2012年高考理科数学(新课标)试题分析

教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学1 2012 年高考理科数学 新课标 试题分析年高考理科数学 新课标 试题分析 优学教育教研部高中数学教研组优学教育教研部高中数学教研组 20122012 年年 6 6 月月 1515 日日 I 总体评价总体评价 2012 年普通高考数学课标卷遵循课程标准版 考试大纲 和 考试说明 的各项要求 试题科学 规范 试题突破以往风格 在结构和难度上均有较大变化 主干知识在选择题 中顺序改变 比重增大 难度增加 2012 年课标卷对于应用问题的考查更加贴近现实 贴 近考生的实际 试卷在选修模块的考查更加突出定义理解 对新增内容的考查进行了进一 步的探索 课程改革试卷形式趋于稳固 一 一 注重全面考查注重全面考查 2012 年课标卷中各种知识点题型起点较高 较综合 不易入手 多数试题源于教材 但考查较深入 强调对基本知识 基本技能和基本方法的考查 又注重考查知识间的紧密 联系 第 1 2 5 7 9 13 14 题分别对集合 排列组合 等比数列 三视图 三角函数 平面向量 线性规划等基本概念和基本运算进行了考查 试卷注重考 查通性通法 有效检测考生对数学知识所蕴涵的数学思想和方法的掌握情况 第 3 题考 查命题 而内容是复数的计算 第 4 8 题考查圆锥曲线的性质 注重联系平面几何 与平面坐标系的转化 第 6 15 题分别考查了新课改中增加的程序框图 正态分布 更加强调对新知识定义的理解 更加的贴近实际操作 第 10 12 题考查了函数的性 质和反函数 研究函数图象在解题中的巧妙作用 第 16 题考查了数列的性质和求和 解答题中 第一题较以往不同的是考查了解斜三角形 第二题考查概率同时涉及分段函数的解析式 立体几何 解析几何 函数与导数的考查较以往变化不大 二 二 强化思想方法强化思想方法 2012 年课标卷中试卷突出考查数学本质和考生基本的数学素养 注重对数学思想方法 的考查 如第 4 7 8 9 10 11 12 14 19 题考查了数形结合 的思想 第 10 12 18 20 21 24 题考查了函数与方程的思想 第 12 16 20 21 23 题考查了转化与化归的思想 第 10 16 18 21 24 题考查了分类讨论与整合的思想 三 三 重视知识联系重视知识联系 2012 年课标卷在知识的交汇处设计试题 考查知识点之间的内在联系 如第 3 题 在考查命题时同时考查了复数的概念和代数运算 第 18 题在考察概率分布列知识时 先出现了分段函数的考查 第 21 题将函数 导数 方程和不等式融为一体 四 四 突出能力立意突出能力立意 2012 年课标卷突出能力立意 综合考查考生的各种能力 如第 2 5 18 20 21 题考查了运算求解能力 第 7 11 19 题考查了空间想象能力 第 6 19 题考查了推理论证能力 第 18 题考查了数据处理能力 第 6 12 15 题考查了创新应用能力 五 五 重视应用意识重视应用意识 2012 年课标卷重视考查考生的应用意识和建模能力 如第 15 18 题设计巧妙 贴近生活实际 深入考查概率分布的基本思想 有效考查了考生的应用意识 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学2 II 试题知识点分布及难易程度 试题知识点分布及难易程度 题型题号分值考查知识点难易程度 15 分集合及元素运算中等 25 分排列组合较易 35 分命题与复数较易 45 分椭圆及其性质中等 55 分等比数列较易 65 分程序框图较难 75 分三视图 空间几何体体积中等 85 分双曲线 抛物线的性质中等 95 分三角函数的单调性中等 105 分复合函数图象较难 115 分球与空间几何体较难 选择题 60 分 125 分指数函数与对数函数较难 135 分平面向量较易 145 分线性规划较易 155 分正态分布中等 填空题 20 分 165 分数列求和较难 1712 分解斜三角形较易 1812 分分段函数 概率及分布列中等 1912 分立体几何线线垂直 二面角较易 2012 分抛物线方程及其与直线位置关系较难 解答题 60 分 2112 分函数与导数较难 2210 分选修 4 1 几何选讲较易 2310 分选修 4 4 坐标系与参数方程较难 选做题 10 分 2410 分选修 4 5 不等式选讲 注 任 选一题 作答中等 III 未考查知识点 未考查知识点 2012 年课标卷未考查大纲要求重要知识点有二项式定理 定积分 相关系数与线性回 归方程 几何概型 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学3 IV 试题分析试题分析 一 选择题一 选择题 1 已知集合 1 2 3 4 5 A Bx y xA yA xyA 则B中所含元素 的个数为 A 3 B 6 C D 考查目标考查目标 本题考查集合的概念和集合中元素个数的求法 解题思路解题思路 共 10 个 5 1 2 3 4xy 4 1 2 3xy 3 1 2xy 2 1xy 答案答案 D 试题评价试题评价 试题考查了集合概念的理解 集合元素个数的求法 体现了考试大纲对于此 方面知识的要求 