x2 3xy y2的值为 A 27B 9C 54D 18 3 计算题 用配方法解下列方程 1 2 16 2 x4 2 2 x 3 x2 5x 1 0 4 2x2 4x 1 0 精品文档 8欢迎下载 5 x2 6x 3 0 6 x2 x 6 0 4 1 7 8 034 2 xx02512 2 xx 9 10 xx613 2 01222 2 xx 四 解答题 两个正方形 小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4 cm 大正方形的面积比小正方 形的面积的 2 倍少 32 平方厘米 求大小两个正方形的边长 课后作业 1 将下列方程两边同时乘以或除以适当的数 然后再写成 x m 2 n 的形式 1 2x2 3x 2 0 2 x2 x 2 0 4 1 2 用配方法解下列方程 1 x2 5x 5 0 2 2x2 4x 3 0 3 x2 3x 3 0 4 01472 2 xx 第三讲 一元二次方程 公式法 精品文档 9欢迎下载 学习目标 1 学会一元二次方程求根公式的推导 2 理解公式法 会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程 3 经历一元二次方程的求根公式的探索过程 体会公式法和配方法的内在联系 知识要点 1 复习用配方法接一元二次方程的步骤 推导出一元二次方程的求根公式 对于一元二次 方程其中 由配方法有 0 2 cbxax0 a 2 2 2 4 4 2 a acb a b x 1 当时 得 04 2 acb a acbb x 2 4 2 2 当时 一元二次方程无实数解 04 2 acb 2 公式法的定义 利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法 3 运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤 1 必须把一元二次方程化成一般式 以明确 a b c 的值 0 2 cbxax 2 再计算的值 acb4 2 当时 方程有实数解 其解为 04 2 acb a acbb x 2 4 2 当时 方程无实数解 04 2 acb 经典例题 例 1 推导求根公式 0 2 cbxax0 a 例 2 利用公式解方程 1 2 022 2 xx472 2 xx 3 4 014 2 xx01034 2 xx 精品文档 10欢迎下载 例 3 已知 a b c 均为实数 且 b 1 c 3 2 0 解方程12 2 aa 0 2 cbxax 例 4 你能找到适当的 x 的值使得多项式 A 4x2 2x 1 与 B 3x2 2 相等吗 例 5 一元二次方程 m 1 x2 3m2x m2 3m 4 0 有一根为零 求 m 的值及另一根 经典练习 1 用公式法解方程 3x2 4 12x 下列代入公式正确的是 A x1 2 B x1 2 2 431212 2 2 431212 2 C x1 2 D x1 2 2 431212 2 32 434 12 12 2 2 方程 x2 3x 14 的解是 A x B x C x D x 2 653 2 653 2 233 2 233 3 下列各数中 是方程 x2 1 x 0 的解的有 55 1 1 1 555 A 0 个B 1 个 C 2 个 D 3 个 5 若代数式 x2 6x 5 的值等于 12 那么 x 的值为 A 1 或 5B 7 或 1C 1 或 5D 7 或 1 6 关于 x 的方程 3x2 2 3m 1 x 2m 15 有一个根为 2 则 m 的值等于 A 2B C 2D 2 1 2 1 7 当 x 为何值时 代数式 2x2 7x 1 与 4x 1 的值相等 精品文档 11欢迎下载 9 用公式法解下列各方程 1 x2 6x 9 7 2 01712 2 xx 3 4 0824 2 xx0532 2 xx 5 6 01 2 xx0153 2 xx 7 8 4 3 12 xx02 82 4 2 yy 9 10 0232 2 xx 0112 yyyy 11 12 185 2 xx02332 222 nmnmnxmxx 课后作业 1 方程 x 5 2 6 的两个根是 A x1 x2 5 B x1 x2 5 66 C x1 5 x2 5 D x1 5 x2 5 6666 2 利用求根公式解一元二次方程时 首先要把方程化为 确定 