1999年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题解答

上海市尚德实验学校 杨晓 Email qdyangxiao 1999 年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题解答 1 数列的前 60 项的和是 其中 a 和 b 是互质的正 1111 2 33 44 512nn a b 整数 那么 a b 46 解 111111111111 2 33 44 561 622334456162 a b 46 113015 2626231 2 ABCD 是一个正方形 它是由 4 个小正方形所组成的 E 和 F 分别是 AD 和 AB 的中点 如果 EFC 的面积是 54 那么 AB 12 解 设小正方形面积是 S 则大正方形面积是 4S EFC 的面积是 4S 2 S 0 5 S 1 5 S 1 5 S 54 S 36 4S 36 4 144 从而 AB 12 3 如果正整数 n 使得也是正整数 那么这样的正整数 n 有 8 个 17 7 n n 解 1772424 1 777 nn nnn 要使也是正整数 则 n 7 必须是 24 的约数 即 n 7 1 2 3 4 6 8 12 24 共 8 17 7 n n 个 4 在 5 6 7 8 9 10 这六个数字之间分别填上加减乘除四则运算符号 并允许添括号 但不改 变数的顺序 使最后结果为 2000 这样的算式可以是 5 6 7 8 9 10 2000 5 边长分别是 6 7 9 10 11 14 的等角六边形 ABCDEF 内接于一个边长为 30 的等边三角形 中 如图所示 同样 这个等角六边形也能内接于另一个边长为 n 的等边三角形中 n 30 那么 n 27 解 如图 这个等角六边形也能 内接于另一个边长为 27 的等边 三角形 6 8 个互不相等的分数 其中每 7 个的和都是分母为 24 的正的既约真分数 分子与分母的最大公约 数是 1 的真分数 那么这 8 个分数的和是 4 7 E F DC A B 7 6 11 9 14 10 14 10 9 7 6 11 A B F ED C 上海市尚德实验学校 杨晓 Email qdyangxiao 解 设 8 个互不相等的分数分别是a1 a2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 分母为 24 的正的既约真分数一共有8 个 15711 13 17 19 23 24 24 24 24 24 24 24 24 则 7 a1 a2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 157111317192396 4 242424242424242424 a1 a2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 4 7 7 一个长方体 表面全部涂上红色后 被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体 如果在 这些小正方体中 不带红色的小正方体的个数等于 7 那么两面带红色的小正方体的个数等于 36 解 不带红色的小正方体的个数等于 7 说明这个长方体是 3 3 9 的长方体 那么两面带红色的小正方体的个数等于 28 4 4 36 8 从 100 到 999 这 900 个自然数中 使得每一数中的一个数码是另外两个数码的平均数 那么这样 的三位数共有 112 解 因为一个数码是另外两个数码的平均数 则这三个数码可分类如下 0 2 1 0 4 2 0 6 3 0 8 4 1 3 2 1 5 3 1 7 4 1 9 5 2 4 3 2 6 4 2 8 5 3 5 4 3 7 5 3 9 6 4 6 5 4 8 6 5 7 6 5 9 7 6 8 7 7 9 8 那么这样的三位数共有 16 6 4 4 112 个 9 图中的四边形 ABCD 被 AC 和 BD 分成甲 乙 丙 丁四个三角形 如果 AE 80 BE 60 CE 40 DE 30 那么丙 丁二个三角形面积和是甲 乙二个三角形面积和的 倍 5 4 解 S甲 S丁 80 40 2 1 S乙 S丁 60 30 2 1 S甲 2 S丁 S乙 2 S丁 S丙 S甲 60 30 2 1 S丙 2S甲 4 S丁 S丙 S丁 4 S丁 S丁 5 S丁 S甲 S乙 2 S丁 2 S丁 4 S丁 丙 丁二个三角形面积和是甲 乙二个三角形 面积和的 5 4 10 数除以 6 所得的余数是 1 10019 191919 个 解 10019 191919 个 242 99 191 101010 除以 6 所得的余数都是 4 242 99 10 1010 除以 6 所得的余数就是 1 4 99 397 除以 6 所得的余数 是 1 242 99 1 101010 80 40 60 30 丁 丁 丁丁 E AB DC 上海市尚德实验学校 杨晓 Email qdyangxiao 而 19 除以 6 所得的余数也是 1 除以 6 所得的余数是 1 10019 191919 个 11 从 0 1 2 依次一直写到 1000000 那么这些数的所有数码的和是 27000001 解 12 如果一个两位数除以它的各位数字的和 那么所得的最大的余数可能是 15 解 设这个两位数为 10 x y 则 109 1 xyx xyxy 因为求最大可能的余数 所以从最大的 99 18 开始 算 也即 81 18 开始算 81 18 余数是 9 81 17 余数是 13 72 17 余数是 4 72 16 余数是 8 81 16 余数是 1 63 16 余数是 15 往下就不要算了 所以所得的最大可 能的余数是 15 13 一个矩形 ABCD 被分割成九个小矩形 且这些小矩形的面积 如图所示 那么矩形 ABCD 的面积 是 1 48 6 14 某同学买某种铅笔 当他买了 a 支 付了 b 元 a b 都是整数 营业员说 你要再多买 10 支 我就总共收你 2 元钱 这样 相当于每买 30 支 你就节省 2 元钱 那么 a 5 支 b 1 元 解 a b 都是整数 b 1 由题意得 211 102102 3015 b aa aa 即 可得 a 5 15 游客在 10 时 15 分由码头划船出游 要求在当天不迟于 13 时返回 已知河水流速为