宿州市2014-2015学年度第二学期期中考试数学试卷理科

高二年级数学理科第 1 页 共 14 页 宿州市十三所重点中学 2014 2015 学年度第二学期期中质量检测 高二年级数学 理科 试卷高二年级数学 理科 试卷 一 选择题 本大题共 10 个小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 化简 i i 1 3 A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 2 下列求导运算正确的是 A x 1 B log2x x 1 2 1 x2ln 1 x C D x2cosx 2xsinx 2x e x e2 3 用反证法证明 自然数 a b c 中至少有一个偶数 时 下列假设正确的是 A 假设 a b c 都是奇数或至少有两个偶数 B 假设 a b c 都是偶数 C 假设 a b c 至少有两个偶数 D 假设 a b c 都是奇数 4 若 y f x 在定义域上的每一点 x 处都有导数 则函数 f x 在 x x0处有极值是 f x0 0 的 条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分又不必要 5 若函数 3 2f xxax 在区间 1 内是增函数 则实数a的取值范围是 A 3 B 3 C 0 D 0 6 设 2 1 2 1 1 1 Nn nnn nf 那么 1 nfnf 等于 A 12 1 n B 22 1 n C 12 1 n22 1 n D 12 1 n22 1 n 7 已知函数 y f x 的导函数 y f x 的图像如 下 则 A 函数 f x 有 1 个极大值点 1 个极小值点 B 函数 f x 有 2 个极大值点 2 个极小值点 高二年级数学理科第 2 页 共 14 页 C 函数 f x 有 3 个极大值点 1 个极小值点 D 函数 f x 有 1 个极大值点 3 个极小值点 8 如右图一窗户的上部是半圆 下部是矩形 如果窗户的面积为 S 为使窗户的周长最小 用料最省 圆的半径应为 A B C D 2 4 3 S 4 S 4 2 S 4 S 9 等比数列 an 中a1 2 a8 4 函数f x x x a1 x a2 x a8 则f 0 A 26 B 29 C 212 D 215 10 f x 为定义在 R R 上的可导函数 且f x f x 对任意正实数a 则下列式子成 立的是 A f a ea f 0 C f a a e f 0 a e f 0 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把正确答案写在题中的横线上 11 如果复数 m2 i 1 mi 是实数 则实数 m 12 观察下列不等式 2 13 1 22 3 5 3 1 2 1 1 22 4 7 4 1 3 1 2 1 1 222 照此规律 第五个不等式为 13 2 0 2 dxex x 高二年级数学理科第 3 页 共 14 页 14 曲线 f x ln 2x 1 上的点到直线 2x y 3 0 的最短距离是 15 设 x表示不超过x的最大整数 如 3 2 3 3 给出下列命题 对任意实数x 都有1 xxx 对任意实数x y 都有 xyxy lg1 lg2 lg3 lg100 90 若函数 f xxx 当 0 xnn N时 令 f x的值域为A 记集合A的元素 个数为 n a 则 49 n a n 的最小值为 19 2 其中所有真命题的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本题满分 12 分 已知函数 f x ax3 bx2 2x c 在 x 2 时有极大值 6 在 x 1 时有 极小值 1 求 a b c 的值 2 求 f x 在区间 3 3 上的最大值和最小值 17 本题满分 12 分 如图 设 2 4 A是抛物线 2 C yx 上的一点 1 求该抛物线在点A处的切线l的方程 2 求曲线C 直线l和x轴所围成的图形的面积 18 本题满分 12 分 是否存在常数ba 使等式 高二年级数学理科第 4 页 共 14 页 2 12 12 53 2 31 1 2222 bn nan nn n 对于一切 Nn 都成立 若不存在 说 明理由 若存在 请用数学归纳法证明 19 本题满分 12 分 1 求证 若 a b是正常数 且ab 0 x y 则 222 abab xyxy 当且仅当 ab xy 时等号成立 2 求函数 29 12 f x xx 1 0 2 x 的最小值及取最小值时的 x 值 20 本题满分 13 分 已知函数 f x ax 1 lnx a R 1 当2a 时 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 xf在 x 1 处取得极值 对 2 bxxf恒成立 0 x任意 求实数 b 的取值范围 21 本题满分 14 分 已知函数 ax x x xf ln 1 若函数 1 f x 在上是减函数 求实数 a 的最小值 高二年级数学理科第 5 页 共 14 页 2 若存在 使 12 f xfxa 成立 求实数 a 的取值范围 2 21 eexx 宿州市十三所重点中学 2014 2015 学年度第二学期期中质量检测 高二年级数学 理科 答题卷高二年级数学 理科 答题卷 命题 宿州三中 校对 宿州三中 题 号一二三总分 得 分 一 选择题 本大题共 10 个小题 每小题 5 分 共 50 分 题号 12345678910 答案 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 12 13 14 15 