的值 当 时 把 a b c 的值代入公式 x1 2 求得方程的解 3 当 x 为何值时 代数式 2x2 7x 1 与 x2 19 的值互为相反数 精品文档 12欢迎下载 4 用公式法解下列方程 1 2 017 2 xx0 8 xx 3 4 2 2 xx3 08 0 2 xx 5 6 213 2 xxx7 2 第四讲 一元二次方程 分解因式法 学习目标 1 能根据具体一元二次方程的特征 灵活选择方程的解法 体会解决问题方法的多样性 2 会用分解因式 提公因式法 公式法 解某些简单的数字系数的一元二次方程 3 会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程 知识要点 1 分解因式法解一元二次方程 当一元二次方程的一边为 0 而另一边易于分解成两个一 次因式的积时 可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解 这种解一元二次 方程的方法称为分解因式法 2 分解因式法的理论依据是 若 则或0 ba0 a0 b 3 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 将方程的右边化为零 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积 令每个因式分别为零 得到两个一元一次方程 解这两个一元一次方程 他们的解就是一元一次方程的解 典型例题 精品文档 13欢迎下载 例 1 1 方程的根是 2 2 2 1 xxx 2 方程的根是 0 3 2 1 xxx 例 2 用分解因式法解下列方程 1 2 063 2 xx 5 2 5 3 2 xx 3 4 012 2 xx484 2 xx 5 6 0 3 23 22 xx 22 6 16 3 49 xx 7 8 x 1 2 4 x 1 21 0 06 2 5 4 1 2 xx 例 3 2 是方程 x2 bx 1 0 的一个根 则 b 另一个根是 3 例 4 已知 a2 5ab 6b2 0 则等于 a b b a 2 1 3 3 1 D 2 3 1 3 2 1 C 2 3 1 B 3 2 1 A 2或或 例 5 解关于 x 的方程 a2 b2 x2 4abx a2 b2 例 6 x 为何值时 等式02322 22 xxxx 经典练习 一 填空题 1 用因式分解法解方程 9 x2 2x 1 1 移项得 2 方程左边化为两个数的平方差 右边为 0 得 3 将方程左边分解成两个一次因式之积得 4 分别解这两个一次方程得 x1 x2 精品文档 14欢迎下载 2 1 方程 t t 3 28 的解为 2 方程 2x 1 2 3 2x 1 0 的解为 3 1 用因式分解法解方程 5 x 3 2x x 3 0 可把其化为两个一元一次方程 和 求解 2 方程 x2 16 0 可将方程左边因式分解得方程 则有两个一元一次方程 或 分别解得 x1 x2 4 如果方程 x2 3x c 0 有一个根为 1 那么 c 该方程的另一根为 该方 程可化为 x 1 x 0 5 已知 x2 7xy 12y2 0 那么 x 与 y 的关系是 6 小英 小华一起分苹果 小华说 我分得苹果数是你的 3 倍 小英说 如果将我的 苹果数平方恰好等于你所得的苹果数 则小英 小华分得的苹果个数分别是 二 选择题 1 方程 3x2 1 的解为 A B C D 3 1 3 3 1 3 3 2 2x 5x 4 0 的解是 A x1 2 x2 B x1 0 x2 C x1 0 x2 D x1 x2 5 4 4 5 5 4 2 1 5 4 3 下列方程中适合用因式分解法解的是 A x2 x 1 0B 2x2 3x 5 0 C x2 1 x 0D x2 6x 7 022 4 若代数式 x2 5x 6 与 x 1 的值相等 则 x 的值为 A x1 1 x2 5B x1 6 x2 1 C x1 2 x2 3D x 1 5 已知 y 6x2 5x 1 若 y 0 则 x 的取值情况是 A x 且 x 1B x C x D x 且 x 6 1 2 1 3 1 2 1 3 1 精品文档 15欢迎下载 6 方程 2x x 3 5 x 3 的根是 A x B x 3 或 x C x 3 D x 或 x 3 2 5 2 5 2 5 7 用因式分解法解方程 下列方法中正确的是 A 2x 2 3x 4 0 2 