2 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 A 12种 B 10种 C 种 D 种 考查目标考查目标 本题考查了计数原理中排列组合 解题思路解题思路 甲地由 名教师和名学生 种12 12 24 12C C 答案答案 A 试题评价试题评价 试题以生活实例为素材 体现了数学的应用性 要求考生理解掌握技术原理 方法 应用所学知识解决实际问题 3 下面是关于复数 2 1 z i 的四个命题 其中的真命题为 1 2pz 2 2 2pzi 3 pz 的共轭复数为1 i 4 pz 的虚部为 1 A 23 pp B 12 p p C pp D pp 考查目标考查目标 此题考查复数的基本概念和复数代数形式的运算 解题思路解题思路 22 1 1 1 1 1 i zi iii 的共轭复数为 的虚部为 1 2pz 2 2 2pzi 3 pz1 i 4 pz1 答案答案 C 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学4 试题评价试题评价 试题通过对复数代数形式的运算 检测考生对复数及其模长 共轭复数的理 解和掌握程度 4 设 12 FF 是椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左 右焦点 P为直线 3 2 a x 上一点 21 F PF 是底角为30 的等腰三角形 则E的离心率为 A 1 2 B 2 3 C D 考查目标考查目标 本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想 解题思路解题思路 21 F PF 是底角为 0 30 的等腰三角形 0 2 60PF A 212 2PFFFc 2 AF c 3 2 2 ca e 3 4 故选C 答案答案 C 试题评价试题评价 试题考查了椭圆的定义及其性质 通过几何关系建立代数关系 是典型的数 形结合问题 充分体现了考试大纲中对于椭圆内容的要求 5 已知 n a 为等比数列 47 2aa 56 8a a 则 110 aa A 7 B 5 C D 考查目标考查目标 此题考查等比数列的性质及运算 解题思路解题思路 或 47 2aa 564747 84 2a aa aaa 47 2 4aa 47110110 4 28 17aaaaaa 47101110 2 48 17aaaaaa 答案答案 D 试题评价试题评价 试题较简单 反映了课程标准对考生注重运用 数列内容性质的要求 6 如果执行右边的程序框图 输入正整数 2 N N 和实数 12 n a aa 输出 A B 则 A AB 为 12 n a aa 的和 B 2 AB 为 12 n a aa 的算术平均数 C A和B分别是1 2 n a aa 中最大的数和最小的数 D A和B分别是1 2 n a aa 中最小的数和最大的数 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学5 考查目标考查目标 本题主要考查框图表示算法的意义 解题思路解题思路 由框图知其表示的算法是找 N 个数中的最大值和最小值 A和B分别为 1 a 2 a N a 中的最大数和最小数 故选 C 答案答案 C 试题评价试题评价 此题是新课改中的新内容 更加注重考查考 生对计算机程序语言的理解掌握 要求考生理解算法思想并 能在实践中自觉应用 是新课改创新应用的反映 7 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗线画出的 是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A 6 B 9 C D 考查目标考查目标 本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算 考查考生的空间想象能力 解题思路解题思路 由三视图知 其对应几何体为三棱锥 其底面为一边长为6 这边上高为3 棱锥的高为3 故其体积为 11 6 3 3 32 9 故选B 答案答案 B 试题评价试题评价 试题的设计注重考查考生空间想象能力 是新课程教学中培养学生多样化学 习能力的体现 8 等轴双曲线C的中心在原点 焦点在x轴上 C与抛物线 xy16 2 的准线交于 A B 两点 4 3AB 则C的实轴长为 A 2 B 2 2 C D 考查目标考查目标 本题主要考查抛物线的准线 直线与双曲线的位置关系 解题思路解题思路 由题设知抛物线的准线为 4x 设等轴双曲线方程为 222 xya 将 4x 代入等轴双曲线方程解得 y 2 16a AB 4 3 2 2 16a 4 3 解得a 2 C的实轴长为4 故选C 答案答案 C 试题评价试题评价 试题突出了对双曲线基本知识和抛物线性质的考查 准确把握了考试说明对 双曲线和抛物线内容的不同能力要求 9 已知 0 函数 sin 4 f xx 在 2 上单调递减 则 的取值范围是 A 1 5 2 4 B 1 3 2 4 C 1 0 2 D 0 2 考查目标考查目标 此题考查三角函数的图像及其性质 要求考生理解三角函数图像的伸缩 平 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学6 