导数中含参数单调性及取值范围

导数中含参数单调性及取值范围 应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点 利用导数研究函数的单调 性 极值 最值 图象仍将是高考的主题 利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考 的热点 将导数与函数 解析几何 不等式 数列等知识结合在一起的综合应用 仍将是 高考压轴题 1 含参数函数求单调性 例 1 已知函数 其中 2 2 21 1 axa f x x a R 当时 求曲线在原点处的切线方程 1a yf x 求的单调区间 xf 例 2 设函数 f x ax a 1 ln x 1 其中 a 1 求 f x 的单调区间 例 3 已知函数其中 3 2 2 1 a f xx x 0a I 若曲线在处的切线与直线平行 求的值 yf x 1 1 f1y a II 求函数在区间上的最小值 f x 1 2 二参数范围二参数范围 有单调性时分离常数法有单调性时分离常数法 例 4 东 东 2 已知函数 已知函数 2 1 2e 2 x f xxxa 若 若 求 求在在处的切线方程 处的切线方程 1a f x1x 若 若在在上是增函数 求实数上是增函数 求实数的取值范围的取值范围 xfRa 例 5 设设a R 函数 函数 23 3 xaxxf 若 若2 x是函数是函数 xfy 的极值点 求实数的极值点 求实数a的值 的值 若函数 若函数 x g xe f x 在在 2 0 上是单调减函数 求实数上是单调减函数 求实数a的取值范围 的取值范围 分类讨论求参数 例例 6 6 20122012 昌平昌平 1 1 已知函数 已知函数 为实数 为实数 ax x xxf 1 ln a I 当 当时 时 求求的最小值 的最小值 0 a xf II 若 若在在上是单调函数 求上是单调函数 求的取值范围的取值范围 xf 2 a 根据性质求范围 例例 7 7 已知函数 为常数 2 4ln6f xxaxxb ab 且为的一个极值点 2x f x 求的值 a 求函数的单调区间 f x 若函数有 3 个不同的零点 求实数的取值范围 yf x b 例例 8 8 已知函数 22 3 xa f x xa 0a a R 求函数的单调区间 f x 当时 若对任意 有成立 求实数的1a 12 3 x x 12 f xf xm m 最小值 导数中含参数单调性及取值范围答案导数中含参数单调性及取值范围答案 例 1 I 解 当时 2 分1a 2 2 1 x f x x 22 1 1 2 1 xx fx x 由 得曲线在原点处的切线方程是 3 分 0 2 f yf x 20 xy 解 4 分 2 1 2 1 xa ax fx x 当时 所以在单调递增 在单调递减 0a 2 2 1 x fx x f x 0 0 5 分 当 0a 2 1 2 1 xa x a fxa x 当时 令 得 与的情况如下 0a 0fx 1 xa 2 1 x a f x fx 故的单调减区间是 单调增区间是 7 分 xf a 1 a 1 a a 当时 与的情况如下 0a f x fx 所以的单调增区间是 单调减区间是 9 分 f x 1 a 1 a a a 解 由 得 时不合题意 10 分0a 当时 由 得 在单调递增 在单调递减 所以0a xf 1 0 a 1 a 在上存在最大值 xf 0 2 1 0fa a 设为的零点 易知 且 0 x xf 2 0 1 2 a x a 0 1 x a 从而时 时 0 xx 0f x 0 xx 0f x x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 1 f x 2 f x x 2 x 2 x 21 xx 1 x 1 x fx 0 0 f x 2 f x 1 f x 若在上存在最小值 必有 解得 xf 0 0 0f 11a 所以时 若在上存在最大值和最小值 的取值范围是 0a xf 0 a 0 1 当时 由 得 在单调递减 在单调递增 所以0a xf 0 a a 在上存在最小值 xf 0 1fa 若在上存在最大值 必有 解得 或 xf 0 0 0f 1a 1a 所以时 若在上存在最大值和最小值 的取值范围是 0a xf 0 a 1 综上 的取值范围是 14a 1 0 1 分 例例 2 解析解析 由已知得函数的定义域为 且 f x 1 1 1 1 ax fxa