2x 0 或 3x 4 0 B x 3 x 1 1 x 3 0 或 x 1 1 C x 2 x 3 2 3 x 2 2 或 x 3 3 D x x 2 0 x 2 0 8 方程 ax x b b x 0 的根是 A x1 b x2 aB x1 b x2 C x1 a x2 D x1 a2 x2 b2 a 1 b 1 9 若一元二次方程 m 2 x2 3 m2 15 x m2 4 0 的常数项是 0 则 m 为 A 2B 2 C 2 D 10 三 解下列关于 x 的方程 1 x2 12x 0 2 4x2 1 0 3 x 1 x 3 12 4 x2 4x 21 0 5 3x2 2x 1 0 6 10 x2 x 3 0 7 4 3x 1 2 9 0 8 5 2x 1 1 2x x 3 课后作业 一 选择题 精品文档 16欢迎下载 1 已知方程 4x2 3x 0 下列说法正确的是 A 只有一个根 x B 只有一个根 x 0 4 3 C 有两个根 x1 0 x2 D 有两个根 x1 0 x2 4 3 4 3 2 如果 x 1 x 2 0 那么以下结论正确的是 A x 1 或 x 2 B 必须 x 1 C x 2 或 x 1 D 必须 x 1 且 x 2 3 若方程 x 2 3x 1 0 则 3x 1 的值为 A 7 B 2 C 0 D 7 或 0 4 方程 5x x 3 3 x 3 解为 A x1 x2 3 B x C x1 x2 3D x1 x2 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 方程 y 5 y 2 1 的根为 A y1 5 y2 2B y 5C y 2D 以上答案都不对 二 用因式分解法解下列方程 1 t 2t 1 3 2t 1 2 y2 7y 6 0 3 y2 15 2y 4 2x 1 x 1 1 第五讲 判别式和根与系数的关系 学习目标 1 使学生会运用根与系数关系解题 2 对一元二次方程以及其根有更深刻的了解 培养分析问题和解决问题的能力 知识要点 精品文档 17欢迎下载 1 一元二次方程的判别式 acb4 2 1 当时 方程有两个不相等的实数根 04 2 acb a acbb x 2 4 2 2 当时 方程有两个相等的实数根 04 2 acb a b xx 2 21 3 当时 方程无实数解 04 2 acb 2 一元二次方程根与系数关系的推导 对于一元二次方程其中 设其根为 由求根公式0 2 cbxax0 a 21 x x 有 a acbb xx 2 4 2 21 a b xx 21 a c xx 21 3 常见的形式 1 21 2 21 2 21 4 xxxxxx 2 3 2121 3 21 3 2 3 1 xxxxxxxx 3 21 2 2121 4 xxxxxx 典型例题 例1 当m分别满足什么条件时 方程2x2 4m 1 x 2m2 1 0 1 有两个相等实根 2 有两个不相实根 3 无实根 4 有两个实根 例 2 已知方程的一个根是 3 求方程的另一个根及 c 的值 02 2 cxx 例 3 已知方程的根是 x 和 x 求下列式子的值 065 2 xx 12 1 2 2 2 2 1 xx 21x x 1 2 2 1 x x x x 例4 已知关于x的方程3x2 mx 2 0的两根为x1 x2 且 求 m的值 求3 11 21 xx x12 x22的值 精品文档 18欢迎下载 例 5 已知关于的方程 1 有两个不相等的实数根 且关于的x03 21 22 axaxx 方程 2 没有实数根 问取什么整数时 方程 1 有整数解 0122 2 axxa 经典练习 一 选择题 1 方程的根的情况是 01 2 kxx A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 与 k 的取值有关 2 已知关于 x 的一元二次方程的两根互为倒数 则 k 的取值是 0 1 1 22 kxk A B C D 0 2 22 3 设方程的两根为和 且 那么 q 的值等于 053 2 qxx 1 x 2 x06 21 xx A B 2 C D 3 2 9 1 9 2 4 如果方程的两个实根互为相反数 那么的值为 1 2 mxxm A 0 B 1 C 1 D 1 5 已知 0 方程的系数满足 则方程的两根之比为 ab0 2 cbxaxac b 2 2 A 0 1 B 1 1 C 1 