移等变化 解题思路解题思路 不合题意 排除 59 2 444 x D 合题意 排除 35 1 444 x B C 另 2 2 3 424422 x 得 315 2424224 答案答案 A 试题评价试题评价 试题比教材所讲三角函数知识复杂 对知识的考查侧重于理解和应用 10 已知函数 1 ln 1 f x xx 则 yf x 的图像大致为 考查目标考查目标 本题考查函数的图像 涉及定义域 最值 单调性 也间接考查了导数在求 单调性和最值得应用 解题思路解题思路 ln 1 1 010 00 0 0 x g xxxg x x g xxg xxg xg 得 或均有 排除0 x 10 x 0f x A C D 答案答案 B 试题评价试题评价 试题通过对函数单调性和最值的考查 反映考生对求导方法的理解和灵活应 用程度 11 已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O的求面上 ABC 是边长为1的正 三角形 SC为球O的直径 且 2SC 则此棱锥的体积为 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学7 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 考查目标考查目标 本题考查锥体及其外接球的结构特征 考查空间几何体中的计算能力技巧 考查考生空间想象能力 解题思路解题思路 的外接圆的半径 点到面的距离ABC 3 3 r OABC 22 6 3 dRr 为球的直径点到面的距离为SCO SABC 2 6 2 3 d 此棱锥的体积为 1132 62 2 33436 ABC VSd 另 排除 13 2 36 ABC VSR B C D 答案答案 A 试题评价试题评价 试题设计较难 要求考生不仅要有良好的空间想象能力 也要掌握灵巧的相 关计算能力 12 设点P在曲线 1 2 x ye 上 点Q在曲线 ln 2 yx 上 则 PQ 最小值为 A 1 ln2 B 2 1 ln2 C 1 ln2 D2 1 ln2 考查目标考查目标 本题考查指数函数与对数函数图像的位置关系 考查平面坐标系中的运算能 力 解题思路解题思路 函数与函数互为反函数 图象关于对称 1 2 x ye ln 2 yx yx 函数上的点到直线的距离为 1 2 x ye 1 2 x P xeyx 1 2 2 x ex d 设函数 minmin 111 ln2 1 1 ln2 222 xx g xexg xeg xd 由图象关于对称得 最小值为yx PQ min 22 1 ln2 d 答案答案 B 试题评价试题评价 试题区别一般函数的最值问题 不直接通过两函数做差构造新函数再求解 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学8 而是先观察到两函数间是互为反函数的关系 然后通过图像几何关系解答 这要求考生具 备敏锐的审题能力 随时灵活运用转化的数学思想解题 二 填空题二 填空题 13 已知向量 a b 夹角为45 且 1 210aab 则 b 考查目标考查目标 本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则 解题思路解题思路 2 ab 10 平方得 22 4410 aa b b 即 2 2 260 b b 解得 b 3 2或 2 舍 答案答案 3 2 试题评价试题评价 试题考查课本基础的平面向量知识 体现课程标准中对考生注重基础的要求 14 设 x y 满足约束条件 0 1 3 x y xy xy 则 2zxy 的取值范围为 考查目标考查目标 本题考查简单的线性规划问题 解题思路解题思路 约束条件对应四边形边际及内的区域 OABC 0 0 0 1 1 2 3 0 OABC 则2 3 3 zxy 答案答案 3 3 试题评价试题评价 试题考查知识很基础 有效检测考生对线性规划问题的理解和应用 15 某个部件由三个元件按下图方式连接而成 元件 1 或元件 2 正常工作 且元件 3 正常工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从 正态分布 2 1000 50 N 且各个元件能否正常相互独立 那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为 考查目标考查目标 本题考查正态分布在实际问题中的应用 考查学生实践中应用数学知识的能 力 解题思路解题思路 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 1000 50 N 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学9 得 三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2 1 3 1 1 4 Pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 21 3 8 ppp 答案答案 3 8 试题评价试题评价 试题考查了学生运用正态分布知识解决实际问题的能力 