基本不等式的变形及应用

精品文档 1欢迎下载 基本不等式基本不等式的变式及应用的变式及应用 abba2 22 不等式是课本中的一个定理 它是重要的基本不等式之一 对于它及abba2 22 它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法 这里介绍它的几 种常见的变式及应用 1 十种变式 2 22 ba ab 2 2 ba ab 2 2 22 2 baba 2 22 baba 若 则 则0 bba b a 2 2 Rba baba 411 若 若 则 abba Rba 4 11 2 0 ab 2 22 11 2 111 baba 上述不等式中等号成立的充要条件均为 ba 若 则 当且仅当时等号成立 RbaRnm nm ba n b m a 222 bman 当且仅当时等号成立 3 2222 cbacba cba 2 应用 例 1 若 且 求证 Rcba 2 cba4111 cba 证法一 由变式 得即 2 11 11 a a1 2 1 a a 同理 1 2 1 b b1 2 1 c c 因此1 2 111 a cba41 2 1 2 cb 由于三个不等式中的等号不能同时成立 故4111 cba 评论 评论 本解法应用 观察其左右两端可以发现 对于某一字母左边是 2 22 ba ab 一次式 而右边是二次式 显然 这个变式具有升幂与降幂功能 本解法应用的是升幂功 精品文档 2欢迎下载 能 证法二 由变式 得 11 211 baba 同理 11 211 cc 1111cba 4 2 2 2 2 2 cbacba 故结论成立512 评论 评论 本解法应用 这个变式的功能是将 根式合并 将 2 22 baba 离散型 要根式转化为统一根式 显然 对问题的求解起到了十分重要的作用 证法三 由变式 得 1 3 111 2 acba15 11 cb 故 即得结论4111 cba 评论 评论 由基本不等式易产生 两边abba2 22 222 222222abcabbcca 同时加上即得 于是便有了变式 本变式的功 222 abc 2222 3 abcabc 能可以将平方进行 分拆 与 合并 本解法是将平方进行分拆 即由整体平方转化为 个整平方 从而有效的去掉了根号 例 2 设 求证 Rcba cba a c c b b a 证明 由变式 得 ba b a 2cb c b 2ac a c 2 三式相加即得 cba a c c b b a 评论 评论 本解法来至于 若 则 这个变式将基本不等式转化成更0 bba b a 2 2 为灵活的形式 当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时 立即可以使用 方便快捷 例 3 实数满足 求的最大值与最小值ba 2 3 3 4 4 22 ba ba 精品文档 3欢迎下载 解析 结合变式 得 2 34 7 3 3 4 4 222 baba 因此即14714 ba147147 ba 当且仅当 再结合条件得及时 3 4 4 3 ba 7 144 4 7 143 3 b a 7 144 4 7 143 3 b a 分别获得最小值与最大值 评论 评论 由再结合 222222 2 a mb nmnabn mn am mn b 2 mn ab 即得变式 这可是一个很特别的公式 它沟通了两分式和与由两分式产生的 m nR 一个特殊分式的关系 它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题 也为我 们处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径 例 4 已知 且 求的最小值 2 2 yx1 xy 22 9 9 4 4 yx u 解析 由变式 22 9 9 4 4 yx u 9 1 4 1 4 9 1 1 4 1 1 2222 yxyx 5 12 3 1 2 4 94 2 4 22 yx 上述两不等式当且仅当 再结合得或时 3 2 yx 1 xy 3 6 2 6 y x 3 6 2 6 y x 取得最小值 评论 评论 由结合两边同除以 22 2 4ababb aba abab Rba 即得变式 本题两次使用基本不等式 第一次应用变式 第二次应用基本 ab ab 不等式 值得注意的是两次等号成立的条件必须一致 否则 最值是取不到的 精品文档 4欢迎下载 例 5 当时 不等式恒成立 求的最大值 ax 02 11 22 xax a 解 由变式 得 2 1 11 2 1 11 2 22 xaxxax 2 2 8 2 4 2 1 4 a xax xax 上述三个不等式中等号均在同一时刻时成立xax 由202 8 2 a a 故的最大值为 a2 评论 评论 由再结合即得变式 又由得 2 4abab a bR abba2 22 结合 两边同除即得变式 本 222222 1 2 2 ababbaab 0 ab 22 a b 题的求解 虽然 廖廖几步 但来之实在不易 首先这两个变式不一定大家都熟悉 其 次 三次使用变式进行转化 必须保证等号在同一时刻取得 可谓步履维艰 可以看出 不等式的各种变式及其灵活运用给予我们带来了不仅仅是abba2 22 一个又一个的难题被 攻克 了 而是