2 D 2 3 二 填空题 1 已知方程的两个根分别是 x 和 x 则 043 2 xx 1221 xx 21x x 2 已知方程的两个根分别是 2 与 3 则 0 2 baxx a b 3 已知方程的两根之差为 5 k 03 2 kxx 4 1 已知方程 x2 12x m 0 的一个根是另一个根的 2 倍 则 m 精品文档 19欢迎下载 2 方程 的一个根是另一个根的 5 倍 则 m 0524 2 mxx 5 以数为根构造一个一元二次方程 21 21 三 简答题 1 讨论方程的根的情况并根据下列条件确定 m 的值 1 两实04 1 4 1 22 xmxm 数根互为倒数 2 两实数根中有一根为 1 2 求证 不论 k 取什么实数 方程一定有两个下相等的实数根 0 3 4 6 2 kxkx 3 已知方程的一个根是 2 求另一个根及 c 的值 03 2 cxx 4 已知方程 2的两个根分别是 x 和 x 求下列式子的值 054 2 xx 12 1 x 2 x 2 2 12 2 221 2 1 xxxx 5 已知两个数的和等于 6 积等于 2 求这两个数 课后作业 1 如果 5 是方程 5x2 bx 10 0 的一个根 求方程的另一个根及 b 的值 精品文档 20欢迎下载 2 设关于 x 的方程 的两实数根的平方和是 11 求 k 的值 02 12 22 kxkx 3 设 x1 x2是方程 2x2 4x 3 0 的两个根 利用根与系数关系 求下列各式的值 1 X1 1 X2 1 2 1 2 x x 2 1 x x 第六讲 列方程解应用题 学习目标 1 学会分析具体问题中的数量关系 建立数学模型并解决实际问题 2 加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养 知识要点 1 一元二次方程的解法 配方法 公式法 十字相乘法 2 列方程解应用题的一般步骤 1 要读懂题目中的关键词以及所涉及的运算 2 用字母 x 表示未知数 并准确的用含有 x 的代数式表示题目中涉及的量 3 努力找出相等关系 列出方程并求出其根 4 结合实际情况选择恰当的根 典型例题 例 1 台门中学为美化校园 准备在长 32 米 宽 20 米的长方形场地上 修筑若干条道路 余下部分作草坪 并请全校学生参与图纸设计 现有三位学生各设计了一种方案 图纸如下 所示 问三种设计方案中道路的宽分别为多少米 甲方案图纸为图 1 设计草坪总面积 540 平方米 32 20 1 精品文档 21欢迎下载 解 设道路宽为米 根据题意 得x 答 本方案的道路宽为 米 乙方案图纸为图 2 设计草坪总面积 540 平方米 解 设道路宽为米 根据题意 得x 答 本方案的道路宽为 米 丙方案图纸为图 3 设计草坪总面积 570 平方米 解 设道路宽为米 根据题意 得x 例 2 某乡产粮大户 1995 年粮食产量为 50 吨 由于加强了经营和科学种田 1997 年粮食 产量上升到 60 5 吨 求平均每年增长的百分率 例 3 有一件工作 如果甲 乙两队合作 6 天可以完成 如果单独工作 甲队比乙队少用 5 天 两队单独工作各需几天完成 例 4 某商店将每件进货价为 8 元的商品按每件 10 元出售 每天可销售 200 件 现在采用 提高商品售价减少销售量的办法增加利润 如果这种商品每件的销售价提高 0 5 元其销售量 就减少 10 件 问应将每件售价定为多少元时 才能使每天利润为 640 元 32 20 3 32 20 2 精品文档 22欢迎下载 例 5 有一个两位数 它十位上的数字与个位上的数字的和是 8 如把十位上的数字和个位 上的数字调换后 所得的两位数乘以原来的两位数 就得到 1855 求原来的两位数 例 6 甲 乙二人分别从相距 20km 的 A B 两地以相同的速度同时相向而行 相遇后 二 人继续前进 乙的速度不变 甲每小时比原来多走 1km 结果甲到达 B 地后乙还要 30 分钟 才能到达 A 地 求乙每小时走多少 km 经典练习 1 要做一个高是 8 底面的长比宽多 5 体积是 528的长方体木箱 问底面的长cmcm 3 cm 和宽各是多少 2 某商厦九月份的销售额为 200 万元 十月份的销售额下降了 20 商厦从十一月份起加 强管理 改善经营 使销售额稳步上升 十二月份的销售额达到了 193 6 万元 求这两个月 的平均增长率 3 A B两地相距82km 甲骑车由A向B驶去 9分钟后 