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 16 本题满分 12 分 学校 班级 姓名 学号 座位号 密 封 线 高二年级数学理科第 6 页 共 14 页 17 本题满分 12 分 18 本题满分 12 分 高二年级数学理科第 7 页 共 14 页 19 本题满分 12 分 20 本题满分 13 分 高二年级数学理科第 8 页 共 14 页 21 本题满分 14 分 高二年级数学理科第 9 页 共 14 页 宿州市十三所重点中学 2014 2015 学年度第二学期期中质量检测 高二年级数学 理科 参考答案 一 选择题 1 5ABDAA 6 10DACCB 二 填空题 11 m 1 12 13 5 e2 6 11 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 22222 14 15 5 三 解答题 16 1 f x 由条件知223 2 bxax f 2 12a 4b 2 0 f 1 3a 2b 2 0 f 2 8a 4b 4 c 6 解得 6 分 3 8 2 1 3 1 cba 2 f x 3 8 2 2 1 3 1 23 xxxxf2 2 xx 令 f x 0 得列出下表1 2 21 xx x 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 f x 0 0 f x 6 1 4 6 2 3 6 1 10 高二年级数学理科第 10 页 共 14 页 由上表知 在区间 3 3 上 当 x 3 时 fmax x x 1 时 fmin x 12 6 1 10 2 3 分 1717 解 2 yx 2yx 直线 L 的斜率 2 4 x ky l 442yx 即为所求 6 分 044 yx 法一 切线 44yx 与x轴的交点为 0 1 B 则面积 3 2 44 2 1 2 1 0 2 dxxxdxxS 12 分 法二 4 0 4 0 2 3 2 3 2 3 2 8 1 1 4 yyydyy y S 面积 曲线 C 直线l和x轴所围成的图形的面为 2 3 18 解 若存在常数ba 使等式成立 则将2 1 nn代入上式 有 22 24 15 4 3 1 2 1 3 1 b a b a 得4 1 ba 即有 24 12 12 53 2 31 1 2222 n nn nn n 对于一切 Nn 成立 4 分 证明如下 高二年级数学理科第 11 页 共 14 页 1 当1 n时 左边 3 1 31 12 右边 3 1 214 11 所以等式成立 2 假设 1 Nkkkn 且时等式成立 即 24 12 12 53 2 31 1 2222 k kk kk k 当1 kn时 32 12 1 12 12 53 2 31 1 2222 kk k kk k 32 12 1 24 22 kk k k kk 32 1 2 12 1 k kk k k 32 2 252 12 1 2 k kk k k 32 2 2 12 12 1 k kk k k 64 2 1 k kk 2 1 4 1 1 2 k kk 也就是说 当1 kn时 等式成立 综上所述 可知等式对任何 Nn 都成立 12 分 存在 a 1 b 4 使得等式对任何 Nn 都成立 19 2 222222 2222 22 22 1 ba abbab y x a x y ba b y x a x y bayx y b x a 因为解 当且仅当 时等号成立 即 y b x a b y x a x y 22 因为 x y 为正数 高二年级数学理科第 12 页 共 14 页 所以 222 abab xyxy 6 分 其他证明方法酌情赋分 25 212 32 21 3 2 2 21 92 1 2 2 22 xx xxxx xf知由 当且仅当 等号成立 即 5 1 21 3 2 2 x xx 所以 12 分 25 5 1 的最小值为时当xfx 20 1 解 由题意知函数 f x 的定义域为 0 121 2 x fx xx 由 0fx 得 0 x 1 2 xf在 1 0 2 上递减 在 1 2 上递增 6 分 2 函数 xf在1 x处取得极值 f 1 0 则1 a 因为 x 0 所以b x x x bxxf ln1 12 令 x x x xg ln1 1 可得 xg在 2 0 e上递减 在 2 e上递增 2 2 min 1 1 e egxg 即 2 1 1b e 13 分 21 解 1 因f x 在 1 上为减函数 故 2 ln1 0 ln x fxa x 在 1 上恒成立 高二年级数学理科第 13 页 共 14 页 所以当 1 x 时 max 0fx 又 2 2 ln111 lnln ln x fxaa xx x 2 111 ln24 a x 故当 11 ln2x 即 2 ex 时 max 1 4 fxa 所以 1 0 4 a 于是 1 4 a 故a的最小值为 1 4 6 分 2 命题 若 2 12 e e x x 使 12 f xfxa 成立 等价于 当 2 e e x 时 有 min max f xfxa 由 1 当 2 e e x 时 max 1 4 fxa max 1 4 fxa 问题等价于 当 2 e e x 时 有 min 1 4 f x 8 分 0 1当 1 4 a 时 由 1 f x在 2 e e 上为减函数 则 min f x 2 22e1 e e 24 fa 故 2 11 2 4e a 0 2当 1 4 a 时 由于 fx 2 111 ln24 a x 在 2 e e 上为增函数 故 fx 的值域为 2 e e ff 即 1 4 aa i 若0a 即0a 0fx 在 2 e e 恒成立 故 f x在 2 e e 上为增函数 于是 min f x 1 e eee 4 fa 不合题意 10 分 ii 若0a 即