第三章 概率 3.3.2

3 3 2 均匀随机数的产生均匀随机数的产生 课时目标 1 了解均匀随机数的产生方法与意义 2 会用模拟实验求几何概型的概率 3 能利用模拟实验估计不规则图形的面积 1 均匀随机数的产生 1 计算器上产生 0 1 的均匀随机数的函数是 函数 2 Excel 软件产生 0 1 区间上均匀随机数的函数为 rand 2 用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 1 的方法 制作两个转盘模型 进行模拟试验 并统计试验结果 2 的方法 用 Excel 软件产生 0 1 区间上均匀随机数进行模拟 注意操 作步骤 3 a b 上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生 0 1 上的均匀随机数 x RAND 然后利用伸缩和平移交换 x x1 b a a 就可以得到 a b 内的均匀随机数 试验的结果是 a b 上的任何一个 实数 并且任何一个实数都是等可能的 一 选择题 1 将 0 1 内的均匀随机数转化为 3 4 内的均匀随机数 需要实施的变换为 2 在线段 AB 上任取三个点 x1 x2 x3 则 x2位于 x1与 x3之间的概率是 A B 1 2 1 3 C D 1 1 4 3 与均匀随机数特点不符的是 A 它是 0 1 内的任何一个实数 B 它是一个随机数 C 出现的每一个实数都是等可能的 D 是随机数的平均数 4 如图 边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒 豆子 它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 2 3 A B 4 3 8 3 C D 无法计算 2 3 5 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M 并以线段 AM 为边作正方形 这个正方形 的面积介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率为 A B C D 36 81 12 36 12 81 1 4 6 将一个长与宽不等的长方形 沿对角线分成四个区域 如图所示涂上四种颜色 中 间装个指针 使其可以自由转动 对指针停留的可能性下列说法正确的是 A 一样大 B 蓝白区域大 C 红黄区域大 D 由指针转动圈数决定 题 号123456 答 案 二 填空题 7 在圆心角为 90 的扇形中 以圆心 O 为起点作射线 OC 使得 AOC 和 BOC 都不 小于 30 的概率为 8 在区间 1 2 上随机取一个数 x 则 x 1 的概率为 9 在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P 则使点 P 到三个顶点的距离至少有一 个小于 1 的概率是 三 解答题 10 利用随机模拟法近似计算图中阴影部分 曲线 y log3x 与 x 3 及 x 轴围成的图形 的面积 11 假设小军 小燕和小明所在的班级共有 50 名学生 并且这 50 名学生早上到校先 后的可能性是相同的 设计模拟方法估计下列事件的概率 1 小燕比小明先到校 2 小燕比小明先到校 小明比小军先到校 能力提升 12 如图所示 曲线 y x2与 y 轴 直线 y 1 围成一个区域 A 图中的阴影部分 用模 拟的方法求图中阴影部分的面积 用两种方法 13 甲 乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面 并约定先到者应等候另一人一刻 钟 过时即可离去 求两人能会面的概率 用两种方法 1 0 1 或 a b 上均匀随机数的产生 利用计算器的 RAND 函数可以产生 0 1 的均匀随机数 试验的结果是区间 0 1 内的任何 一个实数 而且出现任何一个实数是等可能的 因此 可以用计算器产生的 0 到 1 之间 的均匀随机数进行随机模拟 计算器不能直接产生 a b 区间上的随机数 但可利用伸缩和平移变换得到 如果 Z 是 0 1 区间上的均匀随机数 则 a b a Z 就是 a b 区间上的均匀随机数 2 随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法 用计算机或计算器模拟试验 首先把 实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型 也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量 我们可以从以下几个方面考虑 1 由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数 如长度 角度型只用 一组 面积型需要两组 2 由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围 3 由事件 A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式 答案 3 3 2 均匀随机数的产生均匀随机数的产生 知识梳理 1 1 RAND 2 1 试验模拟 2 计算机模拟 作业设计 1 C 根据伸缩 平移变换 a a1 4 3 3 a1 7 3 2 B 因为 x1 x2 x3是线段 AB 上任意的三个点 任何一个数在中间的概率相等且 都是 1 3 3 D A B C 是均匀随机数的定义 均匀随机数的均匀是 等可能 的意思 并不是 随机数的平均数 4 B S阴影 S正方形 S阴影 S正方形 2 3 2 3 8 3 5 D 由题意知 6 AM 9 而 AB 12 则所求概率为 9 6 12 1 4 6 B 指针停留在哪个区域的可能性大 即表明该区域的张角大 显然 蓝白区域大 7 1 3 解析 作 AOE BOD 30 如图所示 随机试验中 射线 OC 可能落在扇面 AOB 内任意一条射线上 而要使 AOC 和 BOC 都不小于 30 则 OC 落在扇面 DOE 内 P A 1 3 8 2 3 解析 由 x 1 得 1 x 1 由几何概型的概率求法知 所求的概率 P 区间 1 1 的长度 区间 1 2 的长度 2 3 9 3 6 解析 以 A B C 为圆心 以 1 为半径作圆 与 ABC 交出三个扇形 当 P 落在其内时符合要求 P 3 1 2 3 12 3 4 22 3 6 10 解 设事件 A 随机向正方形内投点 所投的点落在阴影部分 1 利用计算器或计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 x1 RAND y1 RAND 2 经过伸缩变换 x x1 3 y y 1 3 得到两组 0 3 上的均匀随机数 3 统计出试验总次数 N 和满足条件 y log3x 的点 x y 的个数 N1 4 计算频率 fn A 即为概率 P A 的近似值 1 A N N 设阴影部分的面积为 S 正方形的面积为 9 由几何概率公式得 P A 所以 S 9 N1 N S 9 所以 S 即为阴影部分面积的近似值 9N1 N 11 解 记事件 A 小燕比小明先到校 记事件 B 小燕比小明先到校且小明比小军 先到校 利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数 a RAND b RAND c RAND 分别表示小军 小燕和小明三人早上到校的时间 统计出试验总次数 N 及其中满足 b c 的次数 N1 满足 b c a 的次数 N2 计算频率 fn A fn B 即分别为事件 A B 的概率的近似值 N1 N N2 N 12 解 方法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子 数出落在区域 A 内的 豆子数与落在正方形内的豆子数 根据 即可求区域 A 面积的 近似值 例如 假设撒 1 000 粒豆子 落在区域 A 内的豆子数为 700 则区域 A 的面积 S 0 7 700 1 000 方法二 对于上述问题 我们可以用计算机模拟上述过程 步骤如下 第一步 产生两组 0 1 内的均匀随机数 它们表示随机点 x y 的坐标 如果一个点的 坐标满足 y x2 就表示这个点落在区域 A 内 第二步 统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方形内的随机点的个数 N 可求得区域 A 的面积 S M N 13 解 方法一 以 x 轴和 y 轴分别表示甲 乙两人到达约定地点的时间 则两人能够 会面的充要条件是 x y 15 在如图所示平面直角坐标系下 x y 的所有可能结果是 边长为 60 的正方形区域 而事件 A 两人能够会面 的可能结果由图中的阴影部分表 示 由几何概型的概率公式得 P A A S S 602 452 602 3 600 2 025 3 600 7 16 所以两人能会面的概率是 7 16 方法二