乙骑自行车由B出发以每小时比甲快 2km的速度向A驶去 两人在相距B点40km处相遇 问甲 乙的速度各是多少 8 8 x 精品文档 23欢迎下载 4 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品 该商品可以自行定价 若每件商品售价 a 元 则可卖出 350 10a 件 但物价局限定每件商品的利润不得超过 20 商店计划要盈 利 400 元 需要进货多少件 每件商品应定价多少 5 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入 少儿银行 到期后将本金和 利息取出 并将其中的 500 元捐给 希望工程 剩余的又全部按一年定期存入 这时存款 的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90 这样到期后 可得本金和利息共 530 元 求 第一次存款时的年利率 假设不计利息税 6 甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相等 又知每小时甲 乙二人一共 做了35个零件 求甲 乙每小时各做多少个零件 课后作业 1 若两个连续正整数的平方和为 313 求这两个连续正整数 2 一块面积是600m2的长方形土地 它的长比宽多10m 求长方形土地的长与宽 3 舟山市按 九五 国民经济发展规划要求 1997 年的社会总产值要比 1995 年增长 21 求平均每年增长的百分率 提示 基数为 1995 年的社会总产值 可视为 1 精品文档 24欢迎下载 4 客机在A地和它西面1260km的B地之间往返 某天 客机从A地出发时 刮着速度为60km h 的西风 回来时 风速减弱为40km h 结果往返的平均速度 比无风时的航速每小时少 17km 无风时 在A与B之间飞一趟要多少时间 第七讲 一元二次方程 综合 学习目标 1 复习一元二次方程整章的知识 对该章的内容有整体的掌握 2 进一步掌握解一元二次方程的各种方法 并会灵活运用 3 加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养 知识要点 1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数的整式方程 并且都可以化为 a b c 为常数 的形式 这样的方程叫做一元二次方程 0 2 cbxax0a 2 用配方法解一元二次方程 3 用公式法解一元二次方程 1 当时 方程有两个不相等的实数根 04 2 acb a acbb x 2 4 2 2 当时 方程有两个相等的实数根 04 2 acb a b x 2 3 当时 一元二次方程无实数解 04 2 acb 4 用分解因式法解一元二次方程 把方程变形为 则或0 ba0 a0 b 5 列一元二次方程解实际问题 灵活运用各种方法解一元二次方程 典型例题 例 1 将方程 5x2 1 6x 化为一般形式为 其二次项是 一次项系数 为 常数项为 例 2 方程 当 时 方程为一元二次方程 当 01 1 1 22 xmxm 时 方程为一元一次方程 精品文档 25欢迎下载 例 3 一元二次方程 x2 2x m 0 用配方法解该方程 配方后的方程为 A x 1 2 m2 1B x 1 2 m 1 C x 1 2 1 mD x 1 2 m 1 例 4 用恰当的方法解一元二次方程 1 3x2 10 x 6 0 2 3x 2 3x 1 3 4 2x 1 2 3 2x 1 2 00 12 3 12 2 xx 例 5 若 且 试求的值 053 053 22 qqppqp 22 11 qp 例 6 如右图 某小区规划在长 32 米 宽 20 米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的 3 条 小路 使其中两条与 AD 平行 一条与 AB 平行 其余部分种草 若使草坪的面积为 566 米 2 问小路应为多宽 例 7 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品 据市场分析 若按每千克 50 元销 售一个月能售出 500 千克 销售单价每涨 1 元 月销售量就减少 10 千克 商店想在月销售 成本不超过 1 万元的情况下 使得月销售利润达到 8000 元 