极坐标系学案

精品文档 1欢迎下载 极坐标系极坐标系 学习过程 学习过程 问题 1 如何刻画一个点的位置 如何创建坐标系 问题 2 为了简便地表示上述问题中点的位置 应创建怎样的坐标系呢 如何刻画这些点的位置 一 极坐标系的知识 1 极坐标系的建立 在平面内取一个定点 O 叫做 引一条射线 OX 叫做 再选定 及 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 2 极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M 用 表示线段 OM 的长度 用 表示从 OX 到 OM 的角度 叫做点 M 的 叫做点 M 的 有序数对 就叫做 M 的 特别强调 由极径的意义可知 0 当极角 的取值范围是 0 2 时 平面上的点 除去极点 就与极坐标 建立一一对应的关系 们约定 极点的极坐标是极径 0 极角是任意角 负极径的规定 在极坐标系中 极径 允许取负值 极角 也可以去任意的正角或负角 当 0 时 点 M 位于极角终边的反向延长线上 且 OM M 也可以表示为 12 2 kk或 zk 二 课堂训练 例 1 写出下图中各点的极坐标 例 2 在极坐标系中 1 已知两点 P 5 Q 求线段 PQ 的长度 4 5 4 1 精品文档 2欢迎下载 2 已知 M 的极坐标为 且 说明满足上述条件的点 M 的所组成的图形 3 R 例 3 已知 Q 分别按下列条件求出点 P 的极坐标 1 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点 2 P 是点 Q 关于直线的对称点 2 3 P 是点 Q 关于极轴的对称点 变式训练 1 在极坐标系中 与点关于极点对称的点的一个坐标是 6 8 6 8 6 5 8 6 5 8 6 8 DCBA 2 2 在极坐标系中 如果等边的两个顶点是求第三个顶点 C 的坐标 ABC 4 5 2 4 2 BA 3 在极坐标系中 已知 则 6 7 5 3 2 3 6 4 6 4 DCBA AB AC AD BC BD 4 设点 直线 为过极点且垂直于极轴的直线 分别求点 A 关于极轴 直线 极点的对称点的极坐标 3 2 All 限定 0 5 在极坐标系中 设 O 是极点 A B 两点的极坐标分别是 则 OAB 的面积是 3 4 6 5 5 精品文档 3欢迎下载 3 极坐标与直角坐标的互化 1 互化前提 极点与直角坐标的原点重合 极轴与 X 轴的正方向重合 两种坐标系中取相同的长度单位 2 互化公式 sin cos y x 0 tan 222 x x y yx 例 1 将点的极坐标 5 5 化成直角坐标 2 3 2 例 2 将点的直角坐标 1 1 1 1 化成极坐标 3 33 3 例 3 若以极点为原点 极轴为轴正半轴 建立直角坐标系 x 1 已知 A 的极坐标求它的直角坐标 3 5 4 2 已知点 B 和点 C 的直角坐标为 求它们的极坐标 0 0 2 15 0 2 2 和 例 4 在极坐标系中 已知两点 求 A B 中点的极坐标 3 2 6 6 6 BA 1 已知点的极坐标分别为 4 3 A 3 2 2 B 2 3 C 求它们的直角坐标 2 已知点的直角坐标分别为 32 2 3 5 0 3 3 CBA 3 1 求它们的极坐标 精品文档 4欢迎下载 来源 3 把下列个点的直角坐标化为极坐标 限定 0 0 2 4 3 4 3 2 0 1 1 DCBA 4 在极坐标系中 已知三点 来源 来源 判断三点是否在一条直线上 6 32 0 2 3 2 PNM PNM 二 曲线的极坐标方程二 曲线的极坐标方程 1 定义 一般地 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 适合方程的点都0 f0 f 在曲线上 那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线 2 求曲线的极坐标方程 若直线 经过 且直线 的倾斜角为 求直线 的极坐标方程 l 00 Ml l 直线 的倾斜角是指极轴与直线 向上的方向所成的角 ll 精品文档 5欢迎下载 例 1 按下列条件写出直线的极坐标方程 把特殊直线用通式来验证 1 经过极点和点的直线 2 经过点且垂直于极轴的直线 5 6 A 5 B 3 经过点且平行于极轴的直线 4 经过点且倾斜角为的直线 6 8 C 0 32 D 3 2 5 经过点且倾斜角为直线 6 经过极点 且倾斜角的直线 2 3 M 4 6 2 若圆心的坐标为 圆的半径为 求圆的极坐标方程 运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极 00 Mr 坐标方程 例 2 按下列条件写出圆的极坐标方程 1 以为圆心 且过极点的圆 2 以为圆心 且过极点的圆 0 3 A 2 8 B 3 以极点与点连接的线段为直径的圆 4 圆心在极轴上 且过极点与点的圆 O 0 4 C 6 32 D 精品文档 6欢迎下载 例 3 1 化在直角坐标方程为极坐标方程 08 22 yyx 2 化极坐标方程 为直角坐标方程 3 cos 6 变式训练 1 将下列极坐标方程化为直角坐标方程 1 2 3 4 3 4 sin 6 sin 5 162cos 2 1 2cos 2 将下列直角坐标方程化为极坐标方程 1 2 052 yx 02 22 axyx 3 按下列条件写出圆的极坐标方程 1 以为圆心 为半径的圆 2 以为圆心 4 为半径的圆 0 2 A2 2 4 B 3 以为圆心 且过极点的圆 4 以为圆心 l 为半径的圆 5 C 4 2 D 4 在圆心的极坐标为 半径为 4 的圆中 求过极点的弦的中点的轨迹 0 4 AO 精品文档 7欢迎下载 5 在极坐标系中 已知圆的圆心 半径 C 6 3 C3 r 1 求圆的极坐标方程 C 2 若点在圆上运动 在的延长线上 且 求动点的轨迹方程 QCPOQ2 3 OPOQP 6 极坐标中 曲线 4sin 和 cos 1 相交于A B 则 AB 7 已知圆的极坐标方程为 2cos 则该圆的圆心到直线 sin 2 cos 1 的距离是 8 8 2015 江苏卷 已知圆C的极坐标方程为 2 2 2 sin 4 4 0 求圆C的半径 9 9 2014 南京学情调研 在极坐标系中 求圆 4sin 上的点到直线 cos 4 32 的距离的最大值 精品文档 8欢迎下载 10 已知椭圆C的极坐标方程为 2 22 12 3cos4sin F1 F2分别为其左 右焦点 以极点为原点 极轴为x轴的