关注新课程下考生 的数学应用意识 16 数列 n a 满足 1 1 21 n nn aan 则 n a 的前60项和为 考查目标考查目标 本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力 解题思路解题思路 思路思路1 有题设知 21 aa 1 32 aa 3 43 aa 5 54 aa 7 65 aa 9 76 aa 11 87 aa 13 98 aa 15 109 aa 17 1110 aa 19 1211 21aa 得 13 aa 2 得 42 aa 8 同理可得 57 aa 2 68 aa 24 911 aa 2 1012 aa 40 13 aa 57 aa 911 aa 是各项均为2的常数列 24 aa 68 aa 1012 aa 是首项为8 公差为16的等差数列 n a 的前60项和为 1 15 2 15 816 15 14 2 1830 思路思路2 可证明 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 1123415 15 14 1010 15161830 2 baaaaS 答案答案 1830 试题评价试题评价 试题通过巧妙设计 整个求和公式中可分为常数列和等差数列两个新数列的 求和 得以全面考查考生对数列知识的掌握程度和应用能力 三 解答题三 解答题 17 本小题满分 12 分 已知 a b c 分别为 ABC 三个内角 A B C 的对边 cos3 sin0aCaCbc 1 求A 2 若 2a ABC 的面积为 3 求 b c 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学10 考查目标考查目标 本题主要考查正余弦定理应用 解题思路解题思路 运用正弦定理把已知等式化成角的关系 边化角 从而用余弦定理求解 答案答案 解解 1 由正弦定理得 cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC sincos3sinsinsin sin 1 3sincos1sin 30 2 303060 ACACaCC AAA AA 2 1 sin34 2 SbcAbc 222 2cos4abcbcAbc 解得 2bc 试题评价试题评价 试题注重基础 考查了考试大纲中要求的对三角形面积公式 正余弦定理的 理解应用 18 本小题满分 12 分 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润 y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n N 的函数解析式 2 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 i 若花店一天购进16枝玫瑰花 X表示当天的利润 单位 元 求X的分布列 数学期望及方差 ii 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花 你认为应购进 16 枝还是 17 枝 请说明理由 考查目标考查目标 1 考查分段函数解析式的求法 2 考查有限个值得离散型随机变量的 概率分布和数学期望 考查考生准确解读统计图表的意义的能力 解题思路及答案解题思路及答案 解解 1 当 16n 时 16 105 80y 当 15n 时 55 16 1080ynnn 得 1080 15 80 16 nn ynN n 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学11 2 i X可取60 70 80 60 0 1 70 0 2 80 0 7P XP XP X X的分布列为 X607080 P0 10 20 7 60 0 1 70 0 280 0 776EX 222 160 1 60 240 744DX ii 购进 17 枝时 当天的利润为 14 53 5 0 1 15 52 5 0 2 16 5 1 5 0 16 17 5 0 5476 4y 76 476 得 应购进 17 枝 试题评价试题评价 本题通过对生产生活实际问题的检测 展示了数据的获取 整理 分析等统 计的基本内容 体现新课改注重过程 实践与能力的教学理念 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 1 1 2 ACBCAA D是棱1 AA 的中点 BDDC 1 1 证明 BCDC 1 2 求二面角 11 CBDA 的大小 考查目标考查目标 本题考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平 面的位置关系 考查二面角的概念和计算 综合考查考生的空间想 象能力 推理论证能力和运算求解能力 解题思路解题思路 1 用线面垂直证线线垂直 2 可建立空间直 角坐标系求解 答案答案 解解 1 在Rt DAC 中 AD AC 得 45ADC 同理 111 4590ADCCDC 得 111 DCDC DCBDDC 面 1 BCDDCBC 2 11 DCBC CCBCBC 面 11 ACC ABCAC 取 