销售单价应定为多少 精品文档 26欢迎下载 经典练习 一 填空题 1 将方程 5x2 1 6x 化为一般形式为 其二次项是 一次项系数为 常数项为 2 如果方程 ax2 5 x 2 x 1 是关于 x 的一元二次方程 则 a 3 填写适当的数使下式成立 x2 6x x 3 2 x2 x 1 x 1 2 x2 4x x 2 4 当 时 一元二次方程有一个根是 0 k0 1 2 kxkx 5 已知两个数的差是 积是 48 则这两个数是 6 方程 x2 16 0 可将方程左边因式分解得方程 则有两个一元一次方程 或 分别解得 x1 x2 7 一矩形舞台长 a m 演员报幕时应站在舞台的黄金分割处 则演员应站在距舞台一端 m 远的地方 二 选择题 1 若关于 x 的方程 a x 1 2 2x2 2 是一元二次方程 则 a 的值是 A 2 B 2 C 0 D 不等于 2 2 若 x 1 是方程 ax2 bx c 0 的解 则 A a b c 1B a b c 0 C a b c 0D a b c 0 3 2x2 2x 1 的值 A 恒大于 0 B 恒小于 0 C 恒等于 0 D 可能大于 0 也可能小于 0 4 已知 xy 9 x y 3 则 x2 3xy y2的值为 A 27B 9C 54D 18 5 方程 5x2 75 0 的根是 A 5B 5 C 5D 无实根 6 若一元二次方程无实数根 则 k 的最小整数值是 06 4 2 2 xkxx A 1B 2 C 3 D 4 三 用恰当的方法解一元二次方程 精品文档 27欢迎下载 1 x2 5x 1 0 2 2x2 4x 1 0 3 3 y 1 2 27 4 3 y 1 2 27 5 6 06 2 xx42 2 2 xx 四 解应用题 1 某省为解决农村饮水问题 省财政投资 20 亿元给各市改水工程予以一定比例补助 2008 年 A 市在省补助基础上投入 600 万元 计划以后两年以相同增长率投资 到 2010 年 该 市投资 1176 万元 1 求 A 市投资 改水工程 的年平均增长率 2 2008 到 2010 年 A 市共投资多少万元 2 某项工程需要在规定日期内完成 如果由甲去做 恰好能够如期完成 如果由乙去做 要超过规定日期3天才能完成 现由甲 乙合做2天 剩下的工程由乙去做 恰好在规定日期 完成 求规定的日期 课后作业 1 如果方程 ax2 5 x 2 x 1 是关于 x 的一元二次方程 则 a 2 方程 3x2 8 7x 化为一般形式是 a b c 方 程的根 x1 x2 3 如果 x 1 是方程 2x2 3mx 1 0 的一个根 则 m 另一个根为 4 若关于 x 的方程有两个实数根 则 k 的取值范围是 016 2 xkx 精品文档 28欢迎下载 5 有一张长 40 厘米 宽 30 厘米的桌面 桌面正中间铺有一块垫布 垫布的面积是桌面的 面积的 而桌面四边露出部分宽度相同 如果设四周宽度为 x 厘米 则所列一元二次方程 2 1 是 6 用适当的方法解方程 1 2 05 2 xx06136 2 yy 3 4 796 2 xx032 2 xx 7 如图 在 ABC 中 B 90 点 P 从点 A 开始 沿 AB 边向点 B 以 1 cm s 的速度移动 点 Q 从点 B 开始 沿 BC 边向点 C 以 2 cm s 的速度移动 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 几秒后 PBQ 的面积等于 8 cm2 第八讲 一元二次方程检测 一 填空题 1 方程 x 1 2x 1 2 化成一般形式是 它的二次项系数是 2 关于 x 的方程是 m2 1 x2 m 1 x 2 0 那么当 m 时 方程为一元二次方程 当 m 时 方程为一元一次方程 3 方程的根是 032 2 xx 4 当 时 方程有一根是 0 k0 1 2 kxkx 5 方程 x2 2x m 0 有两个相等实数根 则 m 6 关于 x 的方程 2x2 m2 9 x m 1 0 当 m 时 两根互为倒数 当 m 精品文档 29欢迎下载 时 两根互为相反数 7 关于x的方程2x2 3x m 0 当 时 方程有两个正数根 当m 时 方程有一个正根 一个负根 当m 时 方程有一个根为0 8 一个两位数 它的数值等于它的个位上的数字的平方的 3 倍 它的十位上的数字比个位 上的数字大 2 若设个位数字为 列出求这个两位数的方程 x 9 