实变函数问题

实数的完备性实数的完备性 1 实数连续性的等价描述实数连续性的等价描述 1 求数列 Jn 的上 下确界 1 1 1 n x n 2 2 2 n n xn 3 221 1 1 1 2 3 kk xk xk k 4 1 1 1 n n n x n 5 1 12 n n n n x 6 12 cos 13 n nn x n 2 设在上定义 求证 f xD 1 sup inf x D x D f xf x 2 inf sup x D x D f xf x 3 设 且 试证自中可选取数列且互不相同 使supE E E n x n x 又若 则情形如何 lim n x x E 4 试证收敛数列必有上确界和下确界 趋于的数列必有下确界 趋于的数列 必有上确界 5 试分别举出满足下列条件的数列 1 有上确界无下确界的数列 2 含有上确界但不含有下确界的数列 3 既含有上确界又含有下确界的数列 4 既不含有上确界又不含有下确界的数列 其中上 下确界都有限 2 实数闭区间的紧致性实数闭区间的紧致性 1 利用有限覆盖定理 9 2 证明紧致性定理 9 4 2 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限 3 用区间套定理证明单调有界数列必有极限 4 试分析区间套定理的条件 若将闭区间列改为开区间列 结果怎样 若将条件 去掉或将条件去掉 结果怎样 试举例说明 1122 a ba b 0 nn ba 5 若无界 且非无穷大量 则必存在两个子列 为有限数 n x kk nm xxa a 6 有界数列若不收敛 则必存在两个子列 n x kk nm xa xbb 7 求证 数列有界的充要条件是 的任何子数列都有收敛的子数列 n a n a k n a 8 设在上定义 且在每一点处函数的极限存在 求证 在上 f x a b f x a b 有界 9 设在无界 求证 存在 对任给 函数在 f x a b ca b 0 f x 上无界 cca b 10 设是上的凸函数 且有上界 求证 存在 f x a blim lim xaxb f xf x 11 设在上只有第一类间断点 定义 f x a b 0 0 xf xf x 求证 任意的点只有有限多个 0 x x 12 设在上连续且有界 对任意 f x 0 a 在上只有有限个根或无根 求证 存在 f xa 0 lim x f x 3 实数的完备性实数的完备性 1 设在连续 求证 在一致连续的充要条件是 f x a b f x a b 与都存在 lim xa f x lim xb f x 2 求证数列当时的极限不存在 11 1 2 n x n n 3 利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性 1 012 1 n nnk xaa qa qa qqaM 2 2 sin1sin2sin 1 222 n n n x 3 1 111 1 1 23 n n x n 4 证明存在的充要条件是 对任意给定 存在 当 0 lim xx f x 0 0 时 恒有 00 0 0 xxxx f xf x 5 证明在点连续的充要条件是 任给 存在 当 f x 0 x0 0 时 恒有 00 0 0 xxxx f xf x 6 证明下列极限不存在 1 12 cos 13 n nn x n 2 1 12 n n n n x 3 2 sin n xnn 4 cos n xn 5 tan n xn 7 设在上可导 单调下降 且存在 求证 f x a fxlim x f x lim 0 x xfx 8 设在可导 且 任给 令 f x 1fxk 0 x 1 0 1 2 nn xf xn 求证 1 存在 lim n x x 2 上述极限为的根 且是唯一的 xf x 9 设在满足条件 f x a b 1 1 f xf yk xyx ya bk 2 的值域包含在内 f x a b 则对任意 令 有 0 xa b 1 0 1 2 nn xf xn 1 存在 lim n x x 2 方程的解在上是唯一的 这个解就是上述极限值 xf x a b 4 再论闭区间上连续函数的性质再论闭区间上连续函数的性质 1 设在上连续 并且最大值点是唯一的 又设 使 f x a b 0 x 0 xa b 求证 0 lim n x f xf x 0 lim n x xx 2 设在上连续 可微 又设 f x a b 1 min max a x ba x b f xpf x 2 如果 则有 f xp 0fx 求证 的根只有有限多个 f xp 3 设在连续 求证 存在 使 f x a b 0f a 0f b a b 且 0f 0 f xxb 4 设是上的连续函数 其最大值和最小值分别为和 求证 f x a bM m mM 必存在区间 满足条件 1 或 fM fm fm fM 2 当 mf xM x 5 在连续 且 求证 存在 使 f x 0 2 a 0 2 ffa 0 xa f xf xa 6 设在上连续 且取值为整数 求证 常数 f x a b f x 7 设在上一致连续 证明在上有界 f x a b a b f x a b 8 若函数在上满足利普希茨 Lipschitz 条件 即存在常数 使得 f x a bK f xf xK xxx xa b 证明 在上一致连续 f x a b 9 试用一致连续的定义证明 若函数在和上都一致连续 则 f x a c c b 在上也一致连续 f x a b 10 设在上连续 且与存在 证明 在 f x lim x f x lim x f x f x 上一致连续 11 若在区间 有穷或无穷 中具有有界的导数 即 则 f xX fxMxX 在中一致连续 f xX 12 求证 在上一致连续 lnf xxx 0 13 设在上可导 且 求证 在上不一 f x a lim x fx f x a 致连续 14 求证 在上不一致连续 lnf xxx 0 5 可积性可积性 1 判断下列函数在区间上的可积性 0 1 1 在上有界 不连续点为 f x 0 1 1 1 2 xn n 2 sgn sin 0 1 0 0 x f xx x 3 11 0 1 0 0 x f xxx x 4 1 0 1 1 0 0 x f x x x 2 讨论三者间可积性的关系 2 f xfxf x 3 设都在上可积 证明 f xg x a b max min M xf x g xm xf x g x 在上也是可积的 a b 4 设在上可积 且 求证 f x a b 0f xr 1 在可积 1 f x a b 2 在可积 ln f x a b 5 设在可积 求证 任给 存在逐段为常数的函数 使 f x a b0 x b a f xxdx 6 设在上有界 定义 f x a b sup inf f xa b xa b a bf xf x 求证 sup f x xa b a bf xf x 7 设在附近有定义且有界 定义 f x 0 x 000 11 lim f n xxx nn 求证 在连续的充分必要条件为 f x 0 x 0 0 f x 8 若函数在可积 证明 f x A B 0 lim 0 b ah f xhf xdx 其中 这一性质称为积分的连续性 AabB 9 对任意省仨成立 求证 0 0 f xfx xa b 2 b a f xf x dx ba 10 设在有连续的导函数 求证 f x a b 1 max bb aaa x b f xf x dxfxdx ba 11 设在可积 求证 存在连续