11 AB 的中点O 过点O作OH BD 于点H 连接 11 C O C H 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学12 1111111 ACBCC OAB 面 111 ABC 面 1 ABD 1 C O 面 1 ABD 1 OHBDC HBD 得 点H与点D重合 且 1 C DO 是二面角 11 CBDA 的平面角 设AC a 则 1 2 2 a C O 111 2230C DaC OC DO 既二面角 11 CBDA 的大小为30 试题评价试题评价 试题以考生熟悉的三棱柱为载体 通过问题的分层设计 使不同层次考生的 水平都得以发挥 试题准确把握相关几何要素 把 综合推理论证 和 向量计算验证 巧妙融入试题设计中 使空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力得到充分考查 体 现了课程标准对立体几何教学的能力要求 20 本小题满分 12 分 设抛物线 2 2 0 C xpy p 的焦点为F 准线为l A C 已知以F为圆心 FA为半径的圆F交l于 B D两点 1 若 0 90 BFD ABD 的面积为 24 求 p 的值及圆F的方程 2 若 A B F 三点在同一直线m上 直线n与m平行 且n与C只有一个公共点 求坐标原点到 m n 距离的比值 考查目标考查目标 本题主要考查圆的方程 抛物线的定义 直线与抛物线的位置关系 点到直 线距离公式 线线平行等基础知识 考查数形结合思想和运算求解能力 解题思路及答案解题思路及答案 解解 1 由对称性知 BFD 是等腰直角 斜边 2BDp 点A到准线l的距离 2dFAFBp 1 4 24 22 2 ABD SBDdp 圆F的方程为 22 1 8xy 2 由对称性设 2 0 00 0 2 x A xx p 则 0 2 p F 点 A B 关于点F对称得 22 22 00 00 3 222 xxp Bxppxp pp 得 3 3 2 p Ap 直线 3 3 22 30 223 pp pp m yxxy p 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学13 2 2 33 2 233 xx xpyyyxp pp 切点 3 36 p p P 直线 333 30 6336 pp n yxxyp 坐标原点到 m n 距离的比值为 33 3 26 pp 试题评价试题评价 试题设计围绕解析几何的思想方法展开 突出了数形结合的思想 侧重于对 思想方法的理解和应用 同时还强调了良好的运算求解能力 全面体现了考试大纲对解析 几何的考查目标 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x 满足满足 12 1 1 0 2 x f xfefxx 1 求 f x 的解析式及单调区间 2 若 2 1 2 f xxaxb 求 1 ab 的最大值 考查目标考查目标 本题考查导数在求单调性 最值问题中的应用 考查分类讨论的数学思想 考查灵活应用导数这一工具去分析 解决问题的能力 解题思路解题思路 1 代特殊值法 2 构造新函数 答案答案 解解 1 121 1 1 0 1 0 2 xx f xfefxxfxfefx 令 1x 得 0 1f 121 1 1 0 1 1 1 2 x f xfexxffefe 得 2 1 1 2 xx f xexxg xfxex 10 x g xeyg x 在x R 上单调递增 0 0 0 0 0 0fxfxfxfx 得 f x 的解析式为 2 1 2 x f xexx 且单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 教育是对知识的忠诚 个性化一对一教学14 2 2 1 1 0 2 x f xxaxbh xeaxb 得 1 x h xea 当 10a 时 0 h xyh x 在x R 上单调递增 x 时 h x 与 0h x 矛盾 当 10a 时 0ln 1 0ln 1 h xxah xxa 得 当 ln 1 xa 时 min 1 1 ln 1 0h xaaab 22 1 1 1 ln 1 10 abaaaa 令 22 ln 0 F xxxx x 则 1 2ln F xxx 00 0F xxe F xxe 当x e 时 max 2 e F x 当 1 aebe 时 1 ab 的最大值为2 e 试题评价试题评价 试题分布设问 考查由浅入深 重点突出 灵活考查了利用导数研究函数性 质以及导数的基础知识和解题方法 而且对逻辑推理能力 运算求解能力提出较高要求 请考生在第请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请写清题号 做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 D E 分别为 ABC 边 AB AC 的中点 直线DE交 ABC 的外接圆于 F G 两点 若 CFAB 证明 1 CD BC 2 BCDGBD 考查目标考查目标 本题主要考查线线平行判定 三角形相似的判 定等基础知识 解题思路解题思路 根据平行线的判定定理的逆定理可得到线线 角角关系