命题与证明讲义.doc

教育教学讲义学员姓名：年 级：学科教师：上课时间：辅导科目：数学课时数：课 题命题与证明教学目标 教学内容知识梳理1 知识结构梳理 1定义： （1）概念 ； （2）分类2命题 假命题（可通过 来说明） （3）形式：命题都可写成 的形式。命题与证明（4）互逆命题（1）公理： 3. 公理与定理（2）定理： （1）概念： 4. 证明 理解题意，画出 （2）证明命题的一般步骤 写出已知， 写出 （3）反证法知识点一：定义要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义（对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。）如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。例1 在下列横线上，填写适当的概念：（1）连结三角形两边中点的线段叫作三角形的 ；（2）能够完全重合的两个图形叫做 ；（3）两组对边分别平行的四边形叫做 ；例2 叙述概念的定义（1）数轴； （2）等腰三角形规定了原点（origin），正方向和单位长度的直线叫数轴有两边相等的三角形是等腰三角形知识点二：命题要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断与判断的正确与否没有关系）或者是叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。 如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是浙教版的”等。注意：（1）命题必须是一个完整的句子。（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。例 下列句子中不是命题的是( )A 明天可能下雨 B 台湾是中国不可分割的部分C 直角都相等 D 中国是2008年奥运会的举办国 知识点三 真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题 注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。 例 下列命题中的真命题是（ ）A 锐角大于它的余角 B 锐角大于它的补角C 钝角大于它的补角 D 锐角与钝角等于平角知识点四：命题的结构要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果-，那么-”的形式。有的命题表面上看不具有“如果-，那么-”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。例 把下列命题改写成“如果-，那么-”的形式，并指出条件与结论。1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线知识点五：公理要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”知识点五：定理要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。公理和定理总结：以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明； (2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。例 填空：（1）同位角相等，则两直线 ；（2）平面内两条不重合的直线的位置关系是 ；（3） 四边形是平行四边形。知识点六： 真命题与假命题要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。知识点七：证明要点诠释：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）或者说从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理得出结论。（2）证明的过程必须做到步步有据。证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。知识点八：假命题的判定要点诠释：只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判定该命题是假命题。知识点九：反证法要点诠释：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设误，原命题成立的证明方法（从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法）反证法的关键在于反设所证命题的结论。适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。反证法证题步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论成立。例 在 ABC中，A 、B 、C是它的三个内角。求证：在A 、B、 C中不可能有两个直角。三、规律方法指导1.数学中判定一个命题是真命题，要经过证明要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可2.证明的意义：在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明3.反证法的适用范围（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时 （4）命题的结论以“唯一”的形式出现；（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；（7）某些定理的逆定理。四、经典例题例1、 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？（1）对顶角相等； (2)画一个角等于已知角； (3)两直线平行，同位角相等；（），两条直线平行吗? (5)鸟是动物； (6)若，求的值； (7)若，则解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若ab，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ABC中，若ABAC，则CB吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)123【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题例2、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；(5)三角形的内角和等于180；(6)角平分线上的点到角的两边距离相等解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180”这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180”；(6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。”、【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；【答案】(l)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；不是对顶角不相等(假)；不相等的角不是对顶角(真) (2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；两直线不平行，同位角不相等(真)；同位角不相等，两直线不平行(真)(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；若a0，则ab0(假)；若ab0，则a0(真)(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；两条直线平行，则一定不相交(真)；两条直线不相交，则一定平行(假)例3、证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直”解析：已知：ab，ac，求证：bc证法(一)：ac，(已知)1=90(垂直的定义)ab，(已知)1=2，(两直线平行，同位角相等)2=90，(等量代换)bc(垂直定义)证法(二)：ab，(已知)1=2(两直线平行，同位角相等)ac，(已知)1=90，(垂直定义)2=90，(等量代换)bc(垂直定义)思路点拨: 总结步骤：1审题：分清命题的“题设”和“结论”2译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证3想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法4证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明【变式1】求证：同角的余角相等已知：2是1的余角，3是1的余角求证：2=3【答案】证明：因为2与1互为余角，3与1互为余角，(已知)所以2+1=90，3+1=90(余角定义)所以2+1=3+1(等量代换)则 2=3(等量减等量差相等)例4、已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1l2，13与11相交于点P.求证：13与l2相交 （使用反证法）解析：证明：假设，13与l2不相交，即l3l2，又l1l2（已知），过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 假设不成立，即求证的命题成立， 13与12相交【变式1】用反证法证明不是有理数 . 【答案】证明：假设是有理数，则可表示为（，为自然数，且互质）两边平方，得 2n2=m2 由知m2必是2的倍数，进而m必是2的倍数令m=2p代入式，得 n2=2p2 由知，必是2的倍数，m和n都是2的倍数，则m、n不互质，与假定m、n互质相矛盾，不是有理数【变式2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日【答案】设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”所以这367人就会有不同的367天过生日这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾因此反设不成立。所以“至少有两个学生在同一天过生日”课堂练习一、选择题1、下列语句不是命题的是（ ）A、两点之间线段最短 B、不平行的两条直线有一个交点 C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。2、命题：对顶角相等；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是对顶角；同位角相等。其中假命题有 （ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个3、如图，ABC中，,BE平分ABC，垂足为D，如果，那么的值为（ ）A、2 B、3C、5 D、44、下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）A、一个角是45的两个等腰三角形B、两个等边三角形C、腰长相等的两个等腰直角三角形D、各有一个角是40，腰长都为5的两个等腰三角形5、等腰三角形的一个外角是80，则其底角是（ ）A、40 B、100或40 C、100 D、806、如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EFAB于F，则下列结论中不正确的是（ ）A、ACD=B B、CH=CE=EF C、AC=AF D、CH=HD7、在同一平面内,两条直线可能的位置关系是（ ）A、 平行 B、相交 C、平行或相交 D、 平行、相交或垂直8、如图，已知ABAC，BECE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（）A、1对B、2对C 、3对D、4对二、填空题：9、把命题：三角形的内角和等于180 改写如果_，那么_；并找出结论_。10、命题的定义是：_。11、判断角相等的定理（写出2个）_，_。12、判断线段相等的定理（写出2个）_，_。13、写出下列假命题的反例：1） 有两个角是锐角的三角形是锐角三角形。_2） 相等的角是对顶角。_14、已知：如图，直线a,b被c所截，1，2是同位角，且12，求证：a不平行b.证明：假设_，则_，（ ）这与_相矛盾，所以_不成立，所以a不平行b。15、如图，是由16个边长为1的正方形拼成的，任意连接，这些小格点的若干个顶点可得到一些线段，则线段AB、CD中，长度是有理数的线段是_。三、解答题：16、填空。已知：如图12，ADBC于D，EFBC于F，交AB于G，交CA延长线于E，12求证AD平分BAC，填写分析和证明中的空白17、如图，在RtABC中, C90，A30，。