已知方程的两根平方和是 5 则 0 1 2 kxkxk 10 某林场第一年造林 200 亩 第一年到第三年共造林 728 亩 若设每年增长率为 x 则应 列出的方程是 二 选择题 1 下列方程中 无论取何值 总是关于 x 的一元二次方程的是 A B 0 2 cbxaxxxax 22 1 C D 0 1 1 222 xaxa0 3 1 2 a x x 2 若与互为倒数 则实数为 12 x12 xx A B 1 C D 2 1 2 2 2 3 方程的根的情况是 01 2 kxx A 方程有两个不相等的实数根 B 方程有两个相等的实数根 C 方程没有实数根 D 方程的根的情况与的取值有关k 4 已知方程 则下列说中 正确的是 2 2 xx A 方程两根和是 1 B 方程两根积是 2 C 方程两根和是 1 D 方程两根积是两根和的 2 倍 5 若一元二次方程 2x kx 4 x2 6 0 无实数根 则 k 的最小整数值是 A 1 B 2 C 3 D 4 6 如果关于 x 的一元二次方程的两个解分别是 那么这个一元0 2 qpxx1 3 21 xx 二次方程是 A B C D 043 2 xx034 2 xx034 2 xx043 2 xx 精品文档 30欢迎下载 7 若 c 为实数 方程 x2 3x c 0 的一个根的相反数是方程 x2 3x 3 0 的一个根 那 么方程 x2 3x c 0 的根是 A 1 2 B 1 2 C 0 3 D 0 3 8 一工厂计划 2007 年的成本比 2005 年的成本降低 15 如果每一年比上一年降低的百分率为 x 那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是 A 1 x 2 15 B 1 x 2 1 15 C 1 x 2 1 15 D 1 x 2 1 15 三 解下列方程 1 2 4x2 8x 1 0 用配方法 9 12 2 x 3 3x2 4x 1 0 4 25 x 3 2 16 x 2 2 0 5 2x 1 2 3 2x 1 2 0 6 x2 x x 0 236 四 解答题 1 求证 不论 k 取什么实数 方程 x2 k 6 x 4 k 3 0 一定有两个不相等的实数根 2 若方程 x2 mx 15 0 的两根之差的绝对值是 8 求 的值 3 已知等腰三角形底边长为 8 腰长是方程的一个根 求这个三角形的腰 0209 2 xx 4 已知一元二次方程有一个根为零 求的值 04371 22 mmmxxm m 精品文档 31欢迎下载 5 已知 a b c 为三角形三边长 且方程 b x2 1 2ax c x2 1 0 有两个相等的实数根 试判断此三角形形状 说明理由 6 某人承包在一定时间内生产某种产品 960 件 开始工作后每个月比原计划多生产 40 件 结果提前 4 个月完成 若每月生产数量都相同 求实际上工作了多少个月 7 某科技公司研制成功一种产品 决定向银行贷款 200 万元资金用于生产这种产品 贷款 的合同上约定两年到期时 一次性还本付息 利息为本金的 8 该产品投放市场后 由于 产销对路 使公司在两年到期时除还清贷款的本息外 还盈余 72 万余 若该公司在生产期 间每年比上一年资金增长的百分数相同 试求这个百分数 第九讲 直角三角形与勾股定理 学习目标 1 掌握直角三角形全等的判定定理 并能应用定理解决与直角三角形有关的问题 2 了解勾股定理及其逆定理的证明方法 3 进一步掌握推理证明的方法 拓发展演绎推理能力 培养思维能力 知识要点 1 直角三角形 HL 全等判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 2 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 3 勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边的边长利用勾股定理可求第三边的边长 即若 a b c 是 RtABC 的三边 其中 c 为斜边 则 22 bac 22 bca 22 acb 4 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直 角三角形 精品文档 32欢迎下载 典型例题 例 1 在 Rt ABC 中 C 90 且 DE AB CD ED 求证 AD 是 BAC 的角平分线 例 