x 1 当时 函数在上单调递减 10a 0 fx f x 1 2 当时 由解得0a 0 fx 1 x a 随的变化情况如下表 fx f xx x 1 1 a 1 a 1 a fx 0 f x A极小值A 从上表可知 当时 函数在上单调递减 1 1 x a 0 fx f x 1 1 a 当时 函数在上单调递增 1 x a 0 fx f x 1 a 综上所述 当时 函数在上单调递减 当时 函数在10a f x 1 0a f x 上单调递减 函数在上单调递增 1 1 a f x 1 a 例例 3 解析解析 2 分 333 22 22 2 axa fxx xx 0 x I 由题意可得 解得 3 分 3 1 2 1 0fa 1a 此时 在点处的切线为 与直线平行 1 4f 1 1 f4y 1y 故所求值为 1 4 分a II 由可得 5 分 0fx xa 0a 当时 在上恒成立 所以在上递增 01a 0fx 1 2 yf x 1 2 所以在上的最小值为 7 分 f x 1 2 3 1 22fa 当时 12a x 1 aa 2 a fx 0 f x 极小 由上表可得在上的最小值为 11 分 yf x 1 2 2 31f aa 当时 在上恒成立 2a 0fx 1 2 所以在上递减 12 分 yf x 1 2 所以在上的最小值为 13 分 f x 1 2 3 2 5fa 综上讨论 可知 当时 在上的最小值为 当01a yf x 1 2 3 1 22fa 时 在上的最小值为 当时 在12a yf x 1 2 2 31f aa 2a yf x 上的最小值为 1 2 3 2 5fa 例例 4 解析解析 由 1 分1a 2 1 2e 2 x f xxx 3 1 e 2 f 所以 又 2exfxx 1 1 e f 所以所求切线方程为即 4 分 3 e 1 e 1 2 yx 2 1 e 210 xy 由已知 得 2 1 2e 2 x f xxxa 2exfxxa 因为函数在上是增函数 所以恒成立 即不等式 恒成立 xfR 0fx 2e0 x xa 9 分 整理得 2 ex x a 令 2 ex x g x 3 ex x g x 的变化情况如下表 x g x g x 由此得的取值范围是 13 分 3 3 eaga 即 3 e 例例 5 解析解析 解 2 363 2 fxaxxx ax 因为2x 是函数 yf x 的极值点 所以 2 0 f 即6 22 0a x 3 3 3 g x 0 g x极小值 10 分 所以1a 经检验 当1a 时 2x 是函数 yf x 的极值点 即1a 6 分 由题设 322 336 x g xe axxaxx 又0 x e 所以 0 2 x 322 3360axxaxx 这等价于 不等式 2 322 3636 33 xxx a xxxx 对 0 2 x 恒成立 令 2 36 3 x h x xx 0 2 x 则 22 2222 3 46 3 2 2 0 3 3 xxx h x xxxx 10 分 所以 h x在区间0 2 上是减函数 所以 h x的最小值为 6 2 5 h 12 分 所以 6 5 a 即实数a的取值范围为 6 5 13 分 例例 6 解析解析 解 由题意可知 0 x 当时 2 分0 a 2 1 x x xf 当时 当时 4 分10 x0 x f1 x0 x f 故 5 分 1 1 min fxf 由 2 2 2 111 x xax a xx xf 由题意可知时 在时 符合要求 7 分0 a 2 1 x x xf 2 0 x f 当时 令0 a1 2 xaxxg 故此时在上只能是单调递减 xf 2 即 解得 9 分0 2 f 0 4 124 a 4 1 a 当时 在上只能是单调递增 即得 0 a xf 2 0 2 f 0 4 124 a 4 1 a 故 11 分0 a 综上 13 分 0 4 1 a 例例 7 解析解析 函数 f x 的定义域为 0 1 分 f x 62 4 ax x 则 a 1 4 分 06422 a f 由 知bxxxxf 6ln4 2 f x 6 分 x xx x xx x x 1 2 2462 62 4 2 由 f x 0 可得 x 2 或 x 1 由 f x 0 可得 1 x 0 函数 y f x 在区间 a a 2 3 上存在极值 求 a 的取值范围 若 a 2 求证 函数 y f x 在 0 2 上恰有一个零点 3 设函数 2 2 ln 0 a f xaxa x 已知曲线在点处的切线 的斜率