2 折叠矩形纸片 ABCD 先折出折痕 对角线 BD 再折叠 AD 边与对角线 BD 重合 得折 痕 DG 如图 3 所示 若 AB 2 BC 1 求 AG 的长 例 3 如图 BA DA 于 A AD 12 DC 9 CA 15 求证 BA DC 例 4 如图 ACB ADB 90 AC AD E 是 AB 上的一点 求证 CE DE 例 5 如图 1 在 ABC 中 AB AC BD AC CE AB O 是 BD 与 CE 的交点 求证 BO CO C BA D E D D C C B B A A 9 9 精品文档 33欢迎下载 例 6 已知旗杆 AB 高 17 米 在离旗杆顶端 B 处 1 米的地方系一条绳索 绳索长 20 米 将 绳索拉直 绳索的另一端恰好到地面上的 C 处 求 A C 间的距离 经典练习 一 填空题 1 Rt ABC 中 C 90 如图 1 若 b 5 c 13 则 a 若 a 8 b 6 则 c 2 等边 ABC AD 为它的高线 如图 2 所示 若它的边长为 2 则它的周长为 AD BD AD AB 1 2 3 3 如图 3 正方形 ABCD AC 为它的一条对角线 若 AB 2 则 AC 若 AC 2 则 AB AC AB 4 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 则 a b c 5 若 ABC 中 a b 5 c 5 则 ABC 为 三角形 2 6 如图 4 AE BC DF BC 垂足分别为 E F AE DF AB DC 则 HL 7 已知 如图 5 BE CF 为 ABC 的高 且 BE CF BE CF 交于点 H 若 BC 10 FC 8 则 EC 8 已知 如图 6 AB CD DE AC 于 E BF AC 于 F 且 DE BF D 60 则 A C B 精品文档 34欢迎下载 A 4 5 6 二 选择题 1 若三角形的三边分别为 a b c 则下面四种情况中 构成直角三角形的是 A a 2 b 3 c 4 B a 12 b 5 c 13 C a 4 b 5 c 6 D a 7 b 18 c 17 2 下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 A 两条直角边对应相等 B 有两条边对应相等 C 一条边和一锐角对应相等 D 一条边和一个角对应相等 3 O 是 BAC 内一点 且点 O 到 AB AC 的距离 OE OF 则 AEO AFO 的依据是 A HL B AAS C SSS D ASA 4 在 Rt ABC 和 Rt A B C 中 C C 90 如下图 那么下列各条件中 不能使 Rt ABC Rt A B C 的是 第 3 题 第 4 题 第 4 题 A AB A B 5 BC B C 3B AB B C 5 A B 40 C AC A C 5 BC B C 3D AC A C 5 A A 40 三 证明 精品文档 35欢迎下载 B 1 已知 ABC ADC 90 E 是 AC 上一点 AB AD 求证 EB ED 2 已知 如下图 ABC 中 CD AB 于 D AC 4 BC 3 DB 5 9 1 求 DC 的长 2 求 AD 的长 3 求 AB 的长 4 求证 ABC 是直角三角 形 3 为修铁路需凿通隧道 AC 测得 A 50 B 40 AB 5 km BC 4 km 若每天凿隧道 0 3 km 问几天才能把隧道凿通 4 如图 AD 是 BAC 的角平分线 DE AB DF AC BD CD AB AC 求证 EB FC 课后作业 1 Rt ABC 中 C 90 CD AB 垂足为 D 若 A 60 AB 4 cm 则 CD 2 Rt ABC 中 C 90 若 a 5 c 13 则 b 3 直角三角形两直角边长分别为 6 和 8 则斜边上的高为 4 在 Rt ABC 中 C 90 若 a b 1 2 且 c 5 则 ab 精品文档 36欢迎下载 5 Rt ABC 中 C 90 CD 是高 BC 3 AC 4 则 BD 6 若直角三角形的三条边长分别是 6 8 a 则 1 当 6 8 均为直角边时 a 2 当 8 为斜边 6 为直角边时 a 7 已知 如下图 等边三角形 ABC AD 为 BC 边上的高线 若 AB 2 求 ABC 的面积 第十讲 垂直平分线 学习目标 1 